【正文】 行分割的比例； （ 3）選擇投資品種類(lèi)和數(shù)量，在現(xiàn)有投資基金預(yù)算約束下，未來(lái)（期望）效用最大化。不斷進(jìn)行選擇的總過(guò)程的目的就在于：個(gè)人終生效用極大化。 但是，古典經(jīng)濟(jì)學(xué)家實(shí)際上從來(lái)沒(méi)有闡述過(guò)如何去度量效用；以及除了人們要實(shí)現(xiàn)效用最大化外，效用的概念是否還有別的獨(dú)立意義。偏好是主觀(guān)的，也是相對(duì)的概念。 縣丞主簿還嫌小，又要朝中掛紫衣。13 , , ,x y B x y?注：若 x y x y則認(rèn)為 比 好，或者 不比 差。18 性質(zhì) 3（有界性） **,x y B?存在 ,zB?使對(duì)任意**x z y有。對(duì)滿(mǎn)意程度的這種度量叫做基數(shù)效用 . 22 序數(shù)效用： 20 世紀(jì)意大利的經(jīng)濟(jì)學(xué)家帕累托 等發(fā)現(xiàn)，效用的基數(shù)性是多余的，消費(fèi)理論完全 可以建立在序數(shù)效用的基礎(chǔ)上。 **xy若， xB對(duì)任意的 ， 206。x y U x U y?（1 ）證明 當(dāng)且僅當(dāng) （**x x y y如果 ，12??則存在 ， ，使? ?**111x y x???? ～， 1()Ux ??按定義 ，? ?**221x y y???? ～， 2()Uy ??按定義 ，由性質(zhì) 1（ 序保持性 ） ， xy由于 ，12 ,???必有( ) ( )U x U y?故。31 必要性 2 ~ ( ) ( )x y U x U y?（ ） 證 明 ： 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 。注 3 B設(shè) 是具有偏好關(guān)系的有限集，:U B R?則存在效用函數(shù) 使得( 1 ) ( ) ( )x y U x U y?當(dāng)且僅當(dāng) ( 2 ) ~ ( ) ( )x y U x U y?當(dāng) 且 僅 當(dāng)B當(dāng) 只有兩個(gè)元素時(shí)，結(jié)論顯然成立。Knight） 。 指出： 人們?cè)谕顿Y決策時(shí)不是用“錢(qián)的數(shù)學(xué)期望”來(lái)作為決策準(zhǔn)則，而是用“道德期望”來(lái)行動(dòng)的 。而道德期 望并不與得利多少成正比，而與初始財(cái)富有關(guān)。 2{ [ ( ) ] } 4x E u x??49 期望效用函數(shù) ? 期望效用函數(shù)理論是 20世紀(jì) 50年代，馮 ? 第一步的任務(wù)是要明確：什么是在不確定情況下，我們要討論的“商品”和“商品空間。比如，有兩個(gè)彩票 , 則 簡(jiǎn)單彩票與復(fù)合彩票的關(guān)系為： 就構(gòu)成一個(gè)復(fù)合彩票 ? ?1 2 1 1 2 2 |( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) , .. . ( 1 )nnp q p q p q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?LL復(fù)合彩票概念： 55 ? 一般情況的 復(fù)合（復(fù)雜）彩票 （ pound lottery），其抽獎(jiǎng)結(jié)果是眾多的簡(jiǎn)單彩票。 ? 同樣，沒(méi)有哪一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃 L3， 差到使得對(duì)任意滿(mǎn)足L1L2的消費(fèi)計(jì)劃 L1,L2,，無(wú)論概率 α 多么大，復(fù)合彩票α L1+(1α )L3不會(huì)比 L2好。 1( ) [ ( ) ] ( )NiiiU x E V x p V x??? ?()Vx65 ? 如果抽獎(jiǎng)結(jié)果是無(wú)限的，附加一些不太重要的技術(shù)性條件，我們就有期望效用函數(shù)的連續(xù)形式： ? 其中， 為分布函數(shù)。 ? 由此引起許多非期望效用函數(shù)的研究，涉及許多古怪的數(shù)學(xué)。 爭(zhēng)論仍然存在 。于是，他進(jìn)一步要求受試者考慮一下情形： ?方案 C：以 100萬(wàn)美元 以 0美元 ?方案 D: 以 500萬(wàn)美元 以 0美元 實(shí)驗(yàn) 結(jié)果 ：絕大多數(shù)人 選擇 D而非 C ? 當(dāng) A和 B作為備選方案時(shí)選 A，當(dāng) C和 D作為備選方案時(shí)選 Ｄ ，就違背了期望效用原則。 2. 本節(jié)還討論了期望效用準(zhǔn)則 ， 偏好關(guān)系的效用函數(shù)表示 ， 以及期望效用函數(shù)存在的條件 ， 并給出了幾個(gè)期望效用準(zhǔn)則的反例 。89 00 ( , ) ( )hE? ? ? ?? ? ? ?稱(chēng)：或者 為確定性等價(jià)財(cái)富。所以，一定有絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡 ，當(dāng)然也就有風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)非負(fù)。 相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡加入了財(cái)富 w，也就是說(shuō)，后者認(rèn)為比爾蓋茨和街邊要飯的對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的看法是不同的。 105 第一章 基礎(chǔ)知識(shí) 第 4節(jié) 隨機(jī)占優(yōu) RothschildStiglitz(1970,1971)提出了更一般的比較不同資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的分析框架— 在效用理論的架構(gòu)下，采用隨機(jī)占優(yōu)（ Stochastic Dominance）方法來(lái)判斷兩個(gè)投資機(jī)會(huì)的優(yōu)劣。 110 定理證明 必要性 F S DAB?首先證明若 ，( ) )ABF x F x?則 （ 。 115 定理證明 必要性 ) 0 ,SSDA B S y??設(shè) 證（ ()Sx若不然，由 的連續(xù)性，存在[ , ] [ , ]ab?? ? ， ( ) 0Sx ?使， [ , ] ,x ???當(dāng) 令[ , ]( ) ( )xbayV x I t d td y??? ??()V容易驗(yàn)證 是連續(xù)可微、單調(diào)遞增且是凹函數(shù)，而且116 [ , ]( ) ( )0bxxV x I t dt x xx??? ? ????? ???? ? ? ? ??? ???當(dāng)當(dāng)當(dāng)[]( ) ( ) 0V x I x????? ? ? ?117 于是 [ ( ) ] [ ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )[ ( ) ( ) ] ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0 , ( ) 0)( ) ( ) ( ) ( )()ABbABabbA B a A BabABababbaabbaaE V R E V RV x d F x F xV x F x F x F x F x dV XF x F x V x dxV x dS xS x V x S x dV x S a V bS x dV x S x v x dxSx???? ? ? ??? ? ????? ? ?? ? ? ? ?? ?????????????0dx????SSDAB?與 相矛盾，( ) 0Sx ?所以 。充分性 119 風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系 A和 B的收益率 ()Afz()Bfz()fz0z 風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系 A和 B的收益率的密度函數(shù) 120 隨機(jī)優(yōu)勢(shì)準(zhǔn)則的一般決策過(guò)程為： （ 1）在諸多的可行的投資機(jī)會(huì)中，用 FSD準(zhǔn)則進(jìn)行選擇，除去劣類(lèi)投資機(jī)會(huì)； （ 2）在通過(guò) FSD準(zhǔn)則的投資機(jī)會(huì)中，繼續(xù)用 SSD準(zhǔn)則進(jìn)行選擇，除去劣類(lèi)投資機(jī)會(huì)； 121 【 本章要點(diǎn) 】 ?效用函數(shù) ?期望效用最大準(zhǔn)則 ?基于效用函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度分類(lèi) ?一階、二階隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則的證明以及圖形表示 ?運(yùn)用基礎(chǔ)理論處理簡(jiǎn)單的投資決策問(wèn)題 122 第一章 基礎(chǔ)知識(shí) 【 本章練習(xí)及作業(yè) 】 一、 名詞解釋 效用函數(shù) 風(fēng)險(xiǎn)厭惡 相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)數(shù) 絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù) FSD準(zhǔn)則 SSD準(zhǔn)則 二、試用期望效用函數(shù)理論解釋圣彼得堡悖論 . 三 . 一個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為 caeu ( x )bw????，求他的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn) 厭惡 系數(shù)。 [ , ]( ) 0xcV x I x??于是 [ ( ) ] [ ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ]ABbABaE V R E V RV x d F x F x????( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )bA B A BabV x F x F x F x F x d V xa? ? ? ??39。 由于投資機(jī)會(huì)的收益率 R是一個(gè)隨機(jī)變量，因此可以采用數(shù)學(xué)上專(zhuān)門(mén)研究各 種條件下隨機(jī)變量?jī)?yōu)劣比較的方法 —隨機(jī)序來(lái)討論投資決策問(wèn)題，并根據(jù)效用 函數(shù)的性質(zhì)采取漸進(jìn)式的決策方法。如果用相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡看，即使兩者效用函數(shù)相同，但是如果一個(gè)人比較富裕，那他應(yīng)該有更強(qiáng)烈的風(fēng)險(xiǎn)厭惡。絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡 96 ? 如果絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù) A(x) 0,表示風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，因?yàn)樾в煤瘮?shù)為凸函數(shù)，即二階導(dǎo)函數(shù)為正； ? 如果絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù) A(x) 〉 0,表示風(fēng)險(xiǎn)厭惡的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，因?yàn)樾в煤瘮?shù)為凹函數(shù)，即二階導(dǎo)函數(shù)為負(fù)； ? 如果絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù) A(x) = 0,表示風(fēng)險(xiǎn)中性的風(fēng)險(xiǎn) 態(tài)度，因?yàn)樾в煤瘮?shù)為線(xiàn)性函數(shù)，即二階導(dǎo)函數(shù)為零。由風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的定義：等號(hào)左邊可寫(xiě)為：＝將 在 展開(kāi)，得：＝＋22 ( 2)( 2)()E ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 3 )2VEV V E E?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?對(duì) 兩邊取期望，得：(. ArrowPratt絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù) 94 ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) 1V E w w V E w V E w w o w?? ? ? ? ? ? ? （ ）22( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) 32V E wE V w V E w w w E w????? ? ? ? （ ）( ( ) ) ( ( ) )V E w w E V w? ? ?由 風(fēng) 險(xiǎn) 溢 價(jià) 的 定 義 ： ，有 式 （ 1 ） 和 式 （ 3 ） 右 端 相 等 ， 推 出馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和效用函數(shù)之間的關(guān)系 ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?242V E w wwV E w???? ? ?? （ ）95 ( )()39。( 1 ) 0 ,2:3 : ( ) ,( ) ( 1 ) ( ) .hhh p h pph p hv on Ne um an n M or ge ns t e rnVxpV h p V h????? ? ?? ? ? ?；假 設(shè) 考 慮 彩 票 或 賭 博 只 有 兩 種 狀 態(tài) ，狀 態(tài) 發(fā) 生 概 率 為 狀 態(tài) 發(fā) 生 的 概 率 為而 且 表