【正文】 若 fX (x)＞ 0， f Y (y)＞ 0，則有概率密度乘法公式 f (x ， y)＝ fX (x)fY ｜ x (y ｜ x)＝ f Y (y)fX Y (x ｜ y)． 4176。 條件分布函數(shù)． y y 稱 f x( ) X 為 Y 在“ X ＝ x ”條件下的條件分布函數(shù)． 同理可定義 X 在“ Y＝ y ”下的條件分布函數(shù) x x f (u ,y ) 壇 F x y f Y u d . u f y(Y ) 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 1．定義 論 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X ， Y)聯(lián)合分布函數(shù)為 F (x ， y)，邊緣分布函數(shù)分別為 FX (x)，F(xiàn)Y (y)， 如果對任意的實(shí)數(shù) x ， y 都有 F (x ， y)＝ FX (x) 178。FY (y)(x ∈ R， y ∈ R)， (即事件 {X ≤ x}與 {Y≤ y }相互獨(dú)立 )，則稱 X 與 Y 相互獨(dú)立，否則稱 X 與 Y 不相互獨(dú)立． 研 同理，如果 n 維隨機(jī)變量 (X ， X ，?， X )的聯(lián)合分布函數(shù)等于邊緣分布函數(shù)乘積，即 1 2 n F (x ， x ，?， x )＝ F (x )?F (x )． 1 2 n 1 1 n n 其中 F (x)為 X 的分布函數(shù)， x 為任意實(shí)數(shù)，則稱 X ，X ，?， X 相互獨(dú)立． i i i 1 2 n 隨機(jī)變量序列 X 1， X2 ，?， Xn ?相互獨(dú)立，如果對任意 k (k ≥ 2)， X 1， X2 ，?， Xk 相互 獨(dú)立． 考 兩個(gè)多維隨機(jī)變量 (X ， X ，?， X )與 (Y ， Y ，?， Y )相互獨(dú)立，如果對任意實(shí)數(shù) x (i 1 2 n 1 2 m i ＝ 1，?， n)與 y (j ＝ 1，?， m)有 P {X ≤ x ，?， X ≤ x ；Y ≤ y ,?， Y ≤ y }＝ P {X ≤ x ，?， j 1 1 n n 1 1 m m 1 1 X ≤ x } 178。P {Y ≤ y ,?， Y ≤ y }，即聯(lián)合分 布函數(shù)等于各自分布函數(shù)相乘： n n 1 1 m m F (x ，? x ， y ，? y )＝ F (x ，? x ) 178。F (y ，?， y )． 1 n 1 m 1 1 n 2 1 m 2．相互獨(dú)立的充要條件 (1)n 個(gè)隨機(jī)變量 X ， X ，?， X 相互獨(dú)立 對任意 n 個(gè)實(shí)數(shù) x (i＝ 1， 2，?， n)， n 1 2 n i X ≤ x }，?， {X ≤ x }相互獨(dú)立． 個(gè)事件 { 1 1 n n (2)設(shè) (X ， Y)為二維離散型隨機(jī)變量，則 X 與 Y 相互獨(dú)立 聯(lián)合分布等于邊緣分布相 乘，即 X ＝ x ， Y＝ y }＝ P {X ＝ x } 178。P {Y＝ y }(i， j ＝ 1， 2，? )． P { i j i j n 個(gè)離散型隨機(jī)變量 X ， X ，?， X 相互獨(dú)立 對任意的xi ∈ D ＝ {X 的一切可能值 }， 1 2 n i i 有 17 Page 19 n ). 1 1 n n i i (3)(X ， Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則 X 與 Y 相互獨(dú)立 聯(lián)合概率密度等于邊緣密度 相乘，即 f ( x ， y)＝ fX (x) 178。f Y (y)． 設(shè) (X ， X ， ? ， X ) 為 n 維 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， 則 X ，X ，?， X 相互獨(dú)立 聯(lián)合密度 1 2 n 1 2 n 等于邊緣密度相乘： f (x ， x ，?， x )＝ f (x ) 178。f (x )?f (x )．其中 f (x)為 X 的概率密度． 1 2 n 1 1 2 2 n n i i 3．相互獨(dú)立的性質(zhì) (1)設(shè) X 1， X2 ，?， Xn 相互獨(dú)立，則其中任意 k 個(gè) (2≤ k≤ n)隨機(jī)變量也相互獨(dú)立． (2)設(shè) (X ， Y)為二維離散型隨機(jī)變量， X 與 Y 獨(dú)立，則條件分布等于邊緣分布： P (X ＝ x ｜ Y＝ y )＝ P (X ＝ x )(P (Y＝ y )＞ 0) i j i j P (Y＝ y ｜ X ＝ x )＝ P (Y＝ y )(P (X ＝ x )＞ 0) j i j i 設(shè) (X ， Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量， X 與 Y 獨(dú)立，則條件密度等于邊緣密度： f (x ,y ) f x (y | ) f x f y (( )( X Y | X Y f y(Y ) f (x ,y ) Y X| f x( ) Y X X 壇 (3)若 X ， X ，?， X 相互獨(dú)立， g (x)，?， g (x)為一元連續(xù)函數(shù)，則 g (X )， g (X )，?， 1 2 n 1 n 1 1 2 2 g (X )相互獨(dú)立；一般地，若 X ?， X t ,X ,?， X t ,?，X ,?X t 相互獨(dú)立， g 是 t 元 n n 11 1 1 21 2 2 n1 n n i i 連續(xù)函數(shù) (i＝ 1， 2，?， n)，則 g (X ,?， X t )， g (X ,?， X t )，?， g (X ,?， X t ) 1 11 1 1 2 21 2 2 n n1 n n 也相互獨(dú)立． 論 典型例題 【例 1】設(shè)某電子儀器由兩個(gè)部件組成，以 X 和 Y 分別表示兩個(gè)部件的壽 命（單位：千小時(shí)）， 已知二維隨機(jī)變量 (X， Y)的分布函數(shù)為 研 其他 （Ⅰ） X， Y 是否獨(dú)立？（Ⅱ）兩個(gè)部件的壽命都超過 100 小時(shí)的概率 . 考 【例 2 】已知二維隨機(jī)變量 (X ， Y) 的概率密度為 f (x ,y ) 其他 求二維隨機(jī)變量 (X， Y)的分布函數(shù) F(x， y). 利用分布求概率 (1)二維均勻分布 稱 (X ， Y)在平面區(qū)域 D 上服從均勻分布，如果 (X ， Y)的概率密度為 其中 SD 為區(qū)域 D 的面積． 其他 (2)二維正態(tài)分布 18 Page 20 如果 (X ， Y)的概率密度為 1 其 中μ ∈ R，μ ∈ R，σ＞ 0，σ＞ 0， 1＜ρ＜ 1． 1 2 1 2 則稱 (X ， Y)服從參數(shù)為 2 2 的二維正態(tài)分布，記為 1 2 1 2 ．此時(shí)有 ( , ) ~ ( , 。 , 。 ) 1 2 1 2 1176。 2 2 ，ρ為 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù)，即 ~ ( , 1~ 1 ( ,), ) 2 2 cov( , ) cov( , ) X Y X Y 1 2 2176。 X 、 Y 的條件分布都是正態(tài)分布． 3176。 aX＋ bY (a 或 b≠ 0)服從正態(tài)分布． 4176。 X 與 Y 相互獨(dú)立充要條件是 X 與 Y 不相關(guān)即ρ＝ 0． 【例 1】已知 ， ，且 P(X X 0) 1 壇 （Ⅰ）求 X ,X 的聯(lián)合分布函數(shù)；（Ⅱ） X ,X 是否獨(dú)立？為什么？ 1 2 1 2 論 【例 2】設(shè) X U (0,1) ，在 的條件下， 在 (0,x) 內(nèi)服從均勻分布 . Y 求（Ⅰ）（ X， Y）的聯(lián)合概率密度 ；（Ⅱ） Y 的邊緣概率密度 f Y (y ) ；（Ⅲ） . 研 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)及其分布 1．定義 設(shè) X ， Y 為隨機(jī)變量， g (x ， y)是二元函數(shù)，則以隨機(jī)變量 X ， Y 作為變量的 函數(shù) U ＝ g (X ， Y) 也 是 隨 機(jī) 變 量 ， 稱 之 為 隨 機(jī) 變 量 X ， Y 的函數(shù)．例如 U＝ X ＋ Y； XY ； 考 等等． 我們的問題 是：已知 (X ， Y)的聯(lián)合分布，求 U＝ g (X ， Y)的分布；又 V＝φ (X ，Y)，求 (U， V)的聯(lián)合分布． 2 ．設(shè) (X ， Y) 是 二 維 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 ， 聯(lián) 合 分 布 為 p ＝ P (X ＝ x ， Y＝ y )，則 ij i j (1)U＝ g (X ， Y)也是離散型隨機(jī)變量，其分布列為 P {U＝ g (x ， y )}＝ P {X ＝ x ，Y＝ y } i j i j ＝ p ij 即 g( x, y) g( 如果有若干個(gè) g (x ， y )相同，則合并諸項(xiàng)為一項(xiàng)，并將相應(yīng)的概率相加作為 U 取值為 i j g (x ， y )的概率． i j 19 Page 21 U 的分布函數(shù) F u( ) P U{ i j 2)如果 U＝ g (X ， Y)， V＝ g (X ， Y)則 (U、 V)為二維離散型隨機(jī)變量，求 (U， V)聯(lián)合 ( 1