【正文】 其中 ， ???????????XYuXY21和平時期：戰(zhàn)時：β?uDXY ???? 210 ??? 0 戰(zhàn)時D= 1 平時83 此式等價于下列兩式： }截距變動 ， 斜率不變 在包含虛擬變量的模型中 ， D的數(shù)據(jù)為 0， 0， 0， 0， 0，1， 1， 1， 1， 1。 估計結(jié)果如下圖所示： 應(yīng)用 t檢驗 ， β 2是否顯著 可以表明截距項在兩個時 期是否有變化 。 ? ? uXYuXY???????12010?????平時：戰(zhàn)時： Y 平時 戰(zhàn)時 α2 α1= β2 α1= β0 X84 2． 斜率變動 如果我們認為戰(zhàn)時和平時的消費函數(shù)中 ， 截距項不變 ，而斜率不同 ， 即 β 變動 ， 則可用下面的模型來研究兩個時期邊際消費傾向的差異： 其中 ， D={ 不難看出 ， 上式相當于下列兩式： 同樣 ， 包括虛擬變量的模型中 ， β 2是否顯著可以表明斜率在兩個時期是否變化 。 uDXXYuXDY????????)()(2121??????即：平時戰(zhàn)時10uXYuXY???????)( 211?????Y 戰(zhàn)時 平時α X85 3． 斜率和截距都變動 在這種情況下 ， 模型可設(shè)為： 其中 ， D={ 此式等價于下列兩個單獨的回歸式： uDXXDYuXDDY??????????)()()(43214321????????即：平時戰(zhàn)時10uXYuXY????????）（平時：戰(zhàn)時：432131)( ?????? 引進了虛擬變量的回歸模型對于檢驗兩個時期中是否 發(fā)生結(jié)構(gòu)性變化很方便 。 如上例中 ， 相當于檢驗 H0: β 2=β 4=0 86 4． 季節(jié)虛擬變量的使用 許多變量展示出季節(jié)性的變異 (如商品零售額 、電和天然氣的消費等 )， 我們在建立模型時應(yīng)考慮這一點 ， 這有兩種方法： （ 1） 在估計前對數(shù)據(jù)進行季節(jié)調(diào)整； （ 2） 采用虛擬變量將季節(jié)性差異反映在模型 中 。 87 例：設(shè) Y=購買汽車的實際支出額 X=實際總消費支出 用美國 1973(1) 1980(2)的季度數(shù)據(jù) （ 按 1975年價格計算 ） ， 得回歸結(jié)果如下： )()(:)(0 2 8 1 3 2????tRXY這一結(jié)果很不理想 ， 低 R2值 ， 低 t值 ， X的符號也不對 。 考慮到可能是季節(jié)性變異的問題 ， 我們建立下面的模型： 88 其中 ， uXQY ?????? 43322110 ??????1 110Q ? 季 度其 它 季 度?2 120Q ? 季 度其 它 季 度?3 130Q ? 季 度其 它 季 度各季度的截距分別為： 1季度： ?0 + ? 1 2季度： ?0 + ?2 3季度： ?0 + ? 3 4季度： ?0 請注意我們僅用了 3個虛擬變量就可表示 4個季度的情況 。 89 估計結(jié)果如下： 結(jié)果仍不理想 ， 但好多了 。 四個季度的截距項分別為： ， ， ， 。 所得到的實際總支出的參數(shù)估計值 （ ） 是一個不受季節(jié)變動影響的估計值 。 1 0 4 4 5 52)()()(1)()(:)(????????RXQYt90 5. 虛擬變量陷阱 我們在上一段中用三個虛擬變量表示四個季度的情況 。 能不能用四個虛擬變量來區(qū)分四個季度呢？ 答案是絕對不行 。 因為這將在 X矩陣中增加一列 （虛擬變量 Q4的觀測值列 ） ， 四季度為 1， 其它季度為0。 不難看出 ， 在這種情況下 ， 四個虛擬變量在 X矩陣中的觀測值列相加 ， 就得到一個所有元素都為 1的列向量 ， 與 X矩陣中第一列 （ 截距項列 ） 完全相同 ，表明 X矩陣各列線性相關(guān) ， 矩陣的秩小于 k＋ 1， 不滿足假設(shè)條件 （ 4） ， OLS估計無法進行 。 這就是所謂的 “ 虛擬變量陷阱 （ Dummy variable trap） ” 因此 ， 若定性變量有 m個類別 ， 則僅需引入 （m－ 1） 個虛擬變量 。 如果引入 m個虛擬變量 ， 則會畫蛇添足 ， 陷入虛擬變量陷阱 。 91 *第八節(jié) 極大似然法 與普通最小二乘法相比，一個具有更強的理論性質(zhì)的點估計方法是極大似然法（ Maximum Likelihood method， ML）。 極大似然法的一般概念是，設(shè) 是隨機變量 X的密度函數(shù)，若有一隨機樣本 X1， X2， … X N，則 的極大似然估計值是具有產(chǎn)生該觀測樣本的最高概率的那個值，或者換句話說， 的極大似然估計值是使密度函數(shù)達到最大的值。下面讓我們通過一個例子來進一步說明極大似然法的概念。 ( , )fx???92 一、似然的概念 一個樣本發(fā)生的概率稱為該樣本的似然。例如，拋一枚不均衡的硬幣 10次，得到 4次正面。根據(jù)二項分布，我們有 其中 X = 出現(xiàn)正面的次數(shù) p = 一次拋擲中出現(xiàn)正面的概率，即 P(正面 ) 根據(jù)似然的定義， P(X=4)是當 P(正面 )=p時， X=4的似然。我們有 ： 4 4 610( 4 ) ( 1 )P X C p p? ? ?ppppp?????( 4) 1( 4) 0( 4) 1( 4) 5( 4) 6PXPXPXPXPX??????????93 由于 p是未知的，我們可以通過選擇一個值 來估計它，這個 使似然最大，或者說，這個值 給出該樣本結(jié)果的可能性最大。 我們可以通過下面兩種方法求得 。 （ 1）迭代法 試不同的值，找出使似然最大的值。在本例中，由于 p= P(X=4)=，即這個值最有可能給出 10次拋擲中出現(xiàn) 4次正面的結(jié)果，因此 =。 （ 2）計算法 設(shè) ,令 ，求得使 L達到 最大的 p值。計算結(jié)果， =。 p~p~p~p~p~4 4 610 ( 1 )L C p p?? 0dLdp ?p~94 二、正態(tài)分布參數(shù)的極大似然估計 給定一個取自正態(tài)分布的隨機樣本 X1， X2,…X n，我們希望估計總體均值 μ和總體方差。我們有 該樣本的似然 L= P(樣本值為 X1,X2,…X n) 22()21()2ixiP x e???????22 2122 2 212( ) ( ) ()2 2 222( ) ( ) ... ( )1 1 1( ) ( ) .... ..( )2 2 2()1( ) e x p22nnXX XinP X P X P XeeXe?? ?? ? ?? ? ? ? ? ??????? ?? ? ?????????? ???????95 令 我們可求得： 我們有 而 2ln0ln0LLu???????22()iiXXnXXn????????2222()( 1 )()EnEnn????????? ? ?2? ? ? ?2是 的 無 偏 估 計 量 ， 而 是 的 有 偏 估 計 量 。這表明 ： 96 三、雙變量線性回歸模型的極大似然估計 模型： 假設(shè)（與最小二乘法相同）： t t tY X u??? ? ?22( ) 0 , ( ) , ( ) 0 ,t t i jttE u E u E u u i jXu?? ? ? ?為 非 隨 機 的 ， 服 從 正 態(tài) 分 布 。由假設(shè)我們有 因而 2( , )tNX? ? ??tY ~ 22()21()2ttYXtP Y e?????????97 故對于 Y1,Y2,… Yn， 有 12( ) ( ) . . . ( )nL P Y P Y P Y?22()21()2ttYXn e?????? ? ???當 L被看作是參數(shù) 的函數(shù)時，稱為似然函數(shù)，表示為 ，極大似然法要求我們選擇使似然函數(shù)達到最大的參數(shù)估計值。在很多情況下，極大化似然函數(shù)的對數(shù)要比極大化似然函數(shù)本身方便一些，并且結(jié)果相同，因為二者在相同的點獲得最大值，因此我們寫出 的對數(shù)： 2? ? ?（ ， ， ）2L ? ? ?（ ， ， ）2L ? ? ?（ ， ， ）98 222()l n l n ( 2 ) l n ( )2 2 2ttYXnnL ???????? ? ? ? ?令 2l n l n l n0 , 0 , 0()L L L? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 得 ： 222()ttt t t tttY n XX Y X XYXn????????????????? ? ??不難看出，前兩式與用普通最小二乘法得出的正規(guī)方程相同，故 。 但最后一式表明， 的極大似然估計量與最小二乘估計量不同。 ???? ?~,?~ ??2?99 最小二乘估計量 是一個無偏估計量。 而 這表明 是一個有偏估計量。 不難看出，當樣本容量趨向無窮時， 即 是一個漸近無偏估計量。 222??()? 22t t te Y Xnn ??? ????????2 2222 ( 2 ) 2( ) ( )te nEEn n n???? ?? ? ? ??22 ()ttYXn??? ??? ?2222n???? ???2?100 四、極大似然估計量的性質(zhì) 1. 從上面的分析可看出，在小樣本情況下， ML估