【正文】 程的相關(guān)函數(shù)為 2 | |()XXRe???? ?? ， 2 1( ) (1 | |) ( | | )YYR ? ? ? ? ? ?? ? ? 試分別求其相關(guān)時間。 設(shè)隨機(jī)過程 ( ) ( ) c os( ) ( ) si n( )Z t X t t Y t t????，其中 為常數(shù)， X(t)、 Y(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程、且聯(lián)合平穩(wěn)，求： (1)Z(t)的自相關(guān)函數(shù)； (2)如 ( ) ( )XYRR??? ， ( ) 0XYR ? ? ， 求 Z(t)的自相關(guān)函數(shù)。 兩個統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)和 Y(t)，均值都是 0，自相關(guān)函數(shù)分別為||()XRe?? ?? 、 ( ) cos( 2 )YR ? ??? ；試求： (1)Z(t)=X(t)+Y(t)的自相關(guān)函數(shù)， (2)W(t)=X(t)Y(t)的自相關(guān)函數(shù)， (3)互相關(guān)函數(shù) RZW( )。 設(shè) X(t)是雷達(dá)發(fā)射信號，遇到目標(biāo)后返回接收機(jī)的微弱信號為 1()Xt??? ，其中1??? ， 1? 是 信號返回時間，由于接收到的信號總是伴隨有噪聲 N(t)，于是 接收到的信號為： 1( ) ( ) ( )Y t X t N t??? ? ?； (1)若 X(t)與 Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程，求二者的互相關(guān)函數(shù)； (2) 在 (1)的條件下，假設(shè) N(t)為零均值，且與 X(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求 X(t)和 Y(t)的互相關(guān)函數(shù)。 已知平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)的功率譜密度函數(shù)為 242() 32XG ?? ??? ?? 求 X(t)的均方值。 平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 ||( ) 4 c os( ) c os( 3 )XRe ?? ? ? ? ???? 求其功率譜密度函數(shù)。 如圖所示系統(tǒng)， 若 X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，證明 Y(t)的功率譜密度函數(shù)為 ( ) 2 ( ) [1 c o s( ) ]YXG G T? ? ??? 已知平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)的功率譜密度函數(shù)為 ||8 ( ) 20( 1 ) | | 10() 100XGothe rw is e?? ? ??? ? ? ??? ??? 求 X(t)的自相關(guān)函數(shù)。 設(shè) X(t)和 Y(t)為兩個統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的平穩(wěn)隨機(jī)過程，均值分別為 mX、 mY，且 X(t)的功率譜密度函數(shù)為 GX( )，定義 Z(t)=X(t)+Y(t)，試計(jì)算 GXY( )、 GXZ( )。 設(shè)隨機(jī)過程 Y(t)=X(t)cos( 0t+ )，其中 0為常量， X(t)為與 無關(guān)的隨機(jī)過程，為均勻分布于 (0,2 )的隨機(jī)變量，求 Y(t)的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度。 設(shè)隨機(jī)過程 X(t)=acos( t+ )，其中 a 為常量， 為與 無關(guān)的隨機(jī)變量， 為均勻分布于 (0,2 )的隨機(jī)變量， 的一維概率密度分布函數(shù) ()f ?? 為偶函數(shù)，求證 X(t)的功率譜密度為 2( ) ( )XG a f? ? ??? 。 設(shè)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)的相關(guān)函數(shù)如下圖所示，求其功率譜密度函數(shù)。 設(shè)隨機(jī)過程 X(t)=cos( t+ )，其中 為常量， 為隨機(jī)變量，其特征函數(shù)為(u)=E[eju ]，證明：當(dāng)且僅當(dāng) (1)= (2)=0 時，隨機(jī)過程 X(t)廣義平穩(wěn)。 下列函數(shù)是否可能為平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)？ 222 2 22( ) ( 1 2 | | ) ( , )3af e a a a?? ? ? ? ??? ? ? 為 常 數(shù) 第三章： 隨機(jī)過程的線性變換 設(shè)有隨機(jī)變量序列 {X(n)|n=1,2,3,…} 以及隨機(jī)變量 X，且有 . . . ( )nl i m X n X?? ?，求證： [ ( ) ] [ ] [ . . . ( ) ]nnlim E X n E X E l i m X n? ? ? ??? 設(shè)隨機(jī)過程 X(t)是平穩(wěn)且可微的，導(dǎo)數(shù)過程為 39。()Xt。證明：對于任一給定的時刻 t，隨機(jī)變量 X(t)和 39。()Xt是正交的和互不相關(guān)的。 設(shè)隨機(jī)過程 X(t)及隨機(jī)變量 Y 和 Z，并且有0. . ( )ttl i m X t Y? ?，0. . ( )ttl i m X t Z? ?，證明 Y=Z(相當(dāng)于：若極限存在，則唯一 )。 設(shè)隨機(jī)過程 X(t)是平穩(wěn)且可微的，導(dǎo)數(shù)過程為 39。()Xt；設(shè) X(t)的物理功率譜密度為FX( ) ( 0)，試求 X(t)與 39。()Xt的互功率譜密度以及 39。()Xt的功率譜密度。 設(shè)有復(fù)隨機(jī)變量序列 {X(n)|n=1,2,3,…} 以及復(fù)隨機(jī)變量 Y，且有 2[| ( ) | ]E X n ??，求證：X(n)依均方收斂于隨機(jī)變量 Y 的充要條件是 *[ ( ) ( ) ] ( )nmlim E X n X m C???? ? 常 數(shù) 設(shè)有隨機(jī)變量序列 {X(n)|n=1,2,3,…} ， X(n)的相關(guān)函數(shù)為 1 RX( ) T/2 T/2 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ]XR n n E X n X n? 若有普通序列 {an|n=1,2,3,…} ,并定義1( ) ( )nkkY n a X k???,求 Y(n)均方收斂的充要條件。 設(shè)有隨機(jī)過程 ( ) ( )tY t X d??????， 已知 X(t)為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，功率譜密度為GX( )， (1)證明 Y(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程， (2)求 Y(t)的功率譜密度 (不考慮 =0 處 )。 (非平穩(wěn)隨機(jī)過程的連續(xù)性 ) 證明：若 X(t)的自 相關(guān)函數(shù) 12( , )XR t t 在 1 2 0t t t??處二元連續(xù)，則 X(t)在 0tt? 處連續(xù)。 對于平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)，均方連續(xù)的充要條件是其自相關(guān)函數(shù) RX( )在 =0 處連續(xù)。 設(shè) X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程， E[X(t)]=1， 2| |( ) 1XRe?? ??? ，求隨機(jī)變量 10 ()S X t dt??的均值及方差。 設(shè) X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 2 | |()XR A Be ?? ???， 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 ( ) ( 0)ath t e t???， A、 B、a 均為正的常數(shù)，設(shè) X(t)的均值非負(fù)，試求輸出 Y(t)的均值。 在圖示積分電路的輸入端加入一平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)， E[X(t)]=0， 12||212( , ) ttXR t t e ?? ??? ，電路的初始條件為 Y(0)=0，試分析輸出過程 Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性 (瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài) )。 (1) 12 題中若 X(t)的相關(guān)函數(shù)為 1 2 1 2( , ) ( )XR t t t t???，求輸出過程的自相關(guān)函數(shù)； (2)若輸入從 t= 已經(jīng)開始 (不限制 t=0處的初始條件 )，求輸出過程的自相關(guān)函數(shù)。 如圖所示的 RL 電路，輸入為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，相關(guān)函數(shù)為 12||212( , ) ttXR t t e ?? ??? ，求輸出過程的自相關(guān)函數(shù) RY ( )。 設(shè)線性因果時不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 ( ) ( ) ( 0)th t e u t? ??? ， 輸入平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 ||( ) ( 0)XRe?????? ，求輸入輸出之間的互相關(guān)函數(shù)。 設(shè)系統(tǒng)的輸出為 輸入的延遲，延遲時間為 ，試用輸入隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù) RX( )來表示輸出隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)以及輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)。 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為 () jHjj??? ???? ?，輸入平穩(wěn)隨機(jī)過程的 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 ||() vXRe?? ?? ， 試求輸入輸出隨機(jī)過程之間的互相關(guān)函數(shù)。 設(shè)輸入隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為 0 ()2N ?? ， 理想窄帶放大器的頻率特性為 002 | | 2()0 | | 2Hj???? ????? ?????? ?? ???? (0 2?? ??)，求該放大器輸出信號的總平均功率。 如圖所示的 RL 電路，輸入 X(t)是物理功率譜密度為 N0的隨機(jī)過程，試用頻域法求Y(t)的自相關(guān)函數(shù) RY( )。 如圖所示系統(tǒng)，輸入隨機(jī)過程的 功率譜密度函數(shù) 為常數(shù)， 0() 2X NG ? ?， 試用頻譜法求輸出隨機(jī)過程 Z(t)的均方值。 零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)加到一個線性濾波器，濾波器的沖激響應(yīng)是指數(shù)函數(shù)的一段，即 0() 0 te t Tht o th e r w is e??? ??? ?? 試用 GX( )來表示輸出隨機(jī)過程 Y(t)的功率譜密度。 設(shè)積分電路輸入輸出之間滿足如下關(guān)系 ( ) ( )ttTY t X d???? ?，其中 T 為常數(shù)，且 X(t)、Y(t)均為平穩(wěn)隨機(jī)過程，求二者功率譜密度之間的關(guān)系。 線性時不變系統(tǒng)的輸入 X(t)、輸出 Y(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 H(j )，求證： ( ) ( ) ( )Y X XG H j G? ? ?? 、 *( ) ( ) ( )Y Y XG H j G? ? ?? 對于圖示單輸入、多輸出線性時不變系統(tǒng)，求證：輸 出 Y1(t)、 Y2(t)的互功率譜密度為12 *12( ) ( ) ( ) ( )Y Y XG H j H j G? ? ? ??。 設(shè)具有功率譜密度函數(shù) 22( ) ( 3 ) / ( 8 )XG ? ? ?? ? ?的某平穩(wěn)隨機(jī)過程通過某線性系統(tǒng)后，輸出隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)為 ( ) 1YG ? ? ， 求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 已知平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)為： (1) 2( ) (1 | |) ( | | 1/ )XR ? ? ? ? ? ?? ? ?； X(t) H1(j ) H2(j ) Y1(t) Y2(t) (2) 2 | |()XRe?????? ； 0?? 。 分別求其等效通能帶。 (注：此題應(yīng)放在第 4 章 ) 給定實(shí)數(shù) x，定義理想門限系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為 1 ( )()0 ( )X t xYt X t x??? ? ??， 證明： (1) [ ( )] ( )XE Y t F x? 。(2) ( ) ( , , )YXR F x x??? 。 第四章： 白色噪聲與正態(tài)隨機(jī)過程 X X X X4是四元聯(lián)合高斯分布隨機(jī)變量，且 1 2 3 4[ ] [ ] [ ] [ ] 0E X E X E X E X? ? ? ?，求證： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]E X X X X E X X E X X E X X E X X E X X E X X? ? ?。 X、 Y 是零均值高斯隨機(jī)變量，方差分別為 2X? 、 2Y? ，若 X、 Y 服從聯(lián)合高斯分布，且相關(guān)系數(shù)為 r，求 Z=X/Y 的概率密度分布函數(shù)。 (接上題 )證明以下關(guān)系成立： 1 a r c si n ( ){ 0 , 0 } { 0 , 0 } 42 rP X Y P X Y ?? ? ? ? ? ? ? 1 a r c si n ( ){ 0 , 0 } { 0 , 0 } 42 rP X Y P X Y ?? ? ? ? ? ? ? 1 a r c si n ( ){ 0 } 2 rP X Y ?? ? ? 1 a r c si n ( ){ 0 } 2 rP X Y ?? ? ? 設(shè)線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)，輸入為平穩(wěn)高斯過程 X(t)，系統(tǒng)的輸出過程為 Y(t)，證明 X(t)與 Y(t)為聯(lián)合正態(tài)分布隨機(jī)過程。 設(shè) n 維高斯分布隨機(jī)矢量 12[ , , ..., ]TnX X X X? 的 各個分量的均值為零，協(xié)方差矩陣為 1 1 1 ... 1 1 12 2 ... 2 2 23 ... 3 3 322211nnnnnn???????????????(其他未注明的元素根據(jù)對稱性確定 ) 求 X 的 一維與二維 概率密度分布函數(shù) 。 功率譜密度函數(shù)為 N0/2 的高斯白色噪聲通過一個濾波器，其傳輸函數(shù)為 11() 1/Hj j? ??? ? 求輸出隨機(jī)過程 Y(t)在任意時刻的概率密度分布函數(shù)。 白噪聲的均值為 0，功率譜密度為非零的常數(shù) N0，求其相關(guān)函數(shù)。 理想白噪聲通過截止頻率為 fc的理想低通濾波器 (幅頻特性為常數(shù) 1)，求輸出過程的自相關(guān)函數(shù)。 設(shè) X、 Y 是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且它們具有相同的該密度 N(m, 2)；求隨機(jī)變量 U=aX+bY 和 V=aXbY 的互相關(guān)系數(shù)以及 U、 V 的二維聯(lián)合概率密度。