清華大學(xué)高等微積分b期末試題及答案-資料下載頁(yè)
2025-01-08 20:50本頁(yè)面
【正文】 ）．（二選一） 1） 設(shè) 不是 的整數(shù)倍，證明數(shù)列 發(fā)散。 證 明 因?yàn)? 所以 假設(shè)數(shù)列 收斂，記 則 展開： 所以數(shù)列 也收斂。 記 則 即 再將 展開： 兩邊取極限： 即 從而有 代入（ 1）， 在恒等式 兩邊取極限： 矛盾！ 2） 設(shè) （ n=1， 2， ? ），證明級(jí)數(shù) 收斂的充要條件是數(shù)列 { }收斂。 證明 由遞推公式易知， 。 ??????????1 1） 設(shè)數(shù)列 收斂，則 。因?yàn)?，所以級(jí)數(shù) 與同 斂散。故我們只要證明 收斂。 ，所以前 項(xiàng)和 。因?yàn)?存在， 所以 存在，所以 存在，即級(jí)數(shù) 收斂，從而 收斂。 ???.5 2） 設(shè)級(jí)數(shù) 收斂。因?yàn)?，所以 ，級(jí)數(shù) 收斂。因?yàn)椋瑥亩?， ，所以， 存在，數(shù)列 收斂。 ?????????????????..4
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