【正文】 成立 ,則 1?k 時 ?????? ???????????????? 1)1( 01101101 ??? kkAAA kk 由數(shù)學歸納法原理知 : ??????? 101?kAk. 班級 姓名 學號 15 5﹑設 ,A??????????????001001 求kA . 解 首先觀察 ???????????????????????????0010010010012A?????????222002012????? , ?????????????3232323003033??????AAA 由此推測 ?????????????? ?? ???kkkkkkk kkkkA??????0002)1(121 )2(?k (***) 用數(shù)學歸納法證明 : 當 2?k 時 ,顯然成立 . 假設 k 時成立，則 1?k 時， ???????????????????????? ???? ?????????????0010010002)1(1211kkkkkkkk kkkkAAA????????????????????????11111100)1(02)1()1(kkkkkkkkkk?????? 由數(shù)學歸納法原理知 : (***)成立 . 6﹑設 BA、 都是 n 階對稱陣 ,證明 AB 是對稱陣的充要條件是 BAAB? . 證明： 由已知： AAT? BBT? 充分性 ： BAAB? ? ABAB TT? ? )(ABAB T? 即 AB 是對稱矩陣 . 必要性： ABAB T ?)( ? ABAB TT ? ? ABBA? . 班級 姓名 學號 16 7．設 ??????? 31 21A, ??????? 21 01B，問： (1) BAAB? 嗎 ? (2) 222 2)( BABABA ???? 嗎 ? (3) 22))(( BABABA ???? 嗎 ? 解 (1) ??????? 31 21A, ??????? 2101B. 則 ??????? 64 43AB ??????? 83 21BA BAAB?? (2) ?????????????? 52 2252 22)( 2BA ??????? 2914 148 但 ??? 22 2 BABA ???????????????????? 43 01128 86114 83 ??????? 2715 1610 故 222 2)( BABABA ???? (3) ??? ))(( BABA ????????????? 10 2052 22 ?????? 90 60 而 ?? 22 BA ?????????????? 43 01114 83 ?????? 71 82 故 22))(( BABABA ???? 8．舉反例說明下列命題是錯誤的 : （１）若 02?A ,則 0?A 。 證 因 *A = 1?AA ，由 1?A 的可逆性及 0?A ，可知 ?A 可逆，且 111 )()( ???? ? AAA ＝ AA1 ； 另一方面，由伴隨陣的性質(zhì)，有 *11 )( ?? AA = EA1? . 用 A 左乘此式兩邊得 *1)( ?A = AA1? = AA1? = AA1, 比較上面兩個式子，即知結(jié)論成立。 【 詳解 】由題設，有 BA ???????????100001010 ， CB ???????????100110001 ， 于是， .100001110100110001100001010CAA ???????????????????????????????? 可見，應選 (D). （ 4） 設 n 階矩陣 A 與 B 等價 , 則必須 班級 姓名 學號 33 (A) 當 )0(|| ?? aaA 時 , aB?|| . (B) 當 )0(|| ?? aaA 時 , aB ??|| . (C) 當 0|| ?A 時 , 0|| ?B . (D) 當 0|| ?A 時 , 0|| ?B . [ D ] 【 分析 】 利用矩陣 A 與 B 等價的充要條件 : )()( BrAr ? 立即可得 . 【 詳解 】因為當 0|| ?A 時 , nAr ?)( , 又 A 與 B 等價 , 故 nBr ?)( , 即 0|| ?B , 從而選 (D). 二、填空題 （ 1） 設三階方陣 A,B 滿足 EBABA ???2 ，其中 E 為三階單位矩陣，若????????????102020101A ，則 ?B 21 . 【 分析 】 先化簡分解出矩陣 B，再取行列式即可 . 【 詳解 】 由 EBABA ???2 知， EABEA ??? )( 2 ，即 EABEAEA ???? ))(( ， 易知矩陣 A+E 可逆，于是有 .)( EBEA ?? 再兩邊取行列式，得 1?? BEA ， 因為 2002010100???? EA , 所以 ?B 21 . （ 2） 設矩陣???????????100021012A ，矩陣 B 滿足 EBAABA ?? ** 2 ，其中 *A 為 A 的伴隨矩陣 ， E 是單位矩陣，則 ?B 91 . 班級 姓名 學號 34 【 分析 】 可先用公式 EAAA ?* 進行化簡 【 詳解 】 已知等式兩邊同時右乘 A，得 AABAAABA ?? ** 2 ， 而 3?A ，于是有 ABAB ?? 63 ， 即 ABEA ?? )63( ， 再兩邊取行列式，有 363 ??? ABEA ， 而 2763 ?? EA ，故所求行列式為 .91?B （ 3） 設?????????????100001010A ， APPB 1?? ，其中 P 為三階可逆矩陣 , 則 ?? 22022 2AB ???????????100030003 ． 【 分析 】 將 B 的冪次 轉(zhuǎn)化為 A 的冪次 , 并注意到 2A 為對角矩陣即得答案 . 【 詳解 】因為 ?????????????1000100012A , PAPB 202212022 ?? . 故 EEPPPAPB ??? ?? 11 0 0 2212 0 0 4 )( , ?? 22022 2AB???????????100030003 . 班級 姓名 學號 35 （ 4） 已知矩陣?????????????kkkk111111111111A ，且 A 的秩 ? ? 3?Ar ，則 ?k _3___． 應填： 3? ． （ 5） 已知線性方程組 ????????????ayxyxyx25320 有解，則 ?a ___1__． 三 ? 證明 R(A)?1 的充分必要條件是存在非零列向量 a 及非零行向量 bT? 使 A?abT? 證明 必要性 ? 由 R(A)?1 知 A 的標準形為 )0 , ,0 ,1(001000000001????????????????????????????????????????????????? 即存在可逆矩陣 P 和 Q? 使 )0 , ,0 ,1(001?????????????????P A Q ? 或 11 )0 , ,0 ,1(001?? ????????????????? QPA ? 令?????????????? ?0011Pa ? bT?(1? 0? ???? 0)Q?1? 則 a 是非零列向量 ? bT是非零行向量 ? 且 A?abT? 充分性 ? 因為 a 與 bT是都是非零向量 ? 所以 A 是非零矩陣 ? 從而 R(A)?1? 因為 1?R(A)?R(abT)?min{R(a)? R(bT)}?min{1? 1}?1? 所以 R(A)?1? 四、設 n 階矩陣 A 和 B 滿足條件： ABBA ?? ． ⑴ 證明： EA? 是可逆矩陣，其中 E 是 n 階單位． 班級 姓名 學號 36 ⑵ 已知矩陣?????????? ??200012031B ，求矩陣 A ． 解： ⑴ 由等式 ABBA ?? ，得 EEABBA ???? ，即 ? ?? ? EEBEA ??? 因此矩陣 EA? 可逆，而且 ? ? EBEA ??? ?1 ． ⑵ 由⑴知， ? ? 1???? EBEA ，即 ? ? EEBA ??? ?1 ? ? EEBA ??? ?1 ?????????????????????????????????????????????????? ???10001000110000310210100010001100002030 1 ??????????????????20001310211 五、 當 a 、 b 為何值時，線性方程組 ? ?????????????????????????12323122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx 有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出有無窮多組解時的通解． 解：
。 解 由于所給矩陣方程中含有 A 及其伴隨矩陣 ?A ，因此仍從公式 ?AA = EA 著手。 （３）若 AYAX? ,且 0?A , 則 YX? . 解 (1) 取 ??????? 00 10A, 02?A ,但 0?A (2) 取 ??????? 00 11A, AA?2 ,但 0?A 且 EA? (3) 取 ??????? 00 01A, ???????? 11 11X, ??????? 10 11Y. AYAX