【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 是 的無(wú)偏估計(jì)， 11 )?( ?? ?E 1?1??同理可證 是 的無(wú)偏估計(jì)，即 0?? 0? 00 )?( ?? ?E進(jìn)一步有 這表明回歸值 是 的無(wú)偏估計(jì)。 )|()??()?( 1010 iiii xyExxEyE ????? ????y? )|( ii xyE 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 三、最優(yōu)性 ])()([)])()([)?(221 iiiiii yxxxxV aryxxxxV arV ar ??? ? ???????由 （ ） 式和 得： 2)()(uii uV a ryV a r ???)())(()()(])()([22222 iiiiii yV arxxxxyV arxxxx???? ??????22)(1ui xx???? 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 同理可以證明 22222222222222222220])(1[])()(2))(()(1[])()(2))(()(1[)())()(1(]))()(1[()?(uiuiiiiuiiiiiiiiiixxxnxxxxxnxxxxxnxxxxxnxxxxxnyV a rxxxxxnyxxxxxnV a rV a r????????????????????????????????????????? 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 222222222222)()(2)()(uiiuiiiuiixxnxxxnxnxnxxxxxnxnxx?????????????????????由（ ）和（ ）知，回歸系數(shù) 不僅與隨機(jī)項(xiàng)的方差 有關(guān)，而且還與自變量 x取值的波動(dòng)程度有關(guān)。要想使 的估計(jì)值 的方差小，在收集數(shù)據(jù)時(shí)，就應(yīng)該考慮 x的取值盡可能分散些，樣本容量也盡可能大一些。 10 ?,? ??2u?10,?? 10 ?,? ?? 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 221010)()?,?(??uσxxxC o v? ??????? 的協(xié)方差為：和同理我們還可以證明])(,[~?])(,[~?221122200?????xxNxxnxNiuuii??????對(duì)于給定的 ，則 0x 0100 ??? xy ?? ??)))(1(,(~? 2200100 uxxLxxnxNy ??????因?yàn)榧俣? 服從正態(tài)分布，所以 yi也是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。又由于 是因變量 yi的線性函數(shù) ，所以 也服從正態(tài)分布，由前面的計(jì)算結(jié)果知： ),0(~ 2ui Nu ?10 ?,? ??10 ?,? ?? 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 下面以 為例，證明 OLSE的最小方差性 1?假定 也是總體回歸系數(shù) 的線性無(wú)偏估計(jì)量，即有： ?? ii yc*1? 1?1101010*1)()]([)]([)()(???????????????????????iiiiiiiiiiiixccxccxcyEcycEE顯然，必須有： 1,0 ?? ??iii xcc????????????????????22222222222*1])[(])(2)[(])[()()()(uiiiuiiiiiiuiiiuiiiiikkckkckkckkccyV a rcycV a rV a r?????（ ） （ ） 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 0)(1)(1)(1)())(()()()()(222222222????????????????????????????????xxxxxxxxcxxcxxxxxxxxckkckkciiiiiiiiiiiiiiiiii10????iiixcc? ???2)()(xxxxkiii可見(jiàn)要使（ ）的值最小，只有使 ，此時(shí)： ii kc ?1*1 ??? ??? ?? iiii ykycOLSE的最小方差性得證。 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 高斯 —馬爾可夫定理 (GaussMarkov theorem) 在給定經(jīng)典線性回歸的假定下 ， 最小二乘估計(jì)量是具有最小方差的線性無(wú)偏估計(jì)量 。 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 四、 隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的樣本估計(jì) 在上述推導(dǎo)與計(jì)算中我們多次用到了隨機(jī)項(xiàng) ui的條件方差 ?u2. 實(shí)際上， ?u2是不可能知道的。 在實(shí)際應(yīng)用中，我們使用樣本殘差的方差 Se2作為其無(wú)偏估計(jì)量，記為 。 2?u???????????????????????????niiiniiniiniiiniieuyxyynyynenS111012121222??21)?(2121????可以證明， 是 ?u2的 最小二乘估計(jì)量 ，是無(wú)偏估計(jì)量 。 ???niien1221 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 對(duì)于，例題 21 ?????? ???? ??? ???niiiniiniiu yxyyn1110122 ??21? ???? ?8 0 7 0 1 51 1 7 7 3 7 9 00 2 8 8 7 8 6 8 06 8 8 6 33 0 7 2 1 4 0 02121??????? ?? eu S? 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 五、回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì) 1 ?? 為了反映回歸系數(shù)的估計(jì)精度，需給出其區(qū)間估計(jì)，即在置信水平為 下的置信區(qū)間。置信區(qū)間長(zhǎng)度越短，說(shuō)明估計(jì)值 與參數(shù) 和 就越接近，估計(jì)值就越精確；反之，就越不精確。 01? ?,?? 0? 1?)]?(,[~?)],?(,[~? 111000 ?????? V a rNV a rN由于： 如果記： )?()?(,)?()?(1100 ???? V arSV arS ??則有： )2(~)?(?),2(~)?(?000111 ?????? ntStntSt ?????? 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 可以證明 β 1在置信水平為 1α 下的置信區(qū)間為： β 0在置信水平為 1α 下的置信區(qū)間為： 1 1 1 122? ? ? ?( ( 2 ) ( ) , ( 2 ) ( ) )t n S t n S??? ? ? ?? ? ? ?2211 2222? ?? ?( ( 2 ) , ( 2 ) )( ) ( )uuiit n t nx x x x??????? ? ? ?????即： 0 0 0 022? ? ? ?( ( 2 ) ( ) , ( 2 ) ( ) )t n S t n S??? ? ? ?? ? ? ?222200 222211? ?? ?( ( 2 ) ( ) , ( 2 ) ( ) )( ) ( )uuiixxt n t nn x x n x x??? ? ? ?? ? ? ? ? ?????即： 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 其中 211?2nuiien??? ? ? 211 ?()2niiiyyn??? ?= 2( 2)tn? ?為置信度為 1α ，自由度為 n2的 t分布臨界值。 β 0在置信水平為 95％下的置信區(qū)間為：（ ，） 對(duì)于例 21，從輸出結(jié)果可見(jiàn)： β 1在置信水平為 95％下的置信區(qū)間為： （ ， ） 第四節(jié) 統(tǒng)計(jì)顯著性檢驗(yàn) 一、回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 二、擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 三、方程顯著性檢驗(yàn) 四、三種檢驗(yàn)的關(guān)系 五、回歸方程的標(biāo)準(zhǔn)記法 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 ? 回歸分析 是要通過(guò)樣本所估計(jì)的參數(shù)來(lái)代替總體的真實(shí)參數(shù)，或者說(shuō)是用樣本回歸線代替總體回歸線。 ? 盡管從 統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 上已知，如果有足夠多的重復(fù) 抽樣，參數(shù)的估計(jì)值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計(jì)值不一定就等于該真值。 ? 那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計(jì)值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 。 ? 主要包括 擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 、回歸系數(shù)的 顯著性檢驗(yàn) 及 方程顯著性檢驗(yàn) 。 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 一、回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn) 回歸分析 是要判斷 解釋變量 X是否是 被解釋變量 Y的一個(gè)顯著性的影響因素。 在 一元線性模型 中，就是要判斷 X是否對(duì) Y具有顯著的線性性影響。這就需要進(jìn)行 變量的顯著性檢驗(yàn)。 ? 變量的顯著性檢驗(yàn)所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的 假設(shè)檢驗(yàn) 。 ? 計(jì)量經(jīng)計(jì)學(xué)中，主要是針對(duì)變量的參數(shù)真值是否為零來(lái)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的。 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 假設(shè)檢驗(yàn) ? 所謂 假設(shè)檢驗(yàn) ， 就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分布形式作出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè) 。 ? 假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法。 先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。 ? 判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 顯著性檢驗(yàn) —t檢驗(yàn) ))(,(~? 2211 ? ? xxNiu???)2(~)?(?11 ?? ntSt ??由于真實(shí)的 未知，在用它的無(wú)偏估計(jì)量 替代時(shí)，可構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)量： 2?22???ne iu?2u?對(duì)于一元線性回歸方程中的 ，已經(jīng)知道它服從正態(tài)分布： 1??? ?? 221 )(?)?(xxS iu??其中： 的標(biāo)準(zhǔn)差的樣本估計(jì)值。 1?? 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室 檢驗(yàn)步驟： （ 1）提出假設(shè) 原假設(shè) H0： ?1=0， 備選假設(shè) H1： ?1?0 （ 2）以原假設(shè) H0構(gòu)造 t統(tǒng)計(jì)量，并由樣本計(jì)算其值 （ 3）給定顯著性水平 ?，查 t分布表，得臨界值 t?/2(n2) （ 4）比較，判斷，作出統(tǒng)計(jì)決策 若 | t |≥ t?/2(n2)，則拒絕 H0 ，接受 H1 ：認(rèn)為 ?