【正文】 馬爾可夫過程的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣以及二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。 若質(zhì)點(diǎn) M 在圖示的反射壁間四個(gè)位置 1 2 3 4( , , , )a a a a 上隨機(jī)游動(dòng)，在 1a 處向右移動(dòng)一步的概率為 1；在 4a 處向左移動(dòng)一步的概率為 1；在 2a 、 3a 處向左或向右移動(dòng)一步的概率為 1/停留的概率為 1/2，試求在平穩(wěn)情況下，質(zhì)點(diǎn)處于各狀態(tài)的概率。 設(shè) 12, ,.., ,...nX X X 為 相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的零均值隨機(jī)變量構(gòu)成的序列，各自的概率密度分布函數(shù)分別為 ()nXnfx，定義另外一個(gè)隨機(jī)變量序列 { nY }如下 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , .. , .. . , .. .nnY X Y X X Y X X X Y X X X X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 試證明： (1) 序列 { nY }具有馬爾可夫性 (2) 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1[ | , , , .. ., ] [ | ]n n n n n n nE Y Y y Y y Y y Y y E Y Y y y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 設(shè)齊次馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移矩陣為 2/ 3 1/ 31/ 3 2/ 3??????， 請應(yīng)用該過程的遍歷性證明： ( ) ( 1 ) 1 / 2 1 / 2[] 1 / 2 1 / 2nnnPP ?????? ???? 從 1， 2， 3， 4， 5， 6 六個(gè)數(shù)中等可能地取一個(gè)數(shù)，然后還原，不斷獨(dú)立地連續(xù)下去，如果在前 n 次中所取的最大數(shù)為 j ，就說質(zhì)點(diǎn)在第 n 步時(shí)的位置處于狀態(tài) j 。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)構(gòu)成馬爾可夫鏈，試寫出其轉(zhuǎn)移概率矩陣。 設(shè)有隨機(jī)過程 X(n)， n=1,2,3,… ；它的狀態(tài)空間 I： {x,0x1}是連續(xù)的，時(shí)間參數(shù)是離散的； X(1),X(2),… ,X(m)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 111 2 11 , 2 , . . . , 1 21 0 .. . 1( 1 ) ( 1 ) .. .( 1 )( , , .. ., )0mmmmmx x xx x xf x x xothe rwi se??? ? ? ? ? ??? ? ?? ??? (1)求邊際概率密度分布 11()fx 、 22()fx 及條件概率密度 2|1 2 1( | )f x x ； (2)求轉(zhuǎn)移或條件概率密度函數(shù) | 1 1( | ) ( 3 , 4 , ..., )j j j jf x x j m?? ? ，并問該過程是否為馬爾可夫過程。 設(shè)經(jīng)過 RC 濾波器后的高斯白噪聲為 ()Yt，其相關(guān)函數(shù) ||()YRe??? ?? ，規(guī)定 32tt?? 21tt? ?? ， 33()Y t Y? 、 22()Y t Y? 、 11()Y t Y? ， 式中 3 2 1t t t??。試證： 1 2 3 1 2| , 1 2 3 | 1 2( | , ) ( | )Y Y Y Y Yf y y y f y y? 考察下列隨機(jī)過程，確定是否為獨(dú)立增量過程，如果是，求其均值與方差。 (1)隨機(jī)地投擲一枚硬幣，第 j 次投擲的結(jié)果用隨機(jī)變量 jX 描述： 11j jX j?? ? ??第 次 投 擲 結(jié) 果 為 正 面第 次 投 擲 結(jié) 果 為 反 面 由此確定的累積記數(shù)過程為1nnjjYX???。 (2) 0 1Z? ，隨機(jī)地投擲一枚硬幣，第 j 次投擲的結(jié)果用隨機(jī)變量 jZ 描述： 13 2 jjjXZZ??? 設(shè)有一參數(shù)離散、狀態(tài)連續(xù)的隨機(jī)過程 X(n)， n=1,2,3,… ；它的狀態(tài)空間 I： {x, x0} X(1),X(2),… ,X(m)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 1 1 2 2 1 1( . . . )1 2 1 1 11 , 2 , . . . , 1 2 . . . 0 , . . . , ,( , , . . . , ) 0m m m mx x x x x x xm m mmm x x x e x x xf x x x o th e r w is e? ? ?? ? ? ? ???? ??? ??? (1)求邊際概率密度分布 12()fx 、 22()fx ； (2)求邊際概率密度 1 , 2 ,..., 1 1 2 1( , , ..., )mmf x x x?? ； (3)求轉(zhuǎn)移概率密度 | 1 1( | )m m m mf x x??，并問該過程是否為馬爾可夫過程。 三個(gè)黑球與三個(gè)白球，將這 6 個(gè)球任意等分兩個(gè)袋中，并將甲袋中的白球數(shù)定義為隨機(jī)過程的狀態(tài)，則有四種狀態(tài)： 0， 1， 2， 3；現(xiàn)每次從甲、乙袋中各取一球，然后相互交換，經(jīng)過 n 次交換，過程的狀態(tài)為 X(n)， n=1,2,3， … ； (1)該過程是 否為馬爾可夫鏈； (2)計(jì)算其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣； (3)該鏈的平穩(wěn)分布是否存在，為什么？若存在，求其平穩(wěn)分布； (4)若 X(0)=0，求經(jīng)過三次交換后甲袋中有三個(gè)白球的概率。 設(shè) {X(n)}是一馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為 I： {0,1,2}，初始狀態(tài)概率分布為 { ( 0) 0 } 1 / 4 , { ( 0) 1 } 1 / 2 , { ( 0) 2 } 1 / 4P X P X P X? ? ? ? ? ? 一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 1 / 4 3 / 4 0 1 / 3 1 / 3 1 / 30 1 / 4 3 / 4P??????? (1)計(jì)算概率 { ( 0) 0 , (1 ) 1 , ( 2) 1}P X X X? ? ?； (2)計(jì)算 (2)01P 設(shè)有馬爾可夫鏈，它的狀態(tài)空間為 I： {0， 1， 2}，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 0 1 0 1 00 1 0P p p???????? (1)試求 (2)P ，并證明 (4) (2)PP? ； (2)求 ()nP ， 1n? 。 設(shè) {X(n)}是一馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為 I： {0,1}，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 1 1 ppP pp???? ????? 證明： ()11( 2 1 ) ( 2 1 )22 11( 2 1 ) ( 2 1 )22nnnnnppPpp??? ? ? ????? ? ? ??? 天氣預(yù)報(bào)問題。假設(shè)今日是否下雨依賴于前 3 天是否有雨，請將這一問題歸結(jié)為馬爾可夫鏈。如果過去一連 3 天有雨，今天有雨的概率為 ，連續(xù) 3 天為晴，今天有雨的概率為 ；在其他天氣情況下，今日的天氣與昨日相同的概率為 ，求這個(gè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣。 設(shè) { ,nX n N? }為馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間 { , , }I a b c? ，轉(zhuǎn)移矩陣為 1 / 2 1 / 4 1 / 42 / 3 0 1 / 33 / 5 2 / 5 0P??????? (1)求 1 2 3 4 5 6 7 0{ , , , , , , | }P X b X c X a X c X a X c X b X c? ? ? ? ? ? ? ? (2)求 2{ | }nnP X c X b? ?? 設(shè) { nX }為馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間 { , , , , }I a b c d e? ，轉(zhuǎn)移概率矩陣為 1 / 2 0 1 / 2 0 00 1 / 4 0 3 / 4 00 0 1 / 3 0 2 / 31 / 4 1 / 2 0 1 / 4 01 / 3 0 1 / 3 0 1 / 3P?????????，求其閉集。 確定下列馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類，哪些屬于常返的，哪些屬于非常返的。其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為。 (1) 0 1 / 2 1 / 21 / 2 0 1 / 21 / 2 1 / 2 0P???????； (2) 0 0 0 10 0 0 11 / 2 1 / 2 0 00 0 1 0P?????????；1 / 2 1 / 2 0 01 / 2 1 / 2 0 01 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 40 0 1 0P??????? (4) 1 / 2 0 1 / 2 0 01 / 4 1 / 2 1 / 4 0 01 / 2 0 1 / 2 0 00 0 0 1 / 2 1 / 20 0 0 1 / 2 1 / 2P?????????； (5) 1 / 4 3 / 4 0 0 01 / 2 1 / 2 0 0 00 0 1 0 00 0 1 / 3 2 / 3 01 0 0 0 0P????????? 設(shè) ()Nt 為具有比率為 ? 的泊松記數(shù)過程，其相應(yīng)的概率分布為 (){ ( ) } ! k ttP N t k ek ?? ??? 試求該過程的特征函數(shù) ，并根據(jù)特征函數(shù)求其均值、方差。 設(shè) ()Nt 為具有比率為 ? 的泊松記數(shù)過程，以如下方式產(chǎn)生一個(gè)新的隨機(jī)過程 ()Xt ，(0) 0X ? ，在 ()Nt 過程中，每發(fā)生一事件， ()Xt 就變化一隨機(jī)數(shù)量，對應(yīng)第 n 次事件的隨機(jī)變量為 nY ，并且對應(yīng)不同的事件，這些變化之間以及與 ()Nt 間是相互獨(dú)立的，這樣 ()1()NtnnX t Y??? 假設(shè)每個(gè)隨機(jī)變量 nY 具有相同的概率密度函數(shù) ()Yfy，對應(yīng)的均值、均方值分別為 Ym 、2Ym，試求該過程的特征函數(shù)，并根據(jù)特征函數(shù)求其均 值、方差。 設(shè) 1()Nt與 2()Nt是兩個(gè)相互獨(dú)立的、比率分別為 1? 和 2? 的泊松過程 (1)證明 12( ) ( ) ( )SN t N t N t??是比率為 12??? 的泊松過程； (2)證明 12( ) ( ) ( )DN t N t N t??不是泊松過程 設(shè)在時(shí)間 t 內(nèi)向電話 總機(jī)呼喚 k 次的概率為 , 0,1, 2,...!k ekk ?? ? ? ，其中 0?? 為常數(shù)，在任意相鄰的時(shí)間間隔內(nèi)的呼喚次數(shù)是相互獨(dú)立的，求在 2t 時(shí)間內(nèi)呼喚 n 次的概率 ()2ntP 。 設(shè) 1X 、 2X 、 … 、 NX 是 相互獨(dú)立、分別服從參數(shù)為 1? 、 2? 、 … 、 N? 的 泊松分布{} !kiiP X k ek ?? ??? 隨機(jī)變量，證明隨機(jī)變量1NiiYX???服從 參數(shù)為1Nii?????的泊松分布。 電子管中的電子發(fā)射問題。設(shè)單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)陽極的電子數(shù)目 N 服從泊松分布，即{} !kP N k ek ?? ??? ，每個(gè)電子攜帶的能量構(gòu)成隨機(jī)序列 1X 、 2X 、 … 、 kX ； 已知各 iX 間相互獨(dú)立且與 N 相互獨(dú)立， []iEX ?? 、 2[]iDX ?? ；1NiiSX???， 求 S 均值與方差。 給定一個(gè)隨機(jī)過程 ()Xt 的任意兩個(gè)時(shí)刻 139。t 和 239。t ，若對于任意時(shí)刻 139。39。tt? ， (39。)Xt 與21( 39。) ( 39。)X t X t? 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立， 試證明 ()Xt 為馬爾可夫過程。 多級(jí)單調(diào)諧電流放大器的頻率響應(yīng)特性為 200 ()( ) e x p 2KC ??? ?????????? 其 輸入端接入電流 ( ) ( )jjI t q t t????， q 為電子的電荷，已知泊松脈沖序列 ()Zt? ()jj tt? ?? 的 相關(guān)函數(shù)為 2( ) ( )ZR ? ? ?? ??? ， 如果 中頻放大器輸出電流 ()Vt的均值 Vm 和方差 2V? 都可以測出，求輸入脈沖列每秒的平均個(gè)數(shù) ? 。 已知 ()Xt 為泊松過程，如果 21tt? ，且 n 和 k 為非負(fù)整數(shù)，證明： 2 2 1 112 (){ ( ) , ( ) } !! nkt kn t t tP X t k X t n k e nk? ?? ? ?? ? ? ? 一質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，圓周按順時(shí)針等距排列 3 個(gè)點(diǎn) (0,1,2)將圓周分成 3 格，質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)或順時(shí)針 或逆時(shí)針移動(dòng)一格，順時(shí)針前進(jìn)一格的概率為 1/2 ，逆時(shí)針退一格的概率為 1/2 。設(shè) ()Xn代表 質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過 n 次游動(dòng)后所處的位置， ()Xn為齊次馬爾可夫鏈。試求： (1)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣， (2)極限概率分布。 一質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，圓周按順時(shí)針等距排列 5 個(gè)點(diǎn) (0,1,2,3,4)將圓周分成 5 格，質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)或順時(shí)針或逆時(shí)針移動(dòng)一格，順時(shí)針 前進(jìn)一格的概率為 p ，逆時(shí)針退一格的概率為 1p? 。設(shè) ()Xn代表 質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過 n 次游動(dòng)后所處的位置， ()Xn為齊次馬爾可夫鏈。試求： (1)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣， (2)極限概率分布。