【正文】 ， 在 Rt△ CEO 中， ∠ CEO=90176。， ∴ cos∠ COE= ， ∴ OE=OC?cos∠ COF， ∵ OB=OC=3m， ∠ CON=55176。， ∴ OE=3?cos55176。≈ ， ∴ ED=3+﹣ ≈ ， ∴ CM=ED≈ ， ∵ 成人的 “安全高度 ”為 2m， ∴ 成人是安全的． 【點評】 此題考查了解直角三角形的應用，用到的知識點是銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形． 26．在 “母親節(jié) ”前夕，我市某校學生積極參與 “關(guān)愛貧困母親 ”的活動，他們購進一批單價為 20 元的 “孝文化衫 ”在 課余時間進行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親．經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，若每件按 24 元的價格銷售時，每天能賣出 36 件；若每件按29 元的價格銷售時，每天能賣出 21 件．假定每天銷售件數(shù) y（件）與銷售價格x（元 /件）滿足一個以 x 為自變量的一次函數(shù)． （ 1）求 y 與 x 滿足的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出 x 的取值范圍）； （ 2）在不積壓且不考慮其他因素的情況下，銷售價格定為多少元時，才能使每天獲得的利潤 P 最大？ 【考點】 二次函數(shù)的應用；一次函數(shù)的應用． 【分析】 （ 1）設(shè) y 與 x 滿足的函數(shù)關(guān)系式為： y=kx+b．，由題意可列出 k 和 b的二元一次方程 組，解出 k 和 b 的值即可； （ 2）根據(jù)題意：每天獲得的利潤為： P=（﹣ 3x+108）（ x﹣ 20），轉(zhuǎn)換為 P=﹣ 3（ x﹣ 28） 2+192，于是求出每天獲得的利潤 P 最大時的銷售價格． 【解答】 解：（ 1）設(shè) y 與 x 滿足的函數(shù)關(guān)系式為： y=kx+b． 由題意可得： 解得 答： y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為： y=﹣ 3x+108． （ 2）每天獲得的利潤為： P=（﹣ 3x+108）（ x﹣ 20） =﹣ 3x2+168x﹣ 2160=﹣ 3（ x﹣ 28） 2+192． ∵ a=﹣ 3＜ 0， ∴ 當 x=28 時，利潤最大， 答：當銷售價定為 28 元時，每天獲得的利潤最大． 【點評】 本題主要考查二次函數(shù)的應用的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及最值得求法，此題難度不大． 27．（ 10 分）（ 2022 秋 ?太倉市校級期末）問題呈現(xiàn)： 如圖 1， ⊙ O 是 Rt△ ABC 的外接圓， ∠ ABC=90176。，弦 BD=BA， BE⊥ DC 交 DC 的延長線于點 E．求證： BE 是 ⊙ O 的切線． 問題分析： 連接 OB，要證明 BE 是 ⊙ O 的切線，只要證明 OB ⊥ BE，由題意知 ∠ E=90176。，故只需證明 OB ∥ DE． 解法 探究： （ 1）小明對這個問題進行了如下探索，請補全他的證明思路： 如圖 2，連接 AD，由 ∠ ECB 是圓內(nèi)接四邊形 ABCD 的一個外角，可證 ∠ ECB=∠ BAD，因為 OB=OC，所以 ∠ CBO=∠ BCO ，因為 BD=BA，所以 ∠ BAD=∠ BDA ，利用同弧所對的圓周角相等和等量代換，得到 ∠ ECB=∠ CBO ，所以 DE∥ OB，從而證明出 BE 是 ⊙ O 的切線． （ 2）如圖 3，連接 AD，作直徑 BF 交 AD 于點 H，小麗發(fā)現(xiàn) BF⊥ AD，請說明理由． （ 3）利用小麗的發(fā)現(xiàn)，請證明 BE 是 ⊙ O 的切線．（要求給出兩種不同的證明方法）． 【考點】 圓的綜合題． 【分析】 問題分析：直接得出結(jié)論即可； 解法探究：（ 1）根據(jù)證明方法直接寫出結(jié)論； （ 2）先判斷出 OD=OA，再用垂徑定理即可得出結(jié)論； （ 3）方法 1，先判斷出 AC 是 ⊙ O 的直徑，進而判斷出四邊形 BEDH 是矩形即可； 方法 2，先判斷出 AH=DH，再判斷出 AC 是 ⊙ O 的直徑，進而判斷出 OH 是 △ ACD的中位線，即可得出 DE∥ OB，即可得出結(jié)論； 【解答】 解：問題分析： 故答案為： ⊥ ， ∥ ； 解法探究： （ 1）故答案為： ∠ CBO=∠ BCO， ∠ BAD=∠ BDA， ∠ ECB=∠ CBO； （ 2）如圖 3， 連接 OD， ∴ OD=OA， ∵ BD=BA， ∴ BF 垂直平分 AD， 即： BF⊥ AD（垂徑定理）， （ 3）方法 1， ∵ BF⊥ AD， ∴∠ BHD=90176。， ∵∠ ABC=90176。， ∴ AC 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ADC=90176。， ∵∠ E=90176。， ∴ 四邊形 BEDH 是矩形， ∴∠ EBO=90176。， ∴ BE 是 ⊙ O 的切線； 方法 2， ∵ BF⊥ AD， ∴ AH=DH（垂徑定理）， ∵∠ ABC=90176。， ∴ AC 是 ⊙ O 的直徑， ∴ AO=CO， ∴ OH 是 △ ACD 的中位線， ∴ OH∥ DC， 即： DE∥ OB， ∵∠ E=90176。， ∴∠ EBO=90176。， ∴ BE 是 ⊙ O 的切線． 【點評】 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，解本題的關(guān)鍵是 ∠ EBO=90176。，本題（ 3）還可以通過證明 ∠ OBD=∠ BDC 來證明結(jié)論，還可以通過證明 ∠ BOC=∠ DCO 來證明結(jié)論． 28．（ 10 分）（ 2022?岳陽）如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 A（ 1， 0）、 B（ 4，0）、 C（ 0， 3）三點． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）如圖 ① ，在拋物線的對稱軸上是否存在點 P，使得四邊形 PAOC 的周長最??？若存在，求出四邊形 PAOC 周長的最小值；若不存在，請說明理由． （ 3）如圖 ② ，點 Q 是線段 OB 上一動點，連接 BC，在線段 BC 上是否存在這樣的點 M，使 △ CQM 為等腰三角形且 △ BQM 為直角三角形？若存在，求點 M 的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）把點 A（ 1， 0）、 B（ 4， 0）、 C（ 0， 3）三點的坐標代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解； （ 2） A、 B 關(guān)于對稱軸對稱，連接 BC，則 BC 與對稱軸的交點即為所求的點 P，此時 PA+PC=BC，四邊形 PAOC 的周長最小值為： OC+OA+BC；根據(jù)勾股定理求得BC，即可求得； （ 3）分兩種情況分別討論，即可求得． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為 y=a（ x﹣ 1）（ x﹣ 4）， 代入 C（ 0， 3）得 3=4a， 解得 a= ， y= （ x﹣ 1）（ x﹣ 4） = x2﹣ x+3， 所以，拋物線的解析式為 y= x2﹣ x+3． （ 2） ∵ A、 B 關(guān)于對稱軸對稱，如圖 1，連接 BC， ∴ BC 與對稱軸的交點即為所求的點 P，此時 PA+PC=BC， ∴ 四邊形 PAOC 的周長最小值為： OC+OA+BC， ∵ A（ 1， 0）、 B（ 4， 0）、 C（ 0， 3）， ∴ OA=1， OC=3， BC= =5， ∴ OC+OA+BC=1+3+5=9； ∴ 在拋物線的對稱軸上存在點 P，使得四邊形 PAOC 的周長最小，四邊形 PAOC周長的最小值為 9． （ 3） ∵ B（ 4， 0）、 C（ 0， 3）， ∴ 直線 BC 的解析式為 y=﹣ x+3， ① 當 ∠ BQM=90176。時，如圖 2，設(shè) M（ a， b）， ∵∠ CMQ＞ 90176。， ∴ 只能 CM=MQ=b， ∵ MQ∥ y 軸， ∴△ MQB∽△ COB， ∴ = ，即 = ，解得 b= ，代入 y=﹣ x+3 得， =﹣ a+3，解得 a= ， ∴ M（ ， ）； ② 當 ∠ QMB=90176。時，如圖 3， ∵∠ CMQ=90176。， ∴ 只能 CM=MQ， 設(shè) CM=MQ=m， ∴ BM=5﹣ m， ∵∠ BMQ=∠ COB=90176。， ∠ MBQ=∠ OBC， ∴△ BMQ∽△ BOC， ∴ = ，解得 m= ， 作 MN∥ OB， ∴ = = ，即 = = ， ∴ MN= ， CN= ， ∴ ON=OC﹣ CN=3﹣ = ， ∴ M（ ， ）， 綜上，在線段 BC 上存在這樣的點 M，使 △ CQM 為等腰三角形且 △ BQM 為直角三角形，點 M 的坐標為（ ， ）或（ ， ）． 【點評】 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，軸對稱﹣最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)等；分類 討論思想的運用是本題的關(guān)鍵．