【正文】 湖南大學(xué)本科課程 《 隨機(jī)過程 》 習(xí)題集 主講教師：何松華 教授 第一章： 概述及概率論復(fù)習(xí) 設(shè)一批產(chǎn)品共 50 個(gè)，其中 45 個(gè)合格， 5 個(gè)為次品，從這一批產(chǎn)品中任意抽取 3 個(gè)，求其中有次品的概率。 設(shè)一批零件共 100 個(gè)，次品率為 10%，每次從其中任取一個(gè)零件，取出的零件不再放回，求第 3 次才取得合格品的概率。 設(shè) 一袋中有 N 個(gè)球，其中有 M 個(gè)紅球，甲、乙兩人先后各從袋中取出一個(gè)球，求乙取得紅球的概率 (甲取出的球不放回 )。 設(shè)一批產(chǎn)品有 N 個(gè)，其中有 M 個(gè)次品，每次從其中任取一個(gè)來檢查，取出后再放回， 求 連續(xù) n 次取得合格品的概率。 設(shè)隨機(jī)變量 X 的 概率 分布函數(shù) 為連續(xù)的，且 0() 00xA B e xFx x??? ??? ? ?? 其中 0 為常數(shù)，求常數(shù) A、 B 的值。 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 ( ) ( ) ( )F x A Barc t g x x? ? ? ? (1) 求系數(shù) A、 B； (2)求隨機(jī)變量落在 (1,1)內(nèi)的概率； (3)求其概率密度函數(shù)。 已知二維隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為 6 ( 2 ) 0 , 1( , ) 0XY x y x y x yf x y e ls e w h e r e? ? ? ??? ?? (1)求條件概率密度函數(shù) | ( | )XYf x y 、 | ( | )YXf y x ； (2)問 X、 Y 是否相互獨(dú)立？ 已知隨機(jī)變量 X 的概率密度分布函數(shù)為 22()1( ) e x p [ ]22 XX XX xmfx ??? ??? 隨機(jī)變量 Y 與 X 的關(guān)系為 Y=cX+b，其中 c， b 為常數(shù)。求 Y 的概率密度分布函數(shù)。 設(shè) X、 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分布函數(shù)分別為 1 0 1() 0X xfx e ls e w h e r e???? ?? ， 0() 0 yY eyfy e ls e w h e r e?? ?? ?? 求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的概率密度分布函數(shù)。 設(shè)隨 機(jī)變量 Y 與 X 的關(guān)系為對(duì)數(shù)關(guān)系， Y=ln(X)，隨機(jī)變量 Y 服從均值為 mY、標(biāo)準(zhǔn)差為 Y的正態(tài)分布，求 X 的概率密度分布。 隨機(jī)變量 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 21( ) e x p { }22X xfx ???，求隨機(jī)變量 nYX? (n 為正整數(shù) )的數(shù)學(xué)期望及方差。 隨機(jī)變量 X 服從均值為 mX、標(biāo)準(zhǔn)差為 X的正態(tài)分布， X 通過雙向平方率檢波器，Y=cX2(c0)，求 Y 的概率密度分布。 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為 ( , ) s in ( ) ( 0 , 0 )22XYf x y A x y x y??? ? ? ? ? ? (1) 求系數(shù) A， (2)求數(shù)學(xué)期望 E[X]、 E[Y]，方差 D[X]、 D[Y]； (3)求 X、 Y 的相關(guān)函數(shù)及相關(guān)系數(shù)。 設(shè) X 為拉譜拉斯隨機(jī)變量， ||( ) ( ) ( 0 )2 xXf x e x?? ??? ? ? ? ? ?； 求： (1)X 的特征函數(shù)， (2)利用特征函數(shù)求 X 的均值與方差， (3)討論特征函數(shù)實(shí)部與虛部的奇偶性。 第二章： 隨機(jī)過程的基本概念 某公共汽車站停放著兩輛公共汽車 A、 B，從 t=1s 開始，每隔 1s 有一名乘客到達(dá)車站。如果每名乘客以概率 1/2 登上 A 車，以概率 1/2 登上 B 車，各乘客登上哪輛車是 相互獨(dú)立的，用 Xj表示第 j 秒到達(dá)的乘客的登車狀態(tài)，即登上 A 車則 Xj=1，登上 B 車則 Xj=0；設(shè) t=n 時(shí) A 車上的乘客數(shù)為 Yn。 (1)求離散時(shí)間隨機(jī)過程 Yn的一維概率分布率； (2)當(dāng)公共汽車 A 上的乘客達(dá)到 10 個(gè)時(shí)， A 即開車，求 A 車出發(fā)時(shí)刻 n 的概率分布。 一個(gè)正弦振蕩器，由于元器件的熱噪聲和電路分布參數(shù)變化的影響，其輸出的正弦波可以看作一個(gè)隨機(jī)過程 ( ) c os ( )X t A t? ? ? ?，其中 A、 、 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 2022 / ( 0 , )()0A a A a Afa o th e r w is e? ?? ??， 1 / 1 0 0 ( 2 5 0 , 3 5 0 )()0f o th e r w is e??? ??? ??， 1 / ( 2 ) ( 0 , 2 )() 0f o th e r w is e? ? ??? ??? ?? 求隨機(jī) 過程 X(t)的一維概率密度分布函數(shù)。 用一枚硬幣擲 1 次的試驗(yàn)定義一個(gè)隨機(jī)過程 c o s ( )() 2 tXt t??? ??出 現(xiàn) 正 面出 現(xiàn) 反 面 設(shè)“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率各為 1/2。 (1) 確定 X(t)的一維分布函數(shù) FX(x,1/2)、FX(x,1)； (2) 確定 X(t)的二維分布函數(shù) FX(x1, x2。1/2,1)； (3)畫出上述分布函數(shù)的圖形。 設(shè)隨機(jī)過程 ( ) c os( ) si n( ) ( )Z t X t Y t t??? ? ? ? ? ?，其中 0 為常數(shù)， X、 Y 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，概率密度分布函數(shù)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (即 均值為 0，標(biāo)準(zhǔn)差為 1)。若將Z(t)寫成 ( ) c os ( )Z t V t?? ? ?， (1)求隨機(jī)變量 V、 的概率密度分布函數(shù)及聯(lián)合概率密度分布函數(shù)，問二者是否統(tǒng)計(jì)獨(dú)立？ (2)求隨機(jī)過程的一維概率密度分布函數(shù)。 求 4 題所給出的隨機(jī)過程的均值及相關(guān)函數(shù)，并判斷該隨機(jī)過程是否為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 設(shè)某信號(hào)源每 T(s)產(chǎn)生一個(gè)幅度為 A 的方波脈沖，脈沖寬度 X 為均勻分布于 [0,T]的隨機(jī)變量。這樣構(gòu)成 一個(gè)隨機(jī)過程 Y(t)(0 t )。設(shè)不同的脈沖是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，求隨機(jī)過程 Y(t)的一維概率密度分布函數(shù)。 設(shè)隨機(jī)過程 X(t)=Ycos(t) ( t )，其中 Y 為均勻分布于 [0,1]區(qū)間的隨機(jī)變量，求隨機(jī)過程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)。 隨機(jī)過程1( ) ( )kN jtkkZ t A e t R?????，其中 Ak服從分布 N(0, k2)，且相互獨(dú)立； k為常數(shù)， j 為虛數(shù)單位，求復(fù)隨機(jī)過程 Z(t)的均值函數(shù)與方差函數(shù)。 隨機(jī)過程 X(t)=X+Yt， tR? ； 隨機(jī)矢量 ( , )TXY 的協(xié)方差矩陣為 2122rr? ???????， 求 隨機(jī)過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)。 給定隨機(jī)變量 X(ti)， xi為任一實(shí)數(shù)。定義另外一個(gè)隨機(jī)過程 1 ( )() 0 ( )iii iiX t xYt X t x??? ? ?? 1,2,...i? 試證明 Y(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)分別為 X(t)的一維和二維分布函數(shù)。 有一脈沖串，其中每個(gè)脈沖的寬度為 1，脈沖可為正脈沖也可為負(fù)脈沖，即脈沖的幅度 隨機(jī)地取 1 或 1(概率相等 )，各脈沖的幅度取值相互獨(dú)立；脈沖串的起始時(shí)間均勻分布于單位時(shí)間內(nèi)，脈沖間隔為 0；求此脈沖隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)。 ．設(shè)隨機(jī)過程 X(t)=b+Nt， b 為常量， N 為正態(tài)隨機(jī)變量，均值為 m，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，求隨機(jī)過程 X(t)的一維概率密度及均值、方差。 質(zhì)點(diǎn)在直線上作隨機(jī)游動(dòng)，即質(zhì)點(diǎn)在 n=1,2,3,… 時(shí)刻可以在 x 軸上往右或往左作一個(gè)單位距離的隨機(jī)游動(dòng)。往右、左移動(dòng)的概率分別為 p、 q(p+q=1)， P{Xn=1}=p， P{Xn=1}=q，各次游動(dòng)是相互獨(dú)立的，經(jīng)過 n 次游動(dòng)后， 質(zhì)點(diǎn)所在的相對(duì)位置為 1()niiY n X??? 求： (1)離散時(shí)間隨機(jī)過程 Y(n)的 均值函數(shù) ； (2) Y(n)的相關(guān)函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)。 設(shè)隨機(jī)過程 X(t)= + t， 和 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分布分別為()f?? 、 ()f?? ， 求隨機(jī)過程 X(t)的 概率密度。 設(shè)隨機(jī)過程 0( ) ( ) si n[ ( ) ]X t A t t t????，其中 A(t) 0，在同一時(shí)刻隨機(jī)過程 A(t)和(t)是相互獨(dú)立的，且 (t)在任意時(shí)刻的概率密度分布為 [ , ]上的均勻分布，包絡(luò)A(t)在任意時(shí)刻的概率密度分布為 ()Afa，求隨機(jī)過程 X(t)的一維概率密度。 隨機(jī)初始相位正弦波隨機(jī)過程 X(t)=Acos( t+ )，其中振幅 A、角頻率 取常數(shù)，相位 為均勻分布于 [ , ]的隨機(jī)變量，求 X(t)的一維概率密度分布函數(shù)。 設(shè)某通信系統(tǒng)的信號(hào)為脈沖信號(hào)，脈寬為 T，脈沖信號(hào)的周期也為 T，脈沖幅度是隨機(jī)的且服從高斯分布 N(0, 2)，不同周期內(nèi)的幅 度 xi是相互獨(dú)立的；第 1 個(gè)脈沖的起始時(shí)間與 t=0 時(shí)刻的時(shí)間差 u 是均勻分布于 (0,T)的隨機(jī)變量， u 與各 xi相互獨(dú)立，求該隨機(jī)信號(hào)在任意兩個(gè)不同時(shí)刻的二維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)。 設(shè)隨機(jī)過程 X(t)的均值為 mX(t)，協(xié)方差函數(shù)為 KX(t1,t2)， (t)為普通函數(shù)，試求隨機(jī)過程 Y(t)=X(t)+ (t)的均值和協(xié)方差函數(shù)。 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)在四個(gè)不同時(shí)刻的四維隨機(jī)變量 X=[X(t1), X(t2), X(t3), X(t4)]T的自相關(guān)矩陣為 2 2 [] 2TXabR E XXcde?????????? 求矩陣中未知元素的值。 設(shè)隨機(jī)過程 ( ) c os ( ) si n( )X t A t B t????，其中 為常數(shù)， A、 B 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，概率密度分布函數(shù)為正態(tài)分布 N(0, 2)。求 X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)。 某平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)滿足 RX(T)= RX(0) (T 0)，證明 RX( )必為以T 為周期的周期函數(shù)。 給定隨機(jī)過程 X(t)和常數(shù) a。 Y(t)=X(t+a)X(t)。試以 X(t)的自相關(guān)函數(shù)來表示隨機(jī)過程 Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。若 X(t)平穩(wěn)，均值為 mX，求 Y(t)的均值；問 Y(t)是否平穩(wěn)？是否與 X(t)聯(lián)合平穩(wěn)？ ． (缺 ) X(t)=At， A 為隨機(jī)變量，概率密度分布為 N(0,1)，求 X(t)的均值及自相關(guān)函數(shù)。 X(t)=cos( t)， 其中 為均勻分布于 ( 1, 2)的隨機(jī)變量，求 X(t)的均值及自相關(guān)函數(shù)。 隨機(jī)初始相位正弦波隨機(jī)過程 X(t)=Acos( t+ )，其中振幅 A、角頻率 取常數(shù)，相位 為均勻分布于 [ , ]的隨機(jī)變量，求該隨機(jī)過程的均值及相關(guān)函數(shù)，并判斷其平穩(wěn)性。 隨機(jī)過程 X(t)僅由 3 個(gè)樣本函數(shù)組成 [查看教材中的原圖 ]，而且每個(gè)樣本函數(shù)等概率發(fā)生。計(jì)算 E[X(2)]、 E[X(6)]、 RX(2,6)、 FX(x,2)、 FX(x,6)、 FX(x1, x2,2， 6)。分別畫出它們的圖形。 設(shè)從 t=0 開始，作每秒 1 次的擲硬幣試驗(yàn)，如正面朝上，則 X(t)在該秒內(nèi)的取值為1，如反面朝上，則 X(t)在該秒內(nèi)的取值為 0；求： (1)X(t)的均值函數(shù)， (2)計(jì)算 RX(,), RX(,)。 隨機(jī)初始相位正弦波隨機(jī)過程 X(t)=Acos( t+ )，其中振幅 A、角頻率 取 常數(shù)，相位 為均勻分布于 [0,2 ]的隨機(jī)變量，求其時(shí)間相關(guān)函數(shù)及集合自相關(guān)函數(shù)，二者是否相等？ 根據(jù)擲色子實(shí)驗(yàn)定義隨機(jī)過程 2( ) c o s [ ( ) ] 。 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 66kX t t k???， 求 X(1),X(2)的概率密度，問 X(t)是否為平穩(wěn)隨機(jī)過程。 某隨機(jī)過程由 3 個(gè)不同的樣本函數(shù)組成，各樣本函數(shù)等概率出現(xiàn)。 1 2 3( , ) 1 , ( , ) sin( ) , ( , ) c o s( )X t e X t e t X t e t? ? ? (1)求該隨機(jī)過程的均值與自相關(guān)函數(shù)， (2)該過程是否平穩(wěn)？ ．隨機(jī)過程 X(t)=Acos( t+ )，其中角頻率 取常數(shù)，相位 為 均勻分布于 [0,2 ]的隨機(jī)變量，振幅 A 為瑞利分布隨機(jī)變量，與 相互獨(dú)立，問該過程是否平穩(wěn)？ 222e xp[ ] 0() 200Aaa afaa??? ???? ???? ．兩個(gè)隨機(jī)過程 X(t),Y(t)均不是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且 ( ) ( ) cos( )X t A t t? ， ( ) ( ) sin( )Y t B t t? 式中 A(t)、 B(t)是相互獨(dú)立的零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，并有相同的相關(guān)函數(shù)，證明：Z(t)=X(t)+Y(t)是廣義平穩(wěn)的。 已知兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過