第10屆“五羊杯”數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案-資料下載頁
2025-01-09 07:43本頁面
【正文】 ,(即 m,n 互質(zhì) ),則因 9x2是整數(shù) ,必有 m2|9,故 m=1 或 3。若 m=1,則 x=n,9n28n=1,n=1。若 m=3,則 x= 。設(shè) n=3k+θ(1≤θ≤2),k 是整數(shù) ,則 n28 =1, 即 (3k+θ) 28k=1,9k2+(6θ 8)k+(θ 21)=0,判別式 Δ=(6θ 8)236(θ 21)=10096θ≥ 0,只有 θ=1,Δ=4, (非整數(shù)值舍去 )。 于是原方程有 2個(gè)有理數(shù)根 : 。 ≥ 或 y≤ 。 原方程 x2(2|y|+6)x+(|y2|4|y|+27)=0,判別式 Δ=(2|y|+6) 24(|y2|4|y|+27)≥0, 即 40|y|72≥0,|y|≥1 .8,y≥ 或 y≤ 。 如圖 5,設(shè) SΔPFJ =x,則因 ΔIMP∽ΔPFJIBJ, 相似比為IP:PJ:IJ,面積比為 IP2:PJ2:IJ2, 故 ,x=49。同理 ,設(shè) SΔEPN =y,則,y=25。再由 ΔPFJ∽ΔEPN∽ΔIMP∽ΔABC, 相似比為 FJ:PN:MP:BC,面積比為 FJ2:PN2:MP2:BC2,故 9. 設(shè) ,則原方程成為 (AB)(A+B)+6B9=0, 即 A2B2+6B9=0,A2(B26B+9)=0,A2(B3)2=0,(A+B3)(AB+3)=0,A+B3=0或 AB+3=0。若 A+B3=0,即 x3x24x+4=0,(x24)(x1)=0,x24=0或 x1=0,x=177。2 或 1。若 AB+3=0,即 x33x2+x+1=0,(x1)(x22x1)=0,x1=0或 x22x1=0,x=0或 1177。 。 (注 :本題的 6次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有 6個(gè)根 ,恰都是實(shí)根 ,它們是 1(2重根 ),177。2, 1177。 。 ) 10. , , 3 如圖 6,SΔAQB ： AΔAQC =B到 AA39。之距 :C 到期 AA39。之距 =SΔB QA:SΔCQA ,即 (注 :圖中注個(gè)小三角形中 ,若有本個(gè)的面積已知 ,便可推求得另三個(gè)的面積 ,但有的情形推 導(dǎo)過程較為復(fù)雜 ,讀者不妨自行嘗試 )。
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