【正文】 ????當(dāng) 時 ，? ? ? ?? ?1( x ) , 1V x xA R xx V x??? ? ? ??(5)對數(shù)效用函數(shù) 104 均值方差效用函數(shù) 資產(chǎn)的收益率 假設(shè)從時點t到時點1?t沒有紅利支付，時點t的價格為tP，時點1?t的價格為1?tP，則該資產(chǎn)從時點t到時點1?t百分比收 益（也稱單位凈收益）tR為 tR=111?????tttttPPPPP 均值方差效用函數(shù) 設(shè)有某種金融資產(chǎn) X ，如果存在二元函數(shù)( , )V x y，使其效用函數(shù) ( ( ) ) ( ( ) , v a r ( ) )E V X V E X X? 1 ( ( ) , v a r ( ) ) 0V E X X?? 2 ( ( ) , v a r ( ) ) 0V E X X?? 則稱))(( xVE均值方差效用函數(shù)。 105 第一章 基礎(chǔ)知識 第 4節(jié) 隨機占優(yōu) RothschildStiglitz(1970,1971)提出了更一般的比較不同資產(chǎn)風(fēng)險的分析框架— 在效用理論的架構(gòu)下，采用隨機占優(yōu)（ Stochastic Dominance）方法來判斷兩個投資機會的優(yōu)劣。 期望效用最大化投資決策的前提是先確定效用函數(shù)，然而效用函數(shù)“只可意會，不可言傳”，很難對效用進行精確的量化。 由于投資機會的收益率 R是一個隨機變量，因此可以采用數(shù)學(xué)上專門研究各 種條件下隨機變量優(yōu)劣比較的方法 —隨機序來討論投資決策問題，并根據(jù)效用 函數(shù)的性質(zhì)采取漸進式的決策方法。 ， , , 106 隨機占優(yōu)準(zhǔn)則（ SD準(zhǔn)則） 隨機占優(yōu)準(zhǔn)則，是依據(jù)投資者效用函數(shù)的類型將投資者分類，首先把( ) 0Vx ? ?的投資者作為第一類，和第一類投資者相應(yīng)的 SD 準(zhǔn)則稱為一 介 隨機占優(yōu)準(zhǔn)則 ( F S D) 。把第一類投資者繼續(xù)分類，在第一類投資者中，滿足( ) 0Vx ?? ? 的投資者，為第二類投資者，相應(yīng)的 SD 準(zhǔn)則為二階隨機占優(yōu)準(zhǔn)則 ( S S D ) ，這類投資者是風(fēng)險厭惡的投資者。 。 107 隨機占優(yōu)準(zhǔn)則（ SD準(zhǔn)則） ( ) 0Vx? ? 第一類投資者 一階隨機占優(yōu)準(zhǔn)則 ( ) 0Vx?? ?第二類投資者 二階隨機占優(yōu)準(zhǔn)則 108 一階隨機占優(yōu) (FSD) AB? ?如 果 所 有 具 有 連 續(xù) 遞 增 效 用 函 數(shù) ( V ( x ) 0 ) 的 投 資 者 對 資 產(chǎn) 的偏 好 勝 過 對 資 產(chǎn) 的 偏 好 ， 我 們 稱 資 產(chǎn) A 一 階 隨 機 占 優(yōu) 于 資 產(chǎn) B ， 記 為FSDAB?定 理( ) )A B A BF x F x A B R R設(shè) 、 （ 分別是資產(chǎn) 和資產(chǎn) 的收益率 和 的分布函數(shù)，[ , ]ab其定義域為 ， )ABF S DA B F F x??則 的充要條件是 （x ) （ 。定義 性質(zhì) 109 ? FSD準(zhǔn)則的 圖形表示 圖中的三條曲線分別代表三個投資機會 A， B， C的收益率分布函數(shù)， 根據(jù) FSD準(zhǔn)則，不難判斷投資機會 B和投資機會 C均優(yōu)于投資機會 A，但 是投資機會 B與投資機會 C的優(yōu)劣無法判斷。 110 定理證明 必要性 F S DAB?首先證明若 ，( ) )ABF x F x?則 （ 。反證法， 若不然， 0 ,x存在實數(shù) 00( ) ( )ABF x F x?使，由分布函數(shù)的右連續(xù)， 0cx?存在 ，使( ) ( ),ABF x F x? 0[ , ]x x c?0[ , ]( ) ( )xxcaV x I t d t? ?令， ? ?00[ , ]0[ , ]1 [ , ]0xct x cItt x c??? ???其中111 必要性 ? ?0[ , ]xcIt由 的可積性， 0[ , ] 0xc ?及I ，()Vx可知 是連續(xù)的，遞增的，且 ? ?039。 [ , ]( ) 0xcV x I x??于是 [ ( ) ] [ ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ]ABbABaE V R E V RV x d F x F x????( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )bA B A BabV x F x F x F x F x d V xa? ? ? ??39。( ( ) ( ) ) ( )b ABa F x F x V x d x? ? ??0[ ( ) ( ) ] 0c ABx F x F x d x? ? ? ??112 充分性 因為 dxxVxFxFdxxVxFabxFxVdxxVxFabxFxVxdFxVxdFxVRVERVEbaBAbaBAbaAAbabaBABA)())()(()()(|)()()()()()()()()()()]([)]([39。???? ?????????????()ABF x F x?由假設(shè) （ ), ()Vx又 遞增， 39。 ( ) 0Vx ? ，因此[ ( ) ] [ ( ) ]ABE V R E V R? ，F(xiàn)SDAB?即113 二階隨機占優(yōu) 定義 ( ( ) 0 , ( ) 0 )V x V x A BB? ?????SSD如 果 對 所 有 具 有 連 續(xù) 遞 增 效 用 函 數(shù) 的 厭 惡 風(fēng) 險的 投 資 者 偏 好 資 產(chǎn) 勝 過 偏 好 資 產(chǎn) ，則 稱 風(fēng) 險 資 產(chǎn) A 二 階 隨 機 占 優(yōu) 于 資 產(chǎn) B ， 記 為 A 。性質(zhì) SSDAB ??定 理 的 充 要 條 件 是 S ( x ) 0 , 其 中( ) [ ( ) ( ) ]x ABaS x F t F t d t??? ],[ bax ?114 第一章 基礎(chǔ)知識 ? SSD準(zhǔn)則的 圖形表示 當(dāng)兩個投資機會收益率的分布函數(shù)曲線相交時， FSD準(zhǔn)則失效。 如圖（區(qū)域內(nèi)有“ +”號的，表示 FB(r)超過 FA(r)的積分面積，區(qū)域內(nèi)有“ —”號 的，表示 FA(r)超過 FB(r)的積分面積，且前者區(qū)域（帶“ +”號）的面積大于后者 區(qū)域（帶“ —”號）的面積）所示，投資機會 A與投資機會 B收益率的分布函數(shù)雖 然有相交的現(xiàn)象，但是依然可以判斷 A優(yōu)于 B。 115 定理證明 必要性 ) 0 ,SSDA B S y??設(shè) 證（ ()Sx若不然，由 的連續(xù)性，存在[ , ] [ , ]ab?? ? ， ( ) 0Sx ?使， [ , ] ,x ???當(dāng) 令[ , ]( ) ( )xbayV x I t d td y??? ??()V容易驗證 是連續(xù)可微、單調(diào)遞增且是凹函數(shù)，而且116 [ , ]( ) ( )0bxxV x I t dt x xx??? ? ????? ???? ? ? ? ??? ???當(dāng)當(dāng)當(dāng)[]( ) ( ) 0V x I x????? ? ? ?117 于是 [ ( ) ] [ ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )[ ( ) ( ) ] ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0 , ( ) 0)( ) ( ) ( ) ( )()ABbABabbA B a A BabABababbaabbaaE V R E V RV x d F x F xV x F x F x F x F x dV XF x F x V x dxV x dS xS x V x S x dV x S a V bS x dV x S x v x dxSx???? ? ? ??? ? ????? ? ?? ? ? ? ?? ?????????????0dx????SSDAB?與 相矛盾，( ) 0Sx ?所以 。118 ( ) 0Sx ?設(shè) ，有? ?( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )bbABaabbABaabaV x d F x V x d F xbV x d F x F x S x V x S x d V xaS x d V x S b V b???? ? ? ? ??????????) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 ,S x V b S b V x? ??? ? ? ?由假設(shè)（所以 )]([)]([ BA RVERVE ?SSDAB?即。充分性 119 風(fēng)險關(guān)系 A和 B的收益率 ()Afz()Bfz()fz0z 風(fēng)險關(guān)系 A和 B的收益率的密度函數(shù) 120 隨機優(yōu)勢準(zhǔn)則的一般決策過程為： （ 1）在諸多的可行的投資機會中，用 FSD準(zhǔn)則進行選擇，除去劣類投資機會； （ 2）在通過 FSD準(zhǔn)則的投資機會中，繼續(xù)用 SSD準(zhǔn)則進行選擇，除去劣類投資機會； 121 【 本章要點 】 ?效用函數(shù) ?期望效用最大準(zhǔn)則 ?基于效用函數(shù)的風(fēng)險態(tài)度分類 ?一階、二階隨機占優(yōu)準(zhǔn)則的證明以及圖形表示 ?運用基礎(chǔ)理論處理簡單的投資決策問題 122 第一章 基礎(chǔ)知識 【 本章練習(xí)及作業(yè) 】 一、 名詞解釋 效用函數(shù) 風(fēng)險厭惡 相對風(fēng)險厭惡函數(shù)數(shù) 絕對風(fēng)險厭惡函數(shù) FSD準(zhǔn)則 SSD準(zhǔn)則 二、試用期望效用函數(shù)理論解釋圣彼得堡悖論 . 三 . 一個消費者的效用函數(shù)為 caeu ( x )bw????，求他的絕對風(fēng)險 厭惡 系數(shù)。 四 . 某人計劃花 1 萬元去旅游，其旅游的效用函數(shù)為 wν ( w ) ln? （這里 w 為其支出的價值量）。如果他在旅途中丟失 1000 元的概率是 0. 2 5 ，他如想為丟失的損失買保險，且保險價是公平價，則他愿為這 1000 元 損失支付的最高保險金為多少？