【正文】 （ 2）連結(jié) AP，如果 AP 平分 ∠ CAB．求 ∠ B 的度數(shù)． 【考點(diǎn)】 作圖 —復(fù)雜作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）如圖，作 AB 的垂直平分線交 BC 于 P，則點(diǎn) P 滿足條件； （ 2）由 PA=PB 得到 ∠ B=∠ PAB，再由 AP 平分 ∠ CAB 得到 ∠ PAB= ∠ CAB，則 ∠CAB=2∠ B，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算 ∠ B． 【解答】 解：（ 1）如圖，點(diǎn) P 為所作； （ 2） ∵ PA=PB， ∴∠ B=∠ PAB， ∵ AP 平分 ∠ CAB， ∴∠ PAB= ∠ CAB， ∴∠ CAB=2∠ B， ∵∠ CAB+∠ B=90176。， 即 2∠ B+∠ B=90176。， ∴∠ B=30176。． 【點(diǎn)評】 本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作． 20．已知 a、 b、 c 滿足 |a﹣ |+ +（ c﹣ 4 ） 2=0． （ 1）求 a、 b、 c 的值； （ 2）判斷以 a、 b、 c 為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，此三角形是什么形狀？并求出三角形的面積；若不能，請說明理由． 【考點(diǎn)】 勾股定理的逆定理；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根． 【分析】 （ 1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到方程，解方程即可得到結(jié)果； （ 2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理判斷即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ a、 b、 c 滿足 |a﹣ |+ +（ c﹣ 4 ） 2=0． ∴ |a﹣ |=0， =0，（ c﹣ 4 ） 2=0． 解得： a= ， b=5， c=4 ； （ 2） ∵ a= ， b=5， c=4 ， ∴ a+b= +5＞ 4 ， ∴ 以 a、 b、 c 為邊能構(gòu)成三角形， ∵ a2+b2=（ ） 2+52=32=（ 4 ） 2=c2， ∴ 此三角形是直角三角形， ∴ S△ = = ． 【點(diǎn)評】 本題考查了勾股定理的逆定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求三角形的面積，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵． 21．（ 10 分）（ 2022 秋 ?太倉市期中）如圖，方格紙上畫有 AB、 CD 兩條線段，按下列要求作圖（不保留作圖痕跡，不要求寫出作法） （ 1）請你在圖（ 1）中畫出線段 AB 關(guān)于 CD 所在直線成軸對稱的圖形； （ 2）請你在圖（ 2）中添上一條線段，使圖中的 3 條線段組成一個軸對稱圖形，請畫出所有情形． 【考點(diǎn)】 作圖 軸對稱變換． 【分析】 （ 1）做 BO⊥ CD 于點(diǎn) O，并延長到 B′，使 B′O=BO，連接 AB 即可； （ 2）軸對稱圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合． 【解答】 解：所作圖形如下所示： 【點(diǎn)評】 本題考查對稱軸作圖，掌握畫圖的方法和圖形的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 22．（ 10 分）（ 2022?肇慶）如圖，已知 AC⊥ BC， BD⊥ AD， AC 與 BD 交于 O，AC=BD． 求證：（ 1） BC=AD； （ 2） △ OAB 是等腰三角形． 【考點(diǎn)】 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定． 【分析】 （ 1）根據(jù) AC⊥ BC， BD⊥ AD，得出 △ ABC 與 △ BAD 是直角三角形，再根據(jù) AC=BD， AB=BA，得出 Rt△ ABC≌ Rt△ BAD，即可證出 BC=AD， （ 2）根據(jù) Rt△ ABC≌ Rt△ BAD，得出 ∠ CAB=∠ DBA，從而證出 OA=OB， △ OAB是等腰三角形． 【解答】 證明：（ 1） ∵ AC⊥ BC， BD⊥ AD， ∴∠ ADB=∠ ACB=90176。， 在 Rt△ ABC 和 Rt△ BAD 中， ∵ ， ∴ Rt△ ABC≌ Rt△ BAD（ HL）， ∴ BC=AD， （ 2） ∵ Rt△ ABC≌ Rt△ BAD， ∴∠ CAB=∠ DBA， ∴ OA=OB， ∴△ OAB 是等腰三角形． 【點(diǎn)評】 本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)；用到的知識點(diǎn)是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重點(diǎn)，本題是道基礎(chǔ)題，是對全等三角形的判定的訓(xùn)練． 23．（ 10 分）（ 2022 秋 ?宜興市期中）已知：如圖，在 △ ABC 中， D 是 BC 上的點(diǎn)， AD=AB， E、 F 分別是 AC、 BD 的中點(diǎn)， AC=6．求 EF 的長． 【考點(diǎn)】 直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 連接 AF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得 AF⊥ BD，在 Rt△ AFC 中，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出 EF= AC． 【解答】 解：連接 AF． ∵ AB=AD， F 是 BD 的中點(diǎn)， ∴ AF⊥ BD， 又 ∵ E 是 AC 的中點(diǎn)， ∴ EF= AC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） ∵ AC=6， ∴ EF=3． 故答案為： 3． 【點(diǎn)評】 本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵． 24．（ 10 分）（ 2022 秋 ?興化市校級期中）如圖 ， Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。， AD 平分 ∠ CAB， DE⊥ AB 于 E，若 AC=6， BC=8． （ 1）求 BE 的長； （ 2）求 △ ADB 的面積． 【考點(diǎn)】 勾股定理；角平分線的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理得出 AE=AC 即可； （ 2）根據(jù)勾股定理得出方程求出 DE，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） ∵∠ C=90176。， AD 平分 ∠ CAB， DE⊥ AB 于 E， ∴ CD=DE， AB= =10， ∴ AD=AD， 由勾股定理得： AE=AC=6， ∴ BE=1B﹣ AE=4； （ 2） AB= =10，設(shè) CD=DE=x，則 BD=8﹣ x， 由勾股定理得： x2+42=（ 8﹣ x） 2， 解得： x=3， ∴ DE=3， ∴ S△ ABD= AB?DE= 10 3=15． 【點(diǎn)評】 本題主要考查角平分線的性質(zhì)和勾股定理，找到 CD、 DE、 BD 之間的關(guān)系得到關(guān)于 DE 的方程是解題的關(guān)鍵．注意方程思想的應(yīng)用． 25．（ 12 分）（ 2022 秋 ?興化市校級期中）如圖，在 △ ABC 中， ∠ ACB=90176。，以AB 長為一邊作 △ ABD， ∠ ADB=90176。，取 AB 中點(diǎn) E，連 DE、 CE、 CD． （ 1）求證： DE=CE （ 2）當(dāng) ∠ CAB+∠ DBA= 60176。， 時， △ DEC 是等邊三角形，并說明理由 （ 3）當(dāng) ∠ CAB+∠ DBA=45176。時，若 CD=5，取 CD 中點(diǎn) F，求 EF 的長． 【考點(diǎn)】 等邊三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論； （ 2）證明 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓， E 是圓心，由圓周角定理得出 ∠ BEC=2∠ CAB，∠ AED=2∠ DBA，得出 ∠ BEC+∠ AED=2 60176。=120176。，求出 ∠ DEC=60176。即可； （ 3）同（ 2）證出 ∠ DEC=90176。，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】 （ 1）證明： ∵∠ ACB=∠ ADB=90176。， E 是 AB 的中點(diǎn)， ∴ DE= AB， CE= AB， ∴ DE=CE； （ 2）解：當(dāng) ∠ CAB+∠ DBA=60176。時， △ DEC 是等邊三角形，理由如下： ∵∠ ACB=∠ ADB=90176。， ∴ A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓， E 是圓心， ∴∠ BEC=2∠ CAB， ∠ AED=2∠ DBA， ∵∠ CAB+∠ DBA=60176。， ∴∠ BEC+∠ AED=2 60176。=120176。， ∴∠ DEC=60176。， ∵ DE=CE， ∴△ DEC 是等邊三角形； 故答案為： 60176。； （ 3）解：同（ 2）得： ∠ BEC=2∠ CAB， ∠ AED=2∠ DBA， ∵∠ CAB+∠ DBA=45176。， ∴∠ BEC+∠ AED=2 45176。=90176。， ∴∠ DEC=90176。， ∵ F 是 CD 的中點(diǎn)， ∴ EF= CD=． 【點(diǎn)評】 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；本題有一定難度． 26．（ 14 分）（ 2022 秋 ?興化市校級期中）在 △ ABC 中（如圖 1）， AB=17， BC=21，AC=10． （ 1）求 △ ABC 的面積（某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，如圖 2，請你按照他們的解題思路完成解解答過程）． （ 2）若點(diǎn) P 在直線 BC 上，當(dāng) △ APC 為直角三角形時，求 CP 的長．（利用（ 1）的方法） （ 3）若有一點(diǎn) Q 在在直線 BC 上運(yùn)動，當(dāng) △ AQC 為等腰三角形時，求 BQ 的長． 【考點(diǎn)】 三角形綜合題． 【分析】 （ 1）作 AD 垂直于 BC，設(shè) BD=x，則有 CD=21﹣ x，分別利用勾股定理表示出 AD2，列出關(guān)于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，進(jìn)而確定出 AD 的長，求出三角形 ABC 面積即可； （ 2）如圖所示，分兩種情況考慮：當(dāng) △ ACP2為直角三角形時；當(dāng) △ ACP1 為直角三角形時，分別求出 CP 的長即可； （ 3）如圖所示，分四種情況考慮：當(dāng) AC=CQ1=10 時；當(dāng) AQ2=AC=10 時；當(dāng) AQ3=CQ3時；當(dāng) AC=CQ4=10 時，分別求出 BQ 的長即可． 【解答】 解：（ 1）作 AD⊥ BC， 設(shè) BD=x，則有 CD=21﹣ x， 在 Rt△ ABD 中，根據(jù)勾股定理得： AD2=172﹣ x2， 在 Rt△ ACD 中，根據(jù)勾股定理得： AD2=102﹣（ 21﹣ x） 2， 可得 289﹣ x2=100﹣（ 21﹣ x） 2， 整理得： 42x=630， 解得： x=15， ∴ AD=8， 則 S= BC?AD=84； （ 2）如圖所示： 當(dāng) P2 與 D 重合時，此時 △ APC2 為直角三角形， CP2=6； 當(dāng) △ AP1C 為直角三角形時， AD2=P1D?CD，即 64=6P1D， 解得： P1D= ，此時 CP1= ； （ 3）如圖所示， 分四種情況考慮：當(dāng) AC=CQ1=10 時， BQ1=21﹣ 10=11； 當(dāng) AQ2=AC=10 時， CD=Q2D=6，此時 BQ2=21﹣ 12=9； 當(dāng) AQ3=CQ3 時，此時 BQ3= ； 當(dāng) AC=CQ4=10 時， BQ4=21+10=31． 【點(diǎn)評】 此題屬于三角形綜合題，涉及的知識有：勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及線段垂直平分線定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．