【正文】 點(diǎn) A、 B，則這條拋物線的解析式是 ； (3)若點(diǎn) M 是直線 AB 上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作 MN⊥ x 軸于點(diǎn) N．問是否存在點(diǎn) M，使 △ AMN 與 △ ACD 相似？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由； (4)當(dāng) 7 2≤x≤7，在拋物線上存在點(diǎn) P，使 △ ABP 的面積最大，求 △ ABP 面積的最大值． 【答案】 解：（ 1）（ 6， 0），（ 0，－ 8）。 （ 2）21 10y x + x 833??＝。 （ 3）存在。 設(shè) M21 10m m + m 833????????，則 N（ m， 0） MN=21 10m + m 833， NA=6－ m。 又 DA=4， CD=8， ① 若點(diǎn) M 在點(diǎn) N 上方，MN NACD DA?，則 △ AMN∽ △ ACD。 ∴21 10m + m 8 6m3384?? ??，即2m16m+60=0?，解得 m=6 或 m=10。 與點(diǎn) M 是直線 AB 上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不符。 ∴ 此時(shí)不存在點(diǎn) M，使 △ AMN 與 △ ACD 相似。 ② 若點(diǎn) M 在點(diǎn) N 下方，MN NACD DA?，則 △ AMN∽ △ ACD。 ∴21 10m m+8 6m3384? ??，即2m4m12=0??，解得 m=－ 2 或 m=6。 初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 知識(shí)改變命運(yùn)創(chuàng)造未來 19 與 點(diǎn) M 是直線 AB 上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不符。 ∴ 此時(shí)不存在點(diǎn) M，使 △ AMN 與 △ ACD 相似。 ③ 若點(diǎn) M 在點(diǎn) N 上方，MN NADA CD?，則 △ AMN∽ △ ACD。 ∴21 10m + m 8 6m3348?? ??，即22m23m+66=0?，方程無解。 ∴ 此時(shí)不存在點(diǎn) M，使 △ AMN 與 △ ACD 相似。 ④ 若點(diǎn) M 在點(diǎn) N 下方，MN NADA CD?，則 △ AMN∽ △ ACD。 ∴21 10m m+8 6m3348? ??，即22m17m+30=0?，解得 m=52或 m=6。 當(dāng) m=52時(shí)符合條件。 ∴ 此時(shí)存在點(diǎn) M（52，74?），使 △ AMN 與 △ ACD 相似。 綜上所述，存在點(diǎn) M（52，74?），使 △ AMN 與 △ ACD 相似。 （ 4） 設(shè) P（ p，21 10p + p 833??）， 在21 10y x + x 833??＝中，令 y=0，得 x=4 或 x=6。 ∴ 7 2≤x≤7分為 7 2≤x＜ 4， 4≤x＜ 6 和 6≤x≤7三個(gè)區(qū)間討論： ① 如圖，當(dāng) 7 2≤x＜ 4 時(shí)，過點(diǎn) P 作 PH⊥ x 軸于點(diǎn) H 則 OH=p， HA=6－ p ， PH=21 10p p+833?。 ∴ ABP OAB APHOBPHS S S S? ? ?? ? ?梯形 ? ?? ?22221 1 1 10 1 1 106 8 p p+8+8 p 6 p p p+82 2 3 3 2 3 3p +6p= p 3 +9? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ∴ 當(dāng) 7 2≤x＜ 4 時(shí)， ABPS?隨 p 的增加而減小。 ∴ 當(dāng) x= 7 2 時(shí)， ABPS?取得最大值，最大值為354。 ② 如圖，當(dāng) 4≤x＜ 6 時(shí)，過點(diǎn) P 作 PH⊥ BC 于點(diǎn) H，過點(diǎn) A 作 AG⊥ BC 于點(diǎn) G。 則 BH= p， HG=6－ p， PH=221 10 1 10p + p 8+8= p + p3 3 3 3? ? ?， ∴ ABP BPH ABGPHGAS S +S S? ? ???梯形 ? ?? ?221 1 10 1 1 10 1p + p p+ p + p+8 6 p 6 82 3 3 2 3 3 2p +6p= p 3 +9? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ∴ 當(dāng) 4≤x＜ 6 時(shí)， ABPS?隨 p 的增加而減小。 ∴ 當(dāng) x=4 時(shí)， ABPS?取得最大值，最大值為 8。 ③ 如圖，當(dāng) 6≤x≤7時(shí)，過點(diǎn) P 作 PH⊥ x 軸于點(diǎn) H。則 OH=p， HA= p－ 6， PH=21 10p p+833?。 ∴ ABP OAB APHOBPHS S S S? ? ?? ? ?梯形 初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 知識(shí)改變命運(yùn)創(chuàng)造未來 20 ? ?? ?22221 1 10 1 1 1 10p p+8+8 p 6 8 p 6 p p+82 3 3 2 2 3 3p 6p= p 3 9? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ∴ 當(dāng) 6≤x≤7時(shí)， ABPS?隨 p 的增加而增加。 ∴ 當(dāng) x=7 時(shí)， ABPS?取得最大值，最大值為 7。 綜上所述，當(dāng) x= 7 2 時(shí)， ABPS?取得最大值，最大值為354。 福建泉州 ⒎ 如圖，點(diǎn) O 是 △ ABC 的內(nèi)心，過點(diǎn) O 作 EF∥ AB，與 AC、 BC 分別交于點(diǎn) E、 F，則（ ） A .EFAE+BF B. EFAE+BF =AE+BF ≤AE+BF 解：應(yīng)選 C。 思考?xì)w納：解：如圖：可作出過切點(diǎn)的幾條半徑，則其與切線互相垂直，再過點(diǎn) E、 F 作 AB 的垂線段，通過證明三角形全等，將 EF 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而得到 EF=AE+BF。 ⒘ 在 △ ABC 中， P 是 AB 上的動(dòng)點(diǎn)（ P 異于 A、 B），過點(diǎn) P 的直線截 △ ABC，使截得的三角形與 △ ABC 相似，我們不妨稱這種直線為 過點(diǎn) ． ． P． 的 ． △． ABC． ． ． 的相似線， ． ． ． ． ． 簡(jiǎn)記為 P( xl),( 為自然數(shù) ). （ 1） .如圖 ① ， ∠ A=90176。， ∠ B=∠ C，當(dāng) BP=2PA 時(shí)， P（ 1l）、 P（ 2l） 都是 ． ． 過點(diǎn) P 的 △ ABC 的相似線（其中 1l⊥ BC， 2l∥ AC），此外還有 _______條 . （ 2） .如圖 ② ， ∠ C=90176。， ∠ B=30176。，當(dāng)?BABP_______時(shí)， P( xl)截得的三角形面積為 △ ABC 面積的 4. 福建泉州 25.（ 12 分）已知： A、 B、 C 不在同一直線上 . （ 1） .若點(diǎn) A、 B、 C 均在半徑為 R 的 ⊙ O 上， A、 B、 C 如圖一，當(dāng) ∠ A=45176。時(shí)， R=1，求 ∠ BOC 的度數(shù)和 BC 的長(zhǎng)度； Ⅱ .如圖二，當(dāng) ∠ A 為銳角時(shí)，求證 sin∠ A= RBC2； 初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 知識(shí)改變命運(yùn)創(chuàng)造未來 21 （ 2） .若 定長(zhǎng)線段 ． ． ． ． BC 的兩個(gè)端點(diǎn)分別在 ∠ MAN 的兩邊 AM、 AN（ B、 C 均與點(diǎn) A 不重合）滑動(dòng)，如圖三，當(dāng) ∠ MAN=60176。，BC=2 時(shí)，分別作 BP⊥ AM， CP⊥ AN，交點(diǎn)為點(diǎn) P ，試探索：在整個(gè)滑動(dòng)過程中， P、 A 兩點(diǎn)的距離是否保持不變？請(qǐng)說明理由 . 解：（ 1） . ①∠ BOC=90176。（同弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半）； 由勾股定理可知 BC= 11?= 2 （提示：也可延長(zhǎng) BO 或過點(diǎn) O 作 BC 邊的 垂線段） ② 證明：可連接 BO 并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn) E，連接 EC. 可知 EC⊥ BC（直徑所對(duì)的圓周角為 90176。） 且 ∠ E=∠ BAC（同弧所對(duì)的圓周角相等） 故 sin∠ A= RBC2.（或過點(diǎn) O 作 BC 邊的垂線段）。 （ 2） .保持不變 .可知 △ CQP∽△ BQA，且 ∠ AQP=∠ BQC，所以 △ BCQ∽△ APQ。 即 PQCQAPBC?。 AP= ?30cos= 334（為定值） . 故保持不變。 26.（ 14 分）如圖，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 l繞著點(diǎn) A（ 0,2）旋轉(zhuǎn)，與經(jīng)過點(diǎn) C（ 0,1）的二次函數(shù)hxy ?? 241交于不同的兩點(diǎn) P、 Q. （ 1） .求 h 的值； （ 2） .通過操作、觀察算出 △ POQ 面積的最小值； （ 3） .過點(diǎn) P、 C 作直線，與 x軸交于點(diǎn) B，試問：在直線 l的旋轉(zhuǎn)過程中四邊形 AOBQ 是否為梯形，若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)指明其形狀 . 解：（ 1） .0,1)帶入二次函數(shù)hxy ?? 241中，得 1?h； (2). 操作、觀察可知當(dāng)直線 l∥ x軸時(shí)，其面積最小； 將 y=2 帶入二次函數(shù)141 2 ?? xy中，得 2??x， S 最小 =（ 24） 247。2=4. （ 3）由特殊到一般：一、如圖 ① 所示，當(dāng)直線 l∥ x軸時(shí)，四邊形 AOBQ 為正方形。 初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 知識(shí)改變命運(yùn)創(chuàng)造未來 22 可知 BO=AQ=2； ∠ AOB=90176。，故四邊形 AOBQ 為正方形。 二、如圖二，當(dāng)直線 l不平行與 x軸時(shí)，四邊形 AOBQ 為梯形。 連接 BQ，設(shè) P（141, 2 ?aa）， Q(141, 2 ?bb)。( ba ??0) 直線 BC：11 ?? xky過低點(diǎn) P,即1141 12 ??? aka，得ak 41??； 141 ?? ay；點(diǎn) B 為 (0,a?)。同理直線 l：22 ?? xky； 2141 22 ??? aka；2141 22 ??? bkb；得 b= a4?； 所以點(diǎn) Q、 B 同橫 坐標(biāo)，即為 AC∥ BQ，且 AQ 不與 OB 平行；故四邊形 AOBQ 為梯形。 福建三明 10． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 在第一象限，點(diǎn) P 在 x軸上，若以 P，O， A 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的 點(diǎn) P 共有（ ▲） A． 2 個(gè) B． 3 個(gè) C． 4 個(gè) D． 5 個(gè) 16．填在下列各圖形中的三個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律， a 的值是 ▲ ． 10. C 16. 900 福建三明 22．已知直線25yx??與 x軸和y軸分別交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B，拋物線2y x bx c????的頂點(diǎn) M 在直線 AB上，且拋物線與直線 AB 的另一個(gè)交點(diǎn)為 N． （ 1）如圖 ① ，當(dāng)點(diǎn) M 與點(diǎn) A 重合時(shí)，求： ① 拋物線的解析式；（ 4 分） ② 點(diǎn) N 的坐標(biāo)和線段 MN 的長(zhǎng)；（ 4 分） （ 2）拋物線2y x bx c????在直線 AB 上平移，是否存在點(diǎn) M，使得 △ OMN 與 △ AOB 相似？若存在，直接寫 出點(diǎn)M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（ 4 分） 22．（ 1）解： ①∵ 直線25yx??與 x軸和y 軸交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B， ∴5( ,0)2A，(, 5)B?． 解法一： 當(dāng)頂點(diǎn) M 與點(diǎn) A 重合時(shí)， ∴5( ,0)2M. ∴ 拋物線的解析式是：25()2yx?? ?．即2 255 4y x x? ? ?． 解法二：當(dāng)頂點(diǎn) M 與點(diǎn) A 重合時(shí)， ∴5( ,0)2M. ∵ 52 ( 1) 2b????， ∴ 5b?. 又 ∵24 ( 1) 04 ( 1)cb? ? ? ???， ∴254c??. ∴ 拋物線的解析式是：2 255 4y x x?? ? ?． ②∵ N 在直線25yx??上，設(shè)(,2 5)Naa?，又 N 在拋物線2 255 4y x x?? ? ?上，初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)