【正文】 21222???? ~???????????? ?????)4)(1()10)(1(00 11102452???? ????要使方程組有唯一解 ? 必須 R(A)?R(B)?3? 即必須 (1??)(10??)?0? 所以當 ??1 且 ??10 時 ? 方程組有唯一解 . 要使方程組無解 ? 必須 R(A)?R(B)? 即必須 (1??)(10??)?0 且 (1??)(4??)?0? 所以當 ??10 時 ? 方程組無解 . 要使方程組有無窮多解 ? 必須 R(A)?R(B)?3? 即必須 (1??)(10??)?0 且 (1??)(4??)?0? 所以當 ??1 時 ? 方程組有無窮多解 ?此時，增廣矩 陣為 B~ ???????? ?0000 00001221 ? 方程組的解為 ???????????3322321 1xx xxxxx ? 或 ?????????????????????????? ??????????00110201221321 kkxxx (k1? k2為任意常數(shù) )? 班級 姓名 學號 31 線性代數(shù)期中復習答案 一、選擇題 （ 1） 設有齊次線性方程組 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均為 nm? 矩陣，現(xiàn)有 4 個命題： ① 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，則秩 (A)? 秩 (B)； ② 若秩 (A)? 秩 (B)，則 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； ③ 若 Ax=0 與 Bx=0 同解，則秩 (A)=秩 (B)； ④ 若秩 (A)=秩 (B)， 則 Ax=0 與 Bx=0 同解 . 以上命題中正確的是 (A) ① ② . (B) ① ③ . (C) ② ④ . (D) ③ ④ . [ B ] 【 分析 】 本題也可找反例用排除法進行分析，但 ① ② 兩個命題的反例比較復雜一些，關鍵是抓住 ③ 與 ④ ，迅速排除不正確的選項 . 【 詳解 】 若 Ax=0 與 Bx=0 同解，則 n秩 (A)=n 秩 (B), 即秩 (A)=秩 (B)，命題 ③ 成立，可排除 (A),(C)；但反過來，若秩 (A)=秩 (B)， 則不能推出 Ax=0 與 Bx=0 同解，如??????? 00 01A ， ??????? 10 00B ，則秩 (A)=秩 (B)=1，但 Ax=0 與 Bx=0 不同解，可見命題 ④不成立，排除 (D),故正確選項為 (B). (2) 設 n 階矩陣 A 的伴隨矩陣 ,0*?A 若 4321 , ξξξξ 是非齊次線性方程組 bAx?的 互不相等的解，則對應的齊次線性方程組 0?Ax 的基礎解系 (A) 不存在 . (B) 僅含一個非零解向量 . (C) 含有兩個線性無關的解向量 . (D) 含有三個線性無關的解向 量 . [ B ] 班級 姓名 學號 32 【 分析 】 要確定基礎解系含向量的個數(shù) , 實際上只要確定未知數(shù)的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩 . 【 詳解 】 因為基礎解系含向量的個數(shù) = )(Arn? , 而且 ???????????.1)(,0,1)(,1,)(,)( *nArnArnArnAr 根據(jù)已知條件 ,0*?A 于是 )(Ar 等于 n 或 1?n . 又 bAx? 有互不相等的解 , 即解不惟一 , 故 1)( ??nAr . 從而基礎解系僅含一個解向量 , 即選 (B). （ 3） 設 A 是 3 階方陣，將 A 的第 1 列與第 2 列交換得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C, 則滿足 AQ=C 的可逆矩陣 Q 為 (A) ??????????101001010 . (B) ??????????100101010 . (C) ??????????110001010 . (D) ??????????100001110 . [ D ] 【 分析 】 本題考查初等矩陣的的概念與性質，對 A 作兩次初等列變換，相當于右乘兩個相應的初等矩陣，而 Q 即為此兩個初等矩陣的乘積。 【 詳解 】由題設，有 BA ???????????100001010 ， CB ???????????100110001 ， 于是， .100001110100110001100001010CAA ???????????????????????????????? 可見，應選 (D). （ 4） 設 n 階矩陣 A 與 B 等價 , 則必須 班級 姓名 學號 33 (A) 當 )0(|| ?? aaA 時 , aB?|| . (B) 當 )0(|| ?? aaA 時 , aB ??|| . (C) 當 0|| ?A 時 , 0|| ?B . (D) 當 0|| ?A 時 , 0|| ?B . [ D ] 【 分析 】 利用矩陣 A 與 B 等價的充要條件 : )()( BrAr ? 立即可得 . 【 詳解 】因為當 0|| ?A 時 , nAr ?)( , 又 A 與 B 等價 , 故 nBr ?)( , 即 0|| ?B , 從而選 (D). 二、填空題 （ 1） 設三階方陣 A,B 滿足 EBABA ???2 ，其中 E 為三階單位矩陣，若????????????102020101A ，則 ?B 21 . 【 分析 】 先化簡分解出矩陣 B，再取行列式即可 . 【 詳解 】 由 EBABA ???2 知， EABEA ??? )( 2 ，即 EABEAEA ???? ))(( ， 易知矩陣 A+E 可逆，于是有 .)( EBEA ?? 再兩邊取行列式，得 1?? BEA ， 因為 2002010100???? EA , 所以 ?B 21 . （ 2） 設矩陣???????????100021012A ，矩陣 B 滿足 EBAABA ?? ** 2 ，其中 *A 為 A 的伴隨矩陣 ， E 是單位矩陣，則 ?B 91 . 班級 姓名 學號 34 【 分析 】 可先用公式 EAAA ?* 進行化簡 【 詳解 】 已知等式兩邊同時右乘 A，得 AABAAABA ?? ** 2 ， 而 3?A ，于是有 ABAB ?? 63 ， 即 ABEA ?? )63( ， 再兩邊取行列式，有 363 ??? ABEA ， 而 2763 ?? EA ，故所求行列式為 .91?B （ 3） 設?????????????100001010A ， APPB 1?? ，其中 P 為三階可逆矩陣 , 則 ?? 22022 2AB ???????????100030003 ． 【 分析 】 將 B 的冪次 轉化為 A 的冪次 , 并注意到 2A 為對角矩陣即得答案 . 【 詳解 】因為 ?????????????1000100012A , PAPB 202212022 ?? . 故 EEPPPAPB ??? ?? 11 0 0 2212 0 0 4 )( , ?? 22022 2AB???????????100030003 . 班級 姓名 學號 35 （ 4） 已知矩陣?????????????kkkk111111111111A ，且 A 的秩 ? ? 3?Ar ，則 ?k _3___． 應填： 3? ． （ 5） 已知線性方程組 ????????????ayxyxyx25320 有解，則 ?a ___1__． 三 ? 證明 R(A)?1 的充分必要條件是存在非零列向量 a 及非零行向量 bT? 使 A?abT? 證明 必要性 ? 由 R(A)?1 知 A 的標準形為 )0 , ,0 ,1(001000000001????????????????????????????????????????????????? 即存在可逆矩陣 P 和 Q? 使 )0 , ,0 ,1(001?????????????????P A Q ? 或 11 )0 , ,0 ,1(001?? ????????????????? QPA ? 令?????????????? ?0011Pa ? bT?(1? 0? ???? 0)Q?1? 則 a 是非零列向量 ? bT是非零行向量 ? 且 A?abT? 充分性 ? 因為 a 與 bT是都是非零向量 ? 所以 A 是非零矩陣 ? 從而 R(A)?1? 因為 1?R(A)?R(abT)?min{R(a)? R(bT)}?min{1? 1}?1? 所以 R(A)?1? 四、設 n 階矩陣 A 和 B 滿足條件： ABBA ?? ． ⑴ 證明： EA? 是可逆矩陣，其中 E 是 n 階單位． 班級 姓名 學號 36 ⑵ 已知矩陣?????????? ??200012031B ，求矩陣 A ． 解： ⑴ 由等式 ABBA ?? ，得 EEABBA ???? ，即 ? ?? ? EEBEA ??? 因此矩陣 EA? 可逆，而且 ? ? EBEA ??? ?1 ． ⑵ 由⑴知， ? ? 1???? EBEA ，即 ? ? EEBA ??? ?1 ? ? EEBA ??? ?1 ?????????????????????????????????????????????????? ???10001000110000310210100010001100002030 1 ??????????????????20001310211 五、 當 a 、 b 為何值時，線性方程組 ? ?????????????????????????12323122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx 有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出有無窮多組解時的通解． 解：