屆高三數(shù)學(xué)第二輪專題一第六講數(shù)學(xué)思想方法與答題模板建構(gòu)-資料下載頁
2025-01-09 11:37本頁面
【正文】 d＝ 0， 從而 g(x)＝ ax3＋ cx， g′ (x)＝ 3ax2＋ c. 又當(dāng) x＝ 1 時， g(x)取得極值－ 2， ∴????? g?1?＝ a＋ c＝－ 2，g′ ?1?＝ 3a＋ c＝ 0， 解得 ????? a＝ 1，c＝－ 3. ∴ g(x)＝ x3－ 3x， g′ (x)＝ 3x2－ 3＝ 3(x－ 1)(x＋ 1)． ∴ 當(dāng) x∈ (－ ∞ ， 1)∪ (1，＋ ∞ )時， g′ (x)0， 故 g(x)在區(qū)間 (－ ∞ ，－ 1]， [1，＋ ∞ )上是增函數(shù)； 當(dāng) x∈ (－ 1,1)時， g′ (x)0， 故 g(x)在區(qū)間 (－ 1,1)上是減函數(shù)． ∴ 當(dāng) x＝－ 1 時， g(x)取得極大值 2. (2)由 f(x)≤ g(x)? 2x2＋ x－ k≤ x3－ 3x? k≥ － x3＋ 2x2＋ 4x， ∴ 原命題等價于 k≥ － x3＋ 2x2＋ 4x 在 x∈ [－ 1,3]上恒成立． 令 h(x)＝－ x3＋ 2x2＋ 4x， x∈ [－ 1,3]，則 k≥ h(x)max. ∵ h′ (x)＝－ 3x2＋ 4x＋ 4＝－ (3x＋ 2)(x－ 2)，從而可得 h′ (x)， h(x)的值隨 x 的變化如下表： x － 1 ?? ??－ 1，－ 23 － 23 ?? ??－ 23， 2 2 (2,3) 3 h′ (x) － 0 ＋ 0 － h(x) － 1 ↘ － 4027 ↗ 8 ↘ 3 故 h(x)max＝ h(2)＝ 8， ∴ k 的取值范圍為 [8，＋ ∞ )． (3)對任意 x1∈ [－ 1,3]， x2∈ [－ 1,3]都有 f(x1)≤ g(x2)成立，即 f(x1)max≤ g(x2)min. f(x)＝ 2x2＋ x－ k＝ 2?? ??x＋ 14 2－ 18－ k， ∴ 當(dāng) x1∈ [－ 1,3]時， f(x1)max＝ f(3)＝ 21－ k， ∵ g(x)＝ x3－ 3x， g′ (x)＝ 3x2－ 3＝ 3(x－ 1)(x＋ 1)， ∴ 當(dāng) x2∈ (－ 1,1)時， g′ (x2)0， 故 g(x)在區(qū)間 [－ 1,1]上是減函數(shù)； 當(dāng) x2∈ (1,3)時， g′ (x2)0， 故 g(x2)在區(qū)間 (1,3]上是增函數(shù)； ∴ 當(dāng) x＝ 1 時， g(x2)取得最小值 g(x2)min＝ g(1)＝－ 2. ∴ 21－ k≤ － 2， k≥ 23. ∴ 實數(shù) k 的取值范圍是 [23，＋ ∞ )． [文 ]已知函數(shù) f(x)＝ x3－ ax2－ 3x(a∈ R)． (1)若函數(shù) f(x)在區(qū)間 [1，＋ ∞ )上為增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍； (2)若 x＝－ 13是函數(shù) f(x)的極值點，求函數(shù) f(x)在區(qū)間 [1， a]上的最大值； (3)在 (2)的條件下，是否存在實數(shù) b，使得函數(shù) g(x)＝ bx 的圖像與函數(shù) f(x)的圖像恰有 3個交點？若存在，求出 b 的取值范圍；若不存在，請說明理由． 解： (1)f′ (x)＝ 3x2－ 2ax－ 3， 因 f(x)在區(qū)間 [1，＋ ∞ )上是增函數(shù)， 故當(dāng) x∈ [1，＋ ∞ )時，恒有 f′ (x)≥ 0， 即 3x2－ 2ax－ 3≥ 0 在區(qū)間 [1，＋ ∞ )上恒成立． 由 Δ＝ 4a2＋ 360， a3≤ 1 且 f′ (1)＝－ 2a≥ 0， 解得 a≤ 0. (2)依題意得 f′ (－ 13)＝ 0， 13＋ 23a－ 3＝ 0， a＝ 4. 則 f(x)＝ x3－ 4x2－ 3x. 令 f′ (x)＝ 3x2－ 8x－ 3＝ 0， 解得 x1＝－ 13， x2＝ 3. 而 f(1)＝－ 6， f(3)＝－ 18， f(4)＝－ 12， 故 f(x)在區(qū)間 [1,4]上的最大值是 f(1)＝－ 6. (3)若函數(shù) g(x)＝ bx 的圖像與函數(shù) f(x)的圖像恰有 3 個不同的交點， 即方程 x3－ 4x2－ 3x＝ bx 恰有 3 個不等的實數(shù)根． 而 x＝ 0 是方程 x3－ 4x2－ 3x＝ bx 的一個實數(shù)根，則 方程 x2－ 4x－ 3－ b＝ 0 有兩個非零實數(shù) 根， 則????? Δ＝ 16＋ 4?b＋ 3?0－ 3－ b≠ 0 ，即 b－ 7 且 b≠ － 3. 故滿足條件的 b 存在，其取值范圍是 (－ 7，－ 3)∪ (－ 3，＋ ∞ )．
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