【正文】 （ a﹣ b） 2+4ab． 例如：當(dāng) a=5， b=2時， （ a+b） 2=（ 5+2） 2=49 （ a﹣ b） 2=（ 5﹣ 2） 2=9 4ab=4 5 2=40 因為 49=40+9， 所以（ a+b） 2=（ a﹣ b） 2+4ab． 故答案為：：（ a+b） 2=（ a﹣ b） 2+4ab． （ 2） ∵ a+b=10， （ a+b） 2=100， ∵ （ a+b） 2=（ a﹣ b） 2+4ab， ab=6， ∴ （ a﹣ b） 2=（ a+b） 2﹣ 4ab=100﹣ 4 6=76， ∴ a﹣ b=2 或 a﹣ b=﹣ 2 ， ∵ a＞ b， ∴ a﹣ b=2 ． 【點評】本題考查了列代數(shù)式，完全平方公式的實際應(yīng)用，完全平方公式與正方形的面積公式和長方形的面積公式經(jīng)常聯(lián)系在一起．要學(xué)會觀察． 21．如圖 AB=AC， BD=CD， DE⊥ BA，點 E為垂足， DF⊥ AC，點 F為垂足，求證： DE=DF． 【考點】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】利用 “ 邊邊邊 ” 證明 △ ABD 和 △ ACD 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得 ∠ BAD=∠ CAD，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等即可得證． 第 35 頁（共 40 頁） 【解答】證明：在 △ ABD和 △ ACD中， ， ∴△ ABD≌△ ACD（ SSS）， ∴∠ BAD=∠ CAD， ∵ DE⊥ BA， DF⊥ AC， ∴ DE=DF． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，求出 ∠ BAD=∠ CAD是解題的關(guān)鍵． 22．已知 ，小敏、小聰兩人在 x=2， y=﹣ 1的條件下分別計算 P和 Q 的值，小敏說 P的值比 Q大，小聰說 Q的值比 P大，請你判斷誰的結(jié)論正確？并說明理由． 【考點】分式的化簡求值；整式的混合運算 — 化簡求值． 【專題】探究型． 【分析】先根據(jù)分式及整式混合運算的法則把原式進行化簡，再把 x=2， y=﹣ 1 時代入求出 P、 Q 的值，比較出其大小即可． 【解答】解：都不正確． ∵ P= ﹣ = =x﹣ y， ∴ 當(dāng) x=2， y=﹣ 1時， P=2+1=3； ∵ Q=（ x+y）（ x+y﹣ 2y） =（ x+y）（ x﹣ y）， ∴ 當(dāng) x=2， y=﹣ 1時， Q=（ 2﹣ 1）（ 2+1） =3， ∴ P=Q． 【點評】本題考查的是分式的化簡求值及整式的化簡求值，熟知分式及整式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵． 五、解答題：每小題 8分，共 16 分． 23． 2022年中秋節(jié)期間，某商城隆重開業(yè)，某商家有計劃選購甲、乙兩種禮盒作為開業(yè)期間給予買家的禮品，已知甲禮盒的單價是乙禮盒單價的 倍；用 600 元單獨購買甲種禮盒比單獨購買乙種禮盒要少 10 個． 第 36 頁（共 40 頁） （ 1）求甲、乙兩種禮盒的單價分別為多少元？ （ 2）若商家計劃購買這兩種禮盒共 40 個，且投入的經(jīng)費不超過 1050元，則購買的甲種禮盒最多買多少個？ 【考點】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用． 【分析】（ 1）根據(jù)題意可以得到相應(yīng)的分式方程，從而可以解答本題； （ 2）根據(jù)題意可以得到相應(yīng)的不等式，從而可以解答本題． 【解答】解：（ 1）設(shè)乙種禮盒購買了 x個 ， 解得， x=20， 經(jīng)檢驗 x=20是原分式方程的解， 則 =30， 即甲、乙兩種禮盒的單價分別為 30元、 20 元； （ 2）設(shè)購買甲種禮盒 x個， 30x+20（ 40﹣ x） ≤ 1050， 解得， x≤ 25 即購買的甲種禮盒最多買 25 個． 【點評】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件． 24．如圖，在 △ ABC中， AB=AC， AB的垂直平分線交 AB 于 M，交 AC于 N． （ 1）若 ∠ ABC=70176。 ，則 ∠ MNA的度數(shù)是 50176。 ． （ 2）連接 NB，若 AB=8cm， △ NBC的周長是 14cm． ① 求 BC 的長； ② 在直線 MN 上是否存在 P，使由 P、 B、 C 構(gòu)成的 △ PBC 的周長值最??？若存在，標(biāo)出點 P 的位置并求 △ PBC的周長最小值；若不存在，說明理由． 第 37 頁（共 40 頁） 【考點】軸對稱 最短路線問題；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】（ 1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出 ∠ ABC=∠ ACB=70176。 ，求得 ∠ A=40176。 ，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出 AN=BN，進而得出 ∠ ABN=∠ A=40176。 ，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理就可得出 ∠ ANB=100176。 ，根據(jù)等腰三角形三線合一就可求得 ∠ MNA=50176。 ； （ 2） ① 根據(jù) △ NBC的周長 =BN+CN+BC=AN+NC+BC=AC+BC 就可求得． ② 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可判定 P就是 N點，所以 △ PBC的周長最小值就是 △ NBC的周長． 【解答】解：（ 1） ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ ACB=70176。 ， ∴∠ A=40176。 ， ∵ MN是 AB的垂直平分線， ∴ AN=BN， ∴∠ ABN=∠ A=40176。 ， ∴∠ ANB=100176。 ， ∴∠ MNA=50176。 ； 故答案為 50176。 ． （ 2） ①∵ AN=BN， ∴ BN+CN=AN+CN=AC， ∵ AB=AC=8cm， ∴ BN+CN=8cm， ∵△ NBC的周長是 14cm． ∴ BC=14﹣ 8=6cm． ②∵ A、 B關(guān)于直線 MN 對稱， ∴ 連接 AC與 MN的交點即為所求的 P點，此時 P和 N重合， 即 △ BNC的周長就是 △ PBC的周長最小值， ∴△ PBC的周長最小值為 14cm． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵． 六、解答題：每小題 10分，共 20 分． 25．已知 △ ABC 為等 邊三角形，點 D 為直線 BC 上的一動點（點 D 不與 B、 C 重合），以 AD 為邊作等 第 38 頁（共 40 頁） 邊 △ ADE（頂點 A、 D、 E按逆時針方向排列），連接 CE． （ 1）如圖 1，當(dāng)點 D在邊 BC上時，求證： ① BD=CE， ② AC=CE+CD； （ 2）如圖 2，當(dāng)點 D 在邊 BC 的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論 AC=CE+CD 是否成立？若不成立，請寫出 AC、 CE、 CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （ 3）如圖 3，當(dāng)點 D 在邊 BC 的反向延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出 AC、 CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（ 1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)就可以得出 △ ABD≌△ ACE，從而得出結(jié)論； （ 2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)就可以得出 △ ABD≌△ ACE，就可以得出 BD=CE，就可以得出 AC=CE﹣ CD； （ 3）先根據(jù)條件畫出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)就可以得出 △ ABD≌△ ACE，就可以得出 BD=CE，就可以得出 AC=CD﹣ CE． 【解答】解：（ 1） ∵△ ABC 和 △ ADE都是等邊三角形， ∴ AB=AC=BC， AD=AE， ∠ BAC=∠ DAE=60176。 ． ∴∠ BAC﹣ ∠ CAD=∠ DAE﹣ ∠ CAD，即 ∠ BAD=∠ CAE． 在 △ ABD和 △ ACE中， ， ∴△ ABD≌△ ACE（ SAS）， ∴ BD=CE． ∵ BC=BD+CD， AC=BC， ∴ AC=CE+CD； （ 2） AC=CE+CD不成立， AC、 CE、 CD 之間存在的數(shù)量關(guān)系是： AC=CE﹣ CD． 第 39 頁（共 40 頁） 理由： ∵△ ABC和 △ ADE都是等邊三角形， ∴ AB=AC=BC， AD=AE， ∠ BAC=∠ DAE=60176。 ． ∴∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD， ∴∠ BAD=∠ CAE 在 △ ABD和 △ ACE中， ∴△ ABD≌△ ACE（ SAS） ∴ BD=CE ∴ CE﹣ CD=BD﹣ CD=BC=AC， ∴ AC=CE﹣ CD； （ 3）補全圖形（如圖） AC、 CE、 CD 之間存在的數(shù)量關(guān)系是： AC=CD﹣ CE． 理由： ∵△ ABC和 △ ADE都是等邊三角形， ∴ AB=AC=BC， AD=AE， ∠ BAC=∠ DAE=60176。 ． ∴∠ BAC﹣ ∠ BAE=∠ DAE﹣ ∠ BAE， ∴∠ BAD=∠ CAE 在 △ ABD和 △ ACE中， ∴△ ABD≌△ ACE（ SAS） ∴ BD=CE． ∵ BC=CD﹣ BD， ∴ BC=CD﹣ CE， ∴ AC=CD﹣ CE． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，等式的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運 第 40 頁（共 40 頁） 用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵． 26．研究性學(xué)習(xí)： 在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形 ABC的頂點 A的坐標(biāo)為（ 2， 2）． （ 1）若底邊 BC在 x軸上，請寫出 1組滿足條件的點 B、點 C的坐標(biāo)： （ 0， 0）（ 4， 0） ； 設(shè)點 B、點 C的坐標(biāo)分別為（ m， 0）、（ n， 0），你認為 m、 n應(yīng)滿足怎樣的條件？答： m+n=4 ． （ 2）若底邊 BC的兩端點分別在 x軸、 y軸上，請寫出 1組滿足條件的點 B、點 C的坐標(biāo)： （ 2， 0）（ 0， 2） ； 設(shè)點 B、點 C的坐標(biāo)分別為（ m， 0）、（ 0， n），你認為 m、 n應(yīng)滿足怎樣的條件？答： m=n ． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】（ 1）若底邊 BC在 x軸上，則 B， C一定關(guān)于直線 x=2對稱． （ 2）若底邊 BC的兩端點分別在 x軸、 y軸上，則 B， C一定關(guān)于直線 y=x對稱． 【解答】解：（ 1）若底邊 BC 在 x軸上，則點 B、點 C 的坐標(biāo)可以是：（ 0， 0）（ 4， 0）； 設(shè)點 B、點 C的坐標(biāo)分別為（ m， 0）、（ n， 0），則 B、 C 關(guān)于點（ 2， 0）對稱， ∴ m+n=4． （ 2）若底邊 BC的兩端點分別在 x軸、 y軸上，點 B、點 C的坐標(biāo)可以是：（ 2， 0）（ 0， 2）； 設(shè)點 B、點 C的坐標(biāo)分別為（ m， 0）、（ 0， n），則點 B、 C關(guān)于直線 y=x對稱， ∴ m=n． 故分別填：（ 0， 0）（ 4， 0）， m+n=4，（ 2， 0）（ 0， 2）， m=n（ m、 n≠ 0）． 【點評】本題考查了的研究性的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；解題主要應(yīng)用了等腰三角形的三線合一定理，等腰三角形的頂角頂點一定在底邊的垂直平分線上，結(jié)合圖形做題是比較關(guān)鍵的．