【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ??????Yn9 4 6 0 8 0 62 ??? ??R)35( )(41)1( )1)(1(122 ????????????knRnR40 例 2. 設(shè) n = 20, k = 3, R2 = ， 求 。 解： 下面改變 n的值 ， 看一看 的值如何變化 。 我們有 若 n = 10， 則 = 若 n = 5， 則 = 由本例可看出 ， 有可能為負(fù)值 。 這與 R2不同 （ ） 。 2R)420()(191)1()1)(1(1 22 ????????????knRnR2R2R10 2 ?? R2R2R41 第四節(jié) 非線性關(guān)系的處理 迄今為止 ， 我們已解決了線性模型的估計(jì)問題 。但在實(shí)際問題中 ， 變量間的關(guān)系并非總是線性關(guān)系 ， 經(jīng)濟(jì)變量間的非線性關(guān)系比比皆是 。 如大家所熟悉的柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) : 就是一例 。 在這樣一些非線性關(guān)系中 ， 有些可以通過代數(shù)變換變?yōu)榫€性關(guān)系處理 ， 另一些則不能 。 下面我們通過一些例子來討論這個(gè)問題 。 ?? LAKQ ?42 一 . 線性模型的含義 線性模型的基本形式是 : 其特點(diǎn)是可以寫成每一個(gè)解釋變量和一個(gè)系數(shù)相乘的形式 。 線性模型的線性包含兩重含義： （ 1） 變量的線性 變量以其原型出現(xiàn)在模型之中 ， 而不是以X2或 Xβ 之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中 。 （ 2） 參數(shù)的線性 因變量 Y是各參數(shù)的線性函數(shù) 。 . . . . . .22110 ???? XXY ???43 二 ． 線性化方法 對(duì)于線性回歸分析 ， 只有第二種類型的線性才是重要的 ， 因?yàn)樽兞康姆蔷€性可通過適當(dāng)?shù)闹匦露x來解決 。 例如 ， 對(duì)于 此方程的變量和參數(shù)都是線性的 。 2 31 1 2 2 342 31 1 2 2 341 1 2 2 3 3..., , ......XY X XXXZ X Z X ZXY Z Z Z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?只 需 定 義該 關(guān) 系 即 可 以 重 寫 為 ：44 參數(shù)的非線性是一個(gè)嚴(yán)重得多的問題 ， 因?yàn)樗荒軆H憑重定義來處理 。 可是 ， 如果模型的右端由一系列的 Xβ 或 eβ X項(xiàng)相乘 ， 并且擾動(dòng)項(xiàng)也是乘積形式的 ， 則該模型可通過兩邊取對(duì)數(shù)線性化 。 例如 ， 需求函數(shù) 其中 ， Y=對(duì)某商品的需求 X=收入 P=相對(duì)價(jià)格指數(shù) ν =擾動(dòng)項(xiàng) 可轉(zhuǎn)換為： Y X P v????l o g l o g l o g l o g l o gY X P v? ? ?? ? ? ?45 用 X,Y,P的數(shù)據(jù) ， 我們可得到 logY,logX和 logP,從而可以用 OLS法估計(jì)上式 。 logX的系數(shù)是 β 的估計(jì)值 ， 經(jīng)濟(jì)含義是需求的收入彈性 ， logP的系數(shù)將是 γ 的估計(jì)值 ， 即需求的價(jià)格彈性 。 彈性 （ elasticity） 是一變量變動(dòng) 1%所引起的另一變量變動(dòng)的百分比 。 其定義為 本例中 ， 需求的收入彈性是收入變化 1%， 價(jià)格不變時(shí)所引起的商品需求量變動(dòng)的百分比 。 需求的價(jià)格彈性是價(jià)格變化 1%， 收入不變時(shí)所引起的商品需求量變動(dòng)的百分比 。 YXXY ?????46 三 ． 例子 例 1 需求函數(shù) 本章 167。 1中 ， 我們?cè)o出一個(gè)食品支出為因變量， 個(gè)人可支配收入和食品價(jià)格指數(shù)為解釋變量的線性回歸模型例子 （ 例 ） 。 現(xiàn)用這三個(gè)變量的對(duì)數(shù)重新估計(jì) （ 采用同樣的數(shù)據(jù) ） ， 得到如下結(jié)果 （ 括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： 回歸結(jié)果表明 ， 需求的收入彈性是 ,需求的價(jià)格彈性是 ， 這兩個(gè)系數(shù)都顯著異于 0。 )()()( o o o g 2 ???? RPXY47 例 2． 柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù) （ 美國 18991922年制造業(yè)數(shù)據(jù) ） 估計(jì)經(jīng)過線性化變換的模型 得到如下結(jié)果 （ 括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： 從上述結(jié)果可以看出 ， 產(chǎn)出的資本彈性是 ， 產(chǎn)出的勞動(dòng)彈性為 。 ??? LAKQ ???? l o gl o gl o gl o gl o g ???? LKAY2?l o g 0 . 1 8 0 . 2 3 l o g 0 . 8 1 l o g 0 . 9 6(0 . 4 3 ) (0 . 0 6 ) (0 . 1 5 )Y K L R? ? ? ? ?48 例 3． 貨幣需求量與利率之間的關(guān)系 M r = 2 rM= a ( r 2)b( a 0, b 0) M = a(r 2)b 這里 ， 變量非線性和參數(shù)非線性并存 。 對(duì)此方程采用對(duì)數(shù)變換 logM=loga+blog(r2) 令 Y=logM, X=log(r2), β 1= loga, β 2=b 則變換后的模型為： Yt=β 1+β 2Xt + ut 49 將 OLS法應(yīng)用于此模型 ， 可求得 β 1和 β 2的估計(jì)值 ， 從而可通過下列兩式求出 a和 b估計(jì)值： 應(yīng)當(dāng)指出 ， 在這種情況下 ， 線性模型估計(jì)量 的性質(zhì) （ 如 BLUE,正態(tài)性等 ） 只適用于變換后的參數(shù)估計(jì)量 ， 而不一定適用于原模型參數(shù)的估計(jì)量 和 。 21 ?,? ??1?12?? ?l o g ( ) ( e )? ?aab??????21 ?? ?? 和a? b?50 例 4． 上例在確定貨幣需求量的關(guān)系式時(shí) ， 我們實(shí)際上給模型加進(jìn)了一個(gè)結(jié)束條件 。 根據(jù)理論假設(shè) ， 在某一利率水平上 ， 貨幣需求量在理論上是無窮大 。 我們假定這個(gè)利率水平為 2%。 假如不給這一約束條件 ， 而是從給定的數(shù)據(jù)中估計(jì)該利率水平的值 ， 則模型變?yōu)椋? M = a(r c)b 式中 a,b,c均為參數(shù) 。 仍采用對(duì)數(shù)變換 ， 得到 log(Mt) = loga + blog(rt c) + ut t=1,2,… ,n 我們無法將 log(rtc)定義為一個(gè)可觀測(cè)的變量 X, 因?yàn)檫@里有一個(gè)未知量 c。 也就是說 ， 此模型無法線性化 。 在這種情況下 ， 只能用估計(jì)非線性模型參數(shù)值的方法 。 51 四 ． 非線性回歸 模型 Y = a(X c)b 是一個(gè)非線性模型 ， a、 b和 c是要估計(jì)的參數(shù) 。 此模型無法用取對(duì)數(shù)的方法線性化 ， 只能用非線性回歸技術(shù)進(jìn)行估計(jì) ， 如非線性最小二乘法 （ NLS） 。該方法的原則仍然是殘差平方和最小 。 計(jì)量經(jīng)濟(jì)軟件包通常提供這類方法 ， 這里給出有關(guān)非線性回歸方法的大致步驟如下： 52 非線性回歸方法的步驟 1． 首先給出各參數(shù)的初始估計(jì)值 （ 合理猜測(cè)值 ） 。 2． 用這些參數(shù)值和 X觀測(cè)值數(shù)據(jù)計(jì)算 Y的各期預(yù)測(cè) 值 （ 擬合 值 ） 。 3．計(jì)算各期殘差，然后計(jì)算殘差平方和 ∑e2。 4．對(duì)一個(gè)或多個(gè)參數(shù)的估計(jì)值作微小變動(dòng)； 5．計(jì)算新的 Y預(yù)測(cè)值 、殘差平方和 ∑e2； 6．若新的 ∑e2小于老的 ∑e2，說明新參數(shù)估計(jì)值 優(yōu)于老估計(jì)值，則以它們作為新起點(diǎn)； 7．重復(fù)步驟 4， 5， 6，直至無法減小 ∑e2為止。 8．最后的參數(shù)估計(jì)值即為最小二乘估計(jì)值。 Y?Y?53 第五節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn) 一 ． 系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 1． 單個(gè)系數(shù)顯著性檢驗(yàn) 目的是檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)解釋變量的系數(shù) β j是否為 0， 即該解釋變量是否對(duì)因變量有影響 。 原假設(shè) H0： β j=0 備擇假設(shè) H1： β j≠0 54 單個(gè)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是自由度為 nk1 的 t 統(tǒng)計(jì)量： ～ t(nk1) 其中 ， 為矩陣 主對(duì)角 線上第 j+1個(gè)元素 。 而 )?(?)?(?jjjj????V a rSet ??)?( j?V ar 21 ?)( ??? XX1?1?22????????? ?knXYYYkne t ??55 例：柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù)（美國 18991922年制造業(yè)數(shù)據(jù)）估計(jì)經(jīng)過線性變換的模型 得到如下結(jié)果 （括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差） ： )()()( o o o g 2 ????? RLKY請(qǐng)檢驗(yàn)“斜率”系數(shù) ?和 ?的顯著性。 l o g l o g l o g l o g l o gY A K L v??? ? ? ?56 解： (1)檢驗(yàn) ?的顯著性 原假設(shè) H0： ? = 0 備擇假設(shè) H1： ? ≠0 由回歸結(jié)果，我們有： t＝ 用 ?=24－ 3＝ 21查 t表， 5%顯著性水平下， tc ＝ . ∵ t＝ ? tc ＝ ， 故拒絕 原假設(shè) H0 。 結(jié)論： ?顯著異于 0。 57 (2)檢驗(yàn) ?的顯著性 原假設(shè) H0： ? = 0 備擇假設(shè) H1： ? ≠0 由回歸結(jié)果，我們有： t＝ ∵ t＝ ? tc ＝ ， 故拒絕 原假設(shè) H0 。 結(jié)論： ?顯著異于 0。 58 2． 若干個(gè)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) （ 聯(lián)合假設(shè)檢驗(yàn) ） 有時(shí)需要同時(shí)檢驗(yàn)若干個(gè)系數(shù)是否為 0， 這可以通過建立單一的原假設(shè)來進(jìn)行 。 設(shè)要檢驗(yàn) g個(gè)系數(shù)是否為 0， 即與之相對(duì)應(yīng)的 g個(gè)解釋變量對(duì)因變量是否有影響 。 不失一般性 ，可設(shè)原假設(shè)和備擇假設(shè)為： H0: β 1 =β 2 = … =β g =0 H1: H0不成立 (即 X1, … Xg中某些變量對(duì) Y有 影響 ) 59 分析： 這實(shí)際上相當(dāng)于檢驗(yàn) g個(gè)約束條件 β 1= 0， β 2 = 0， … ， β g = 0 是否同時(shí)成立 。 若 H0為真 ， 則正確的模型是： 據(jù)此進(jìn)行回歸 （ 有約束回歸 ） ， 得到殘差平方和 SR是 H0為真時(shí)的殘差平方和 。 tKtKtggt XXY uβ...ββ 110 ????? ??? ? 2110 β?...β?β?? ????? ?? KtRktgRgRtR XXYS60 若 H1為真 ， 正確的模型即原模型 ： tKtKtt XXY uβ...ββ 110 ?????據(jù)此進(jìn)行無約束回歸 （ 全回歸 ） ， 得到殘差平方和 S是 H1為真時(shí)的殘差平方和 。