【正文】 AD∥ BC， ∴∠ ADB=∠ EBC． ∵ CE⊥ BD， ∠ A=90176。， ∴∠ A=∠ CEB， 在 △ ABD 和 △ ECB 中， ,.A CE BADB EBCBD CB? ? ???? ? ????? ∴△ ABD≌△ ECB； （ 2） ∵∠ DBC=50176。， BC=BD， ∴∠ EDC=65176。， 又 ∵ CE⊥ BD， ∴∠ CED=90176。， ∴∠ DCB=90176?！?EDC=25176。． 點(diǎn)評： 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及直角梯形的性質(zhì)，直角梯形有兩個角是直角，有一組對邊平行． 2. （ 2022 江蘇無錫， 26， 6 分） 如圖，等腰梯形 MNPQ 的上底長為 2，腰長為 3，一個底角為 60176。．正方形 ABCD 的邊長為 1，它的一邊 AD 在 MN 上，且頂點(diǎn) A 與 M 重 合．現(xiàn)將正方形 ABCD 在梯形的外面沿邊 MN、 NP、 PQ 進(jìn)行翻滾，翻滾到有一個頂點(diǎn)與 Q 重合即第 28 頁 停止?jié)L動． （ 1）請?jiān)谒o的圖中，用尺規(guī)畫出點(diǎn) A 在正方形整個翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖； （ 2）求正方形在整個翻滾過程中點(diǎn) A 所經(jīng)過的路線與梯形 MNPQ 的三邊 MN、 NP、 PQ所圍成圖形的面積 S． 考點(diǎn) ：扇形面積的計(jì)算；等腰梯形的性質(zhì)；弧長的計(jì)算；解直角三角形。 專題 ：作圖題；幾何綜合題。 分析： （ 1）根據(jù)點(diǎn) A 繞點(diǎn) D 翻滾，然后繞點(diǎn) C 翻滾，然后繞點(diǎn) B 翻滾，半徑分別為 2 、1，翻轉(zhuǎn) 角分別為 90176。、 90176。、 150176。，據(jù)此畫出圓弧即可． （ 2）根據(jù)總結(jié)的翻轉(zhuǎn)角度和翻轉(zhuǎn)半徑，求出圓弧與梯形的邊長圍成的扇形的面積即可． 解答： 解：（ 1）作圖如圖； （ 2） ∵ 點(diǎn) A 繞點(diǎn) D 翻滾，然后繞點(diǎn) C 翻滾，然后繞點(diǎn) B 翻滾，半徑分別為 錯誤 !未找到引用源。 、 1，翻轉(zhuǎn)角分別為 90176。、 90176。、 150176。， ∴ S= 22 1214360 11502360 )2(902360 1180 ??????????? ??? =錯誤 !未找到引用源。 +π+錯誤 !未找到引用源。 π+2=錯誤 !未找到引用源。 π+2． 點(diǎn)評： 本題考查了扇形的面積的計(jì)算、等腰梯形的性質(zhì)、弧長的計(jì)算，是一道不錯的綜合題，解題的關(guān)鍵是正確的得到點(diǎn) A 的翻轉(zhuǎn)角度和半徑． 3. （ 2022 新疆 建設(shè)兵團(tuán) ， 24， 10 分 ）如圖，在等腰梯形 ABCD 中， AD＝ 4， BC＝ 9， ∠ B＝ 45176。．動點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)沿 BC 向點(diǎn) C 運(yùn)動，動點(diǎn) Q 同時(shí)以相同速度從點(diǎn) C 出發(fā)沿CD 向點(diǎn) D 運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動． （ 1）求 AB 的長； （ 2）設(shè) BP＝ x，問當(dāng) x 為何值時(shí) △ PCQ 的面積最大，并求出最大值； （ 3）探究：在 AB 邊上是否存在點(diǎn) M，使得四邊形 PCQM 為菱形？請說明理由． 第 29 頁 考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；菱形的性質(zhì)；解直角三角形． 分析： （ 1）作 AE⊥ BC，根據(jù)題意可知 BE 的長度，然后，根據(jù) ∠ B 的正弦值，即可推出AB 的長度； （ 2）作 QF⊥ BC，根據(jù)題意推出 BP＝ CQ，推出 CP 關(guān)于 x 的表達(dá)式，然后，根據(jù) ∠ C 的正弦值推出高 QF 關(guān)于 x 的表達(dá)式，即可推出面積關(guān)于 x 的二次函數(shù)式，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值即可推出 x 的值； （ 3）首先 假設(shè)存在 M 點(diǎn)，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)推出， ∠ B＝ ∠ APB＝ ∠ BAP＝ 45176。，這是不符合三角形內(nèi)角和定理的，所以假設(shè)是錯誤的，故 AB 上不存在 M 點(diǎn)． 解答： 解：（ 1）作 AE⊥ BC， ∵ 等腰梯形 ABCD 中， AD＝ 4， BC＝ 9， ∴ BE＝（ BC﹣ AD） 247。 2＝ ， ∵∠ B＝ 45176。， ∴ AB＝ 5 22 錯誤 !未找到引用源。 ， （ 2）作 QF⊥ BC， ∵ 等腰梯形 ABCD， ∴∠ B＝ ∠ C＝ 45176。， ∵ 點(diǎn) P 和點(diǎn) Q 的運(yùn)動速度、運(yùn)動時(shí)間相同， BP＝ x， ∴ BP＝ CQ＝ x， ∵ BC＝ 9， ∴ CP＝ 9﹣ x， QF＝ 22 x 錯誤 !未找到引用源。 ， 設(shè) △ PQC 的面積為 y， ∴ y＝（ 9﹣ x） ? 22 x 12， 即 y＝ － 24 x2＋ 9 24 x 錯誤 !未找到引用源。 ， ∴ 當(dāng) x＝﹣ b2a＝ 92時(shí)， y 的值最大， ∴ 當(dāng) x＝ 92錯誤 !未找 到引用源。 時(shí)， △ PQC 的面積最大， 第 30 頁 （ 3）假設(shè) AB 上存在點(diǎn) M，使得四邊形 PCQM 為菱形， ∵ 等腰梯形 ABCD， ∠ B＝ ∠ C＝ 45176。， ∴ CQ＝ CP＝ BP＝ MP， ∠ B＝ ∠ C＝ ∠ MPB＝ 45176。， ∴∠ BMP＝ 45176。， ∵∠ B＝ ∠ APB＝ ∠ BMP＝ 45176。，不符合三角形內(nèi)角和定理， ∴ 假設(shè)不存在， ∴ 邊 AB 上不存在點(diǎn) M，使得四邊形 PCQM 為菱形． 點(diǎn)評： 本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)、解直角三角形、二次函數(shù)的最值、內(nèi)角和定理、菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形畫出相應(yīng)的輔助線，熟練 掌握相關(guān)的性質(zhì)定理即可． 4. （ 2022重慶市， 24， 10分） 如圖 ,在直角梯形 ABCD 中， AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC, 且 AE⊥BC . ⑴ 求證： AD=AE； ⑵ 若 AD=8， DC=4，求 AB的長 . 考點(diǎn)： 直角梯形 ； 全等三角形的判定與性質(zhì) ； 勾股定理 ． 分析： （ 1）連接 AC，證明 △ ADC與 △ AEC全等即可； （ 2）設(shè) AB=x，然后用 x表示出 BE，利用勾股定理得到有關(guān) x的方程，解得即可． 答案： 24．解：（ 1）連接 AC ∵ AB∥ CD ∴∠ ACD=∠ BAC ∵ AB=BC 24題 圖BACDE第 31 頁 ∴∠ ACB=∠ BAC ∴∠ ACD=∠ ACB ∵ AD⊥ DC AE⊥ BC ∴∠ D=∠ AEC=900 ∵ AC=AC ∴ △ ADC≌△ AEC ∴ AD=AE （ 2）由（ 1）知： AD=AE ， DC=EC 設(shè) AB＝ x, 則 BE=x－ 4 ， AE=8 在 Rt△ ABE中 ∠ AEB=900 由勾股定理得： 2 2 28 ( 4)xx? ? ? 解得： x=10 ∴ AB=10 點(diǎn)評： 本題考查梯形，矩形、直角三角形的相關(guān)知識．解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為矩形和直角三角形，從而由矩形和直角三角形的性質(zhì)來求解． 5. （ 2022 重慶， 24， 10 分） 如圖，梯形 ABCD 中， AD∥ BC， ∠ DCB=45176。， CD=2， BD⊥ CD．過點(diǎn) C 作 CE⊥ AB 于 E，交對角線 BD 于 F，點(diǎn) G 為 BC 中點(diǎn)，連接 EG、 AF． （ 1）求 EG 的長； （ 2）求證： CF=AB+AF． 考點(diǎn) ：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理 分析： （ 1）根據(jù) BD⊥ CD， ∠ DCB=45176。，得到 ∠ DBC=∠ DCB，求出 BD=CD=2，根據(jù)勾股定理求出 BC=2 錯誤 !未找到引用源。 ，根據(jù) CE⊥ BE，點(diǎn) G 為 BC 的中點(diǎn)即可求出 EG； （ 2）在線段 CF 上截取 CH=BA，連接 DH，根據(jù) BD⊥ CD， BE⊥ CD，推出 ∠ EBF=∠ DCF，證出 △ ABD≌△ HCD ， 得 到 AD=BD ， ∠ ADB=∠ HDC ， 根 據(jù) AD∥ BC ， 得 到∠ ADB=∠ DBC=45176。，推出 ∠ ADB=∠ HDB，證出 △ ADF≌△ HDF，即可得到答案． 解答： （ 1）解： ∵ BD⊥ CD， ∠ DCB=45176。， ∴∠ DBC=45176。=∠ DCB， ∴ BD=CD=2，在 Rt△ BDC 中 BC= 22BD CD? 錯誤 !未找到引用源。 =2 錯誤 !未找到引用源。 ， ∵ CE⊥ BE，點(diǎn) G 為 BC 的中點(diǎn)， ∴ EG=錯誤 !未找到引用源。BC=錯誤 !未找到引用源。 ． 答： EG 的長是 錯誤 !未找到引用源。 ． （ 2）證明：在線段 CF 上截取 CH=BA，連接 DH， A B E G C D F 24題圖 24題 圖BACDE第 32 頁 ∵ BD⊥ CD， BE⊥ CE， ∴∠ EBF+∠ EFB=90176。， ∠ DFC+∠ DCF=90176。， ∵∠ EFB=∠ DFC， ∴∠ EBF=∠ DCF， ∵ DB=CD， BA=CH， ∴△ ABD≌△ HCD， ∴ AD=DH， ∠ ADB=∠ HDC， ∵ AD∥ BC， ∴∠ ADB=∠ DBC=45176。， ∴∠ HDC=45176。， ∴∠ HDB=∠ BDC﹣ ∠ HDC=45176。， ∴∠ ADB=∠ HDB， ∵ AD=HD， DF=DF， ∴△ ADF≌△ HDF， ∴ AF=HF， ∴ CF=CH+HF=AB+AF， ∴ CF=AB+AF． 點(diǎn)評： 本題主要考查對梯形，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，勾股 定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵． 6.（ 2022?賀州）如圖，在梯形 ABCD 中， AB∥ CD， AB=3CD，對角線 AC、 BD 交于點(diǎn) O，中位線 EF 與 AC、 BD 分別交于 M、 N 兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是梯形 ABCD 面積的（ ） A、 錯誤 !未找到引用源。 B、 錯誤 !未找到引用源。 C、 錯誤 !未找到引用源。 D、 錯誤 !未找到引用源。 考點(diǎn) ：梯形中位線定理；三角形中位線定理。 分析： 首先根據(jù)梯形的中位線定理，得到 EF∥ CD∥ AB，再根據(jù)平行線等分線段定理，得到 M， N 分別是 AD， BC 的中點(diǎn)；然后根據(jù)三角形的中位線定理得到 CD=2EM=2NF，最后根據(jù)梯形面積求法以及三角形面積公式求出，即可求得陰影部分的面積與梯形 ABCD 面積的面積比． 解答： 解：過點(diǎn) D 作 DQ⊥ AB，交 EF 于一點(diǎn) W， ∵ EF 是梯形的中位線， A B E G C D F 24 題答圖 第 33 頁 ∴ EF∥ CD∥ AB， DW=WQ， ∴ AM=CM， BN=DN． ∴ EM=錯誤 !未找到引用源。 CD， NF=錯誤 !未找到引用源。 CD． ∴ EM=NF， ∵ AB=3CD，設(shè) CD=x， ∴ AB=3x， EF=2x， ∴ MN=EF﹣（ EM+FN） =x， ∴ S△ AME+S△ BFN=錯誤 !未找到引用源。 EMWQ+錯誤 !未找到引用源。 FNWQ=錯誤 !未找到引用源。 （ EM+FN） QW=錯誤 !未找到引用源。 x?QW， S 梯形 ABFE=錯誤 !未找到引用源。 （ EF+AB） WQ=錯誤 !未找到引用源。 QW， S△ DOC+S△ OMN=錯誤 !未找到引用源。 CDDW=錯誤 !未找到引用源。 xQW， S 梯形 FECD=錯誤 !未找到引用源。 （ EF+CD） DW=錯誤 !未找到引用源。 xQW， ∴ 梯形 ABCD 面積 =錯誤 !未找到引用源。 xQW+錯誤 !未找到引用源。 xQW=4xQW， 圖中陰影部分的面積 =錯誤 !未找到引用源。 x?QW+錯 誤 !未找到引用源。 xQW=xQW， ∴ 圖中陰影部分的面積是梯形 ABCD 面積的： 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 ． 故選： C． 點(diǎn)評： 此題考查了三角形中位線定理、平 行線等分線段定理和梯形的中位線定理和梯形面積與三角形面積求法，解答時(shí)要將三個定理聯(lián)合使用，以及得出各部分對應(yīng)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵． 7. （ 2022?廣東汕頭）如圖，直角梯形紙片 ABCD 中， AD∥ BC， ∠ A=90176。， ∠ C=30176。，折疊紙片使 BC 經(jīng)過點(diǎn) D，點(diǎn) C 落在點(diǎn) E 處， BF 是折痕，且 BF=CF=8． （ 1）求 ∠ BDF 的度數(shù)； （ 2）求 AB 的長． 考點(diǎn) ：直角梯形；翻折變換（折疊問題）；解直角三角形。 專題 ：綜合題。 分析： （ 1）利 用等邊對等角可以得到 ∠ FBC=∠ C=30176。，再利用折疊的性質(zhì)可以得到∠ EBF=∠ CBF=30176。，從而可以求得所求角的度數(shù)． （ 2）利用上題得到的結(jié)論可以求得線段 BD，然后在直角三角形 ABD 中求得 AB 即可． 解答： 解：（ 1） ∵ BF=CF=8， 第 34 頁 ∴∠ FBC=∠ C=30176。，