2[1]1-23隨機現(xiàn)象-數(shù)學期望-資料下載頁
2025-05-19 21:11本頁面
【導讀】現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，具有不確定性。但是在大量實驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性.例如拋一枚硬幣，硬幣必然下落。擲一枚均勻硬幣，正面向上的可能性。明天下雨的可能性。買彩票中獎的可能性。也可能不發(fā)生的事件。這類事件稱為隨機事件，用A,B,C等表示。量重復試驗中隨機事件的出現(xiàn)呈現(xiàn)一定的數(shù)量規(guī)律，頻率這一概念近似反映了這個數(shù)量規(guī)律。在相同條件下做n次試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)為nA,其穩(wěn)定值就是該隨。例如：世界各國女嬰出生的頻率穩(wěn)定在21/43上下；實際問題中，通常用頻率來估計概率。電器可靠率等都是通過頻率來確定概率。需要給出概率的公理化定義，這里不做討論。概率論是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)學學科。關(guān)系稱為隨機變量。研究隨機現(xiàn)象，總是先引入一個隨機變量?！癤=1”表示“擲出1點”，無限可列多個，則稱這個隨機變量是離散型隨機變量?？僧媹D示意，用矩形的面積表示相應的概率。離散型隨機變量：取值可以一一列出，用分布密度函數(shù)描述規(guī)律性.
【正文】 天的平均廢品數(shù)為 某車間對工人的生產(chǎn)情況進行考察。車工小張 的平均值呢？ 數(shù)學期望的計算 例 1 分析： 文 科 數(shù) 學 nnnnnnnn 3210 3210 ???????可以得到 n 天中每天的平均廢品數(shù)為 一般來說 ,若統(tǒng)計 n天 , (假定小張每天至多出三件廢品 ) 由 頻率和概率的關(guān)系 ， 概率代替頻率，得平均值為 在求廢品數(shù) X 的平均值時，用 3210 3210 pppp ??????? 數(shù)學期望的計算 我們就用這個數(shù)作為 隨機變量 X 的平均值 . 這樣得到一個確定的數(shù)。 文 科 數(shù) 學 總結(jié)： X 表示小張所出的次品數(shù)， 其概率分布為： 32103210pppppXk則以相應概率作為權(quán)的加權(quán)平均 3210 3210 pppp ???????在概率論里把這種加權(quán)平均稱為 數(shù)學期望 。 文 科 數(shù) 學 1() kkkE X x p??? ?1kkkxp???設(shè)離散型隨機變量 X 的分布律為 ),3,2,1(,}{ ???? kpxXP kk簡稱 期望 或 均值 ，記為 E(X). 則稱級數(shù) 的和為 X 的 數(shù)學期望 。 即 離散型 隨機變量的數(shù)學期望 文 科 數(shù) 學 解 設(shè)試開次數(shù)為 X , ? ? ????nk nkXE112)1(1 nnn???21?? n于是 某人的一串鑰匙上有 n 把鑰匙 ， 其中只有一把能打開自己的家門 ， 他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門 . 若每把鑰匙試開一次后除去 ， 求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學期望 . ? ? 1 1 , 2 , , .P X k k nn? ? ?例 1 文 科 數(shù) 學 擲一顆均勻的骰子，以 X 表示擲得的點數(shù)， 6117()62kE X k????求 X 的數(shù)學期望。 例 2 文 科 數(shù) 學 解 甲乙的平均環(huán)數(shù)可求得： 因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲的射擊水平要比乙的好。 1098kpX8 9 1 00 .2 0 .5 0 .3kYp甲乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出 試問哪個人的射擊水平較高？ X ：甲擊中的環(huán)數(shù)； Y ：乙擊中的環(huán)數(shù)；8 0 . 1 9 0 . 3 1 0 0 . 6 9 . 5EX ? ? ? ? ? ? ?8 0 . 2 9 0 . 5 1 0 0 . 3 9 . 1EY ? ? ? ? ? ? ?例 3 文 科 數(shù) 學 數(shù)學期望的性質(zhì) 1. 設(shè) C 是常數(shù)，則 E(C )=C 。 2. 若 C 是常數(shù)，則 E(CX )=CE(X )。 3. ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y? ? ?? ?pnBX ,~ ()E X n p?2~ ( , )XN ?? ()EX ??文 科 數(shù) 學 二、方 差 甲、乙兩個合唱隊都由 5名成員組成 ,身高如下： 甲： 、 、 、 、 乙： 、 、 、 、 那個合唱隊演出效果好？ 分析： 易見，甲乙兩隊的平均身高都為 ，但顯然 甲隊比乙隊整齊，身高相對集中在 ， 演出效果好。 例 文 科 數(shù) 學 方差的定義 用什么來衡量 X 與 E ( X )的偏離程度？ 在實際問題中常常關(guān)心隨機變量與均值的偏離程度， ?[ ( ) ]E X E X 合理 ,但是存在正負相消，不可行 。 帶絕對值的運算，不利于分析 。 采用平方是為了保證一切差值 都起正的作用 . EXX ??[ | ( ) | ]E X E X? 2{ [ ( ) ] }E X E X文 科 數(shù) 學 若 X 的取值比較分散， 方差刻劃了隨機變量的取值 若 X 的取值比較集中， 則方差較??； 則方差較大 . 對于其數(shù)學期望的離散程度 ( ) ( )D X X?為 X 的 方差 。 稱 2( ) { [ ( ) ] }D X E X E X?稱為 均方差 或 標準差。 方差的定義 文 科 數(shù) 學 方差的性質(zhì) 1. 設(shè) C是常數(shù) ,則 D(C) =0 。 2. 若 C是常數(shù) ,則 D(CX )=C 2D(X )。 ()E X n p?( ) ( 1 )D X n p p??~ ( , )X b n p2~ ( , )XN ?? ()EX ??2()DX ??文 科 數(shù) 學 X 8 9 10 P Y 8 9 10 P 0 . 2 0 . 4 0 . 4 甲、乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出： 試問那個人的射擊水平較高？ 解 比較量個人射擊的平均環(huán)數(shù)，甲的平均環(huán)數(shù)為 X ： 甲 命 中 的 概 率 ； Y ： 乙 命 中 的 概 率 ；8 0 . 3 9 0 . 2 1 0 0 . 5EX ? ? ? ? ? ??乙的平均環(huán)數(shù)為 8 0 . 2 9 0 . 4 1 0 0 . 4EY ? ? ? ? ? ??從平均環(huán)數(shù)上看， 甲、乙射擊水平是一樣的。 例 1 文 科 數(shù) 學 ? ? ? ? ? ?2 2 28 9 . 2 0 . 3 9 9 . 2 0 . 2 1 0 9 . 2 0 . 5DX ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?2 2 28 9 . 2 0 . 2 9 9 . 2 0 . 4 1 0 9 . 2 0 . 4DY ? ? ? ? ? ? ? ? ??D Y D X?由于 ，但兩人射擊環(huán)數(shù)的方差分別為： 這表明乙的射擊水平比甲穩(wěn)定。
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