【文章內容簡介】 并聯(lián)諧振電路如圖所示， iN代表噪聲電流，它是白噪聲，其功率譜密度為 N0，且為零均值，若 t=0 時電路開始工作，初始條件為 iL(0)=0， v(0)=0；研究 t 時刻電流 iL和 iR的統(tǒng)計特性。 設 X、 Y 為聯(lián)合高斯分布的隨機變量，均值分別為 mX、 mY，根方差分別為 X、Y，互相關系數(shù)為 r，已現(xiàn)知 X=x，求 Y 的合理估計值。 ( ) 2Xmt? 、 協(xié)方差函數(shù)為 1 2 1 2( , ) 8 c os[ ( ) ]XK t t t t???，寫出 t1=0,t2=1/2 時刻的二維概率密度。 一個平穩(wěn)高斯隨機過程的均值函數(shù)為 ( ) 0Xmt? 、 自相關 函數(shù)為 sin( )()XR ??? ???，寫出 t1=0,t2=1/ t3=1 時刻的三維概率密度。 設隨機過程 0( ) c o s( ) ( )Z t A t n t???，其中 A、 0為常量， n(t)為零均值平穩(wěn)高斯過程，相關函數(shù)為 RN( )，寫出 Z(t)的一維、二維概率密度分布函數(shù)。 考慮兩個隨機變量的去相關處理。設 Y Y2 為相關的零均值隨機變量，方差分別為 2212,??， 互相關 系數(shù)為 ? ，考察下列變換 1122c o s ( ) s in ( )s in ( ) c o s ( )XY??? ? ? ????? ? ? ??????? ? ? ? 求 使得變換后的變量不相關的條件。 圖示 RC 低通濾波器的輸入為白色噪聲，物理功率譜密度為 FX( )=N0(0 )，求輸出隨機過程的物理功率譜密度及相關函數(shù)，并證明對于任意的 t3t2t1，有 3 2 2 131 ( ) ( )() ( 0 )YYYYR t t R t tR t t R???? (與第 3 章第 26 題重復 )。 設有二維隨機矢量 [X1,X2]，其概率密度為 221 1 1 1 2 2 2 212 2 2 22 1 1 2 212( ) 2 ( ) ( ) ( )11( , ) e x p { [ ] }2 ( 1 )21X x m r x m x m x mf x x rr ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? 在橢圓 22 21 1 1 1 2 2 2 2221 1 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )x m r x m x m x m ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 為 常 量 上概率密度為常數(shù) 222 121 e x p { }2 (1 )21 rr ?? ? ? ? ??，稱該橢圓為等概率橢圓，求隨機矢量落在等概率橢圓內的概率。 設 n 維隨機矢量 X=[X1,X2,… ,Xn]服從聯(lián)合高斯分布，各個分量相互獨立，且均值為0，隨機矢量的協(xié)方差矩陣為 22222220 0 ... 00 ... 0... 0aaa??????????????? 求 其 N 維特征函數(shù) (接上題 )若各個分量的之間的協(xié)方差為 , ||miK n m i? ? ? 設另一隨機變量 Y 為1niiYX???，求 Y 的特征函數(shù) 設 3 維高斯隨機矢量 X=[X1,X2,X3]各個分量的均值為 0，其協(xié)方差矩陣的元素值為kij(i,j=1,2,3), 且 k11=k22=k33= 2 ；求 (1) 1 2 3[]E X X X ， (2) 2 2 21 2 3[]E X X X ， (3) 2 2 2 2 2 21 2 3[ ( ) ( ) ( ) ]E X X X? ? ?? ? ? 設 3 維高斯隨機矢量 X=[X1,X2,X3]的概率密度為 2 2 21 2 3 1 1 2 2 1 3 31( , , ) e x p { [ 2 2 ] }2Xf x x x C x x x x x x x? ? ? ? ? ? (1) 證明經過線性變換 1231 1 / 4 1 / 20 1 2 / 70 0 1XY AX XX??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 得到的隨機矢量 Y=[Y1,Y2,Y3]，則 Y1,Y2,Y3是相互統(tǒng)計獨立的隨機變量； (2)求 C 的值。 設 X X2是相互獨立的零均值、單位方差高斯隨機變量，定義二維隨機矢量 Y 1 2 1121 2 1[ , | |] 0[ , ] [ , | |] 0X X XY Y Y X X X ???? ? ??? 證明： (1)Y Y2都是高斯分布的， (2)Y 不是聯(lián)合高斯分布的。 設某一線性系統(tǒng)的單位沖激響應為 0() 00atetht t?? ?? ? ?? (a0) 輸入 N(t)為 零均值白色噪聲，功率譜密度為 N0/2，輸出為 X(t)； ( ) ( ) ( )Y t X t X t T? ? ?，假設 輸入從 開始，求 Y(t)的一維概率密度函數(shù)。 設隨機變量 X、 Y 是聯(lián)合高斯隨機變量，且具有邊緣概率密度 ()Xfx、 ()Yfy，[ ] [ ] 0E X E Y??， 2 2 2[ ] [ ]E X E Y ???， []E XY ?? ； 證明： 421[ ( ) ( ) ] 24XYE f X f Y ? ? ?? ? 設零均值高斯隨機過程 X(t)的相關函數(shù)為 2 | |() aXRe????? ，對其進行量化處理，得到時間連續(xù)但取值離散的隨機過程 Y(t)，即 ( ) ( ) ( i= 0 , 1 , 2 , . . . )22Y t iS if i X t i????? ? ? ? ? ? ? (1)求 Y(t)的均值函數(shù)； (2)求 Y(t)的一維概率密度函數(shù)。 設線性系統(tǒng)的輸入過程 X(t) 為零均值高斯隨機過程，相關函數(shù)為2 | |() aXRe????? (a0)，系統(tǒng)的沖激響應為 0() 00btetht t?? ?? ? ?? (b0,b a) X(t)是在 t= 接入系統(tǒng)的， (1)求在 t=0 時輸出 Y(0)大于 y 的概率； (2)如果在 t=T 時，X(T)=0，求條件概率 { ( 0) | ( ) 0 }P Y y X T? ? ?(T0)； (3) 如果在 t=T 時，觀察到 X(T)=0，求條件概率 { ( 0) | ( ) 0}P Y y X T??(T0)。 設有平穩(wěn)高斯隨機過程 X(t)，其均值為 0，功率譜密度函數(shù)為 0 0 0/ 2 | | / 2() 0X SG o th e r w is e? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? 求： (1)該過程在單位時間內取得極大值 的平均次數(shù)； (2)極大值的概率密度分布； (3)該過程在單位時間內正穿越 X=a(從水平線 X=a 的下方向上穿過 )的次數(shù)。 設有平穩(wěn)實高斯過程 X(t)，均值為 0，相關函數(shù)為 RX( )，該過程依均方意義可導，其導數(shù)過程為 39。()Xt，求在 t1,t2兩個時刻 1()Xt , 139。( )Xt , 2()Xt , 239。( )Xt 的 四維概率密度。 設 X(n)為均值為 0、方差為 2的離散白噪聲，通過一個單位脈沖響應為 h(n)的線性時不變離散時間線性系統(tǒng)， Y(n)為其輸出，試證： 2[ ( ) ( )] ( 0)E X n Y n h ??， 2 2 20 ()Y n hn????? ? 均值為 0、方差為 2的離散白噪聲 X(n)通過單位脈沖響應分別為 h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的級聯(lián)系統(tǒng) (|a|1,|b|1)，輸出為 W(n)，求 W2。 設離散系統(tǒng)的單位脈沖響應為 ( ) ( ) ( 1)nh n na u n a???， 輸入為 自相關函數(shù)為2( ) ( )XXR m m??? 的白噪聲， 求系統(tǒng)輸出 Y(n)的自相關函數(shù)和功率譜密度。 序列 X(n)和 Y(n)滿足差分方程 ( ) ( ) ( )Y n X n a X n a? ? ? ? 其中 a 為整常數(shù)，試用 X(n)的相關函數(shù)表示 Y(n)的相關函數(shù)。 實值一階自回歸過程 X(n)滿足差分方程 1( ) ( 1 ) ( )X n a X n V n? ? ? 其中 a1為常數(shù)， V(n)為方差為 2的白噪聲，輸入從 n=0 開始， ( 1) 0X ?? 。 (1)證明：若 V(n)均值非零，則 X(n)非平穩(wěn)； (2)證明：若 V(n)均值為零、 |a1|1，則當 n足夠大時， 2 2 21[ ( ) ] / (1 )VE X n a???； (3)若 V(n)均值為零， |a1|1，求 X(n)的自相關函數(shù)的平穩(wěn)解。 考察如下的二階自回歸過程 X(n) 12( ) ( 1 ) ( 2) ( )X n a X n a X n V n? ? ? ? ? ? (1)若已知隨機過程的相關函數(shù)值 (0)XR 、 (1)XR 、 (2)XR ， 試寫出 用于計算系數(shù) a1,a2以及零均值白色噪聲 ()Vn的方差 2V? 的 YuleWalker 方程； (2)反過來，若已知 a1= 1,a2=, 2 ? ? ， 求 (0)XR 、 (1)XR 、 (2)XR 的值 ； (3)求相 關函數(shù)的通解 。 察如下的二階自回歸過程 X(n) 12( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )X n b X n b X n V n? ? ? ? ? 零均值白色噪聲 ()Vn的方差 為 2V? ， 221 1 2| 4 | 2b b b? ? ?； 求： (1)X(n)的功率譜密度； (2)根據 Wold 分解求 X(n)的自相關函數(shù)； (3)求 YuleWalker 方程 考察如下的二階 MA 模型，輸入 X(n)的功率譜密度為 2X? ，求 Y(n)的自相關函數(shù)和功率譜密度。 12( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )Y n X n a X n a X n? ? ? ? ? 考察如下的 ARMA 模型 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )X n X n V n V n? ? ? ? ? 其中 V(n)為零均值、單位方差離散白色噪聲，求 X(n)的自相關函數(shù)。 第五章： 窄帶隨機過程 證明：偶函數(shù)的希爾伯特變換為奇函數(shù)，奇函數(shù)的希爾伯特變換為偶函數(shù) 。 設一個線性系統(tǒng)的輸入為 ()Xt 時，相應的輸出為 ()Yt，證明：若該 系統(tǒng)的輸入為 ()Xt的 希爾伯特 ?()Xt ， 則其輸出為 ()Yt的希爾伯特 ?()Yt。 設功率譜密度 0/2N 為的零均值高斯白噪聲通過一個理想帶通濾波器，此濾波器的增益為 1，中心頻率為 f ，帶寬為 2B （ Bf? ） ，濾波器輸出為 ()nt ，求 ()nt 的自相關函數(shù)以及其同相分量與正交分量的自相關函數(shù)。 設 ( ) ( ) si n[ ( )]a t A t t?? 與 ( ) ( ) cos[ ( )]b t A t t?? 為低頻信號，即當 | | / 2???? 時 ， 其頻譜值為 0， 00/2???? ， 證明 00{ ( ) c o s [ ( ) ] } ( ) s in [ ( ) ]{ ( ) s in [ ( ) ] } ( ) c o s [ ( ) ]H A t t t A t t tH A t t t A t t t? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 證明廣義平穩(wěn)隨機過程 ()Xt 與其希爾伯特 ?()Xt 的相關函數(shù)存在如下關系 ? ?( ) ( )XXXRR??? ， ? ?( ) ( )XXXRR???? ? ( ) ( )XXRR??? ， ?()XXR ? 為奇函數(shù) 設 ()Xt 的解釋信號 (復信號表示 )為 ?( ) ( ) ( )Z t X t jX t??，證明： * ?[ ( ) ( ) ] 2 [ ( ) ( ) ] , [ ( ) ( ) ] 0XXE Z t Z t R jR E Z t Z t? ? ? ?? ? ? ? ? 并 用 ()Xt 的功率譜密度函數(shù) ()XG? 來表示 ()Zt 的 功率譜密度函數(shù)。 在復隨機過程 ( ) ( ) ( )Z t X t jY t??中，如果其均值 [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ZE Z t E X t jE Y t m? ? ?為 復常數(shù)，且其自相關函數(shù) *[ ( ) ( ) ] ( )ZE Z t Z t R????為僅與 ? 有關 的復函數(shù)，則稱 ()Zt 為復平穩(wěn)隨機過程，設 , 1, 2,...,kA k n? 是 n 個實隨機變量， , 1, 2,...,k kn? ? 是 n 個實數(shù)。試問：kA 以及 kA 之 間應滿足什么條件，才能使