湖南師范大學高等代數(shù)考研真題-資料下載頁
2025-01-06 14:36本頁面
【正文】 11 0 0 0 1 0 0 1 0 0 10 1 0 1 0 0 1 0 0 0a a a aa a a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 因 ( ) 2rA? ，所以 1a?? 8 （ 2）令 2 0 20 2 2224TB A A???????? 2 0 2 2 0 2 1 0 20 2 2 ( 2 ) 2 2 ( 2 ) 1 2 2 ( 2 ) ( 6 ) 02 2 4 0 2 4 0 2 4EB??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?所以 B的特征值為 1 2 30, 2, 6? ? ?? ? ? 對于 1 0?? ，解 1( ) 0E B X? ??得對應的特征向量為 1 (1,1, 1)T? ?? 對于 2 2?? ，解 2( ) 0E B X? ??得對應的特征向量為 2 (1, 1,0)T? ?? 對于 3 6?? ，解 3( ) 0E B X? ??得對應的特征向量為 3 (1,1,2)T? ? 將 1 2 3,?? ? 單位化可得 1 2 11 1 11 1 11 , 1 , 13 2 61 0 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 正交矩陣1 1 13 2 61 1 13 2 612036Q?????????????，則 0 26TQ AQ??????? 因此，作正交變換 x Qy? ，二次型的標準形為 2223( ) ( ) 2 6T T Tf x x A A x y Ay y y? ? ? ? （ 22） 解： X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 （ Ⅰ ） ? ? ? ? ? ? 112 0 , 0 2 , 1 044P X Y P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ Ⅱ ） c ov ( , ) c ov ( , ) c ov ( , )X Y Y X Y Y Y? ? ? c ov ( , )X Y EX Y EX EY??，其中 2225, 1 , 1 , ,33E X E X E Y E Y? ? ? ? 9 22 45( ) 1 99D X E X E X? ? ? ? ? 22 52( ) 133D Y E Y E Y? ? ? ? ?， 23EXY? 所以， 22c o v ( , ) 0 , c o v ( , ) , c o v ( , ) , 033 XYX Y Y Y D Y X Y Y ?? ? ? ? ? ? ? (23)解： （ 1）因為 2( , )X N u ? ， 2( ,2 )Y N u ? ，且 X 與 Y 相互獨立，故 2(0, 3 )Z X Y ??? 所以 Z的概率密度為 2 22 61( , ) ( )6zf z e z???? ?? ? ? ? ? ? （ 2）最大似然函數(shù)為 2222 6111( ) ( 。 ) ( ) , ( 1 , 2 , , )6 iznniiiiL f z e z i n??? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 兩邊取對數(shù)，得 22221 1l n ( ) [ l n 6 l n ]26n iiZL ? ? ? ??? ? ? ?? 兩邊求導得 22 222 2 2 2 2 211l n ( ) 1 1[ ] [ 3 ]( ) 2 6 ( ) 6 ( )nniiiiZdL nZd ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ??? 令 22ln ( ) 0()dLd ?? ?，得 22113 n ii Zn? ?? ? 所以 2? 的最大似然估計量 22113 n ii Zn? ?? ? （ 3）證明： 2 2 2 2 21 1 11 1 1( ) ( ) [ ( ) ( ( ) ) ] 33 3 3n n ni i ii i iE E Z D Z E Zn n n? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 所以 2? 為 2? 的無偏估計量
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