【正文】 的原則仍然是殘差平方和最小 。 51 四 ． 非線性回歸 模型 Y = a(X c)b 是一個(gè)非線性模型 ， a、 b和 c是要估計(jì)的參數(shù) 。 也就是說(shuō) ， 此模型無(wú)法線性化 。 假如不給這一約束條件 ， 而是從給定的數(shù)據(jù)中估計(jì)該利率水平的值 ， 則模型變?yōu)椋? M = a(r c)b 式中 a,b,c均為參數(shù) 。 根據(jù)理論假設(shè) ， 在某一利率水平上 ， 貨幣需求量在理論上是無(wú)窮大 。 對(duì)此方程采用對(duì)數(shù)變換 logM=loga+blog(r2) 令 Y=logM, X=log(r2), β 1= loga, β 2=b 則變換后的模型為： Yt=β 1+β 2Xt + ut 49 將 OLS法應(yīng)用于此模型 ， 可求得 β 1和 β 2的估計(jì)值 ， 從而可通過(guò)下列兩式求出 a和 b估計(jì)值： 應(yīng)當(dāng)指出 ， 在這種情況下 ， 線性模型估計(jì)量 的性質(zhì) （ 如 BLUE,正態(tài)性等 ） 只適用于變換后的參數(shù)估計(jì)量 ， 而不一定適用于原模型參數(shù)的估計(jì)量 和 。 )()()( o o o g 2 ???? RPXY47 例 2． 柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù) （ 美國(guó) 18991922年制造業(yè)數(shù)據(jù) ） 估計(jì)經(jīng)過(guò)線性化變換的模型 得到如下結(jié)果 （ 括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： 從上述結(jié)果可以看出 ， 產(chǎn)出的資本彈性是 ， 產(chǎn)出的勞動(dòng)彈性為 。 1中 ， 我們?cè)o出一個(gè)食品支出為因變量， 個(gè)人可支配收入和食品價(jià)格指數(shù)為解釋變量的線性回歸模型例子 （ 例 ） 。 需求的價(jià)格彈性是價(jià)格變化 1%， 收入不變時(shí)所引起的商品需求量變動(dòng)的百分比 。 彈性 （ elasticity） 是一變量變動(dòng) 1%所引起的另一變量變動(dòng)的百分比 。 例如 ， 需求函數(shù) 其中 ， Y=對(duì)某商品的需求 X=收入 P=相對(duì)價(jià)格指數(shù) ν =擾動(dòng)項(xiàng) 可轉(zhuǎn)換為： Y X P v????l o g l o g l o g l o g l o gY X P v? ? ?? ? ? ?45 用 X,Y,P的數(shù)據(jù) ， 我們可得到 logY,logX和 logP,從而可以用 OLS法估計(jì)上式 。 2 31 1 2 2 342 31 1 2 2 341 1 2 2 3 3..., , ......XY X XXXZ X Z X ZXY Z Z Z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?只 需 定 義該 關(guān) 系 即 可 以 重 寫(xiě) 為 ：44 參數(shù)的非線性是一個(gè)嚴(yán)重得多的問(wèn)題 ， 因?yàn)樗荒軆H憑重定義來(lái)處理 。 . . . . . .22110 ???? XXY ???43 二 ． 線性化方法 對(duì)于線性回歸分析 ， 只有第二種類型的線性才是重要的 ， 因?yàn)樽兞康姆蔷€性可通過(guò)適當(dāng)?shù)闹匦露x來(lái)解決 。 線性模型的線性包含兩重含義： （ 1） 變量的線性 變量以其原型出現(xiàn)在模型之中 ， 而不是以X2或 Xβ 之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中 。 下面我們通過(guò)一些例子來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題 。 如大家所熟悉的柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) : 就是一例 。 2R)420()(191)1()1)(1(1 22 ????????????knRnR2R2R10 2 ?? R2R2R41 第四節(jié) 非線性關(guān)系的處理 迄今為止 ， 我們已解決了線性模型的估計(jì)問(wèn)題 。 我們有 若 n = 10， 則 = 若 n = 5， 則 = 由本例可看出 ， 有可能為負(fù)值 。 解：我們有 22 RR 和36 ??????????????????????????????????64142165141153153813XY???????????????????????????????????????129812581551525155641421651411531646454251311111XX37 ???????????????????????????????????????109762053813646454251311111YX???????????????????????????????????????????????????????????????410976204/102/382/3110/45810/4510/2671097620129812581551525155)(?11YXXX?38 故回歸方程為： 32?XXY ??? 222?YnYYYnXYR?????? ? ? 41097620??????????????? ?XY ? ? 1085381353813 ???????????????????YY39 805 53813522 ??????? ??????Yn9 4 6 0 8 0 62 ??? ??R)35( )(41)1( )1)(1(122 ????????????knRnR40 例 2. 設(shè) n = 20, k = 3, R2 = ， 求 。 （ 4） 可能出現(xiàn)負(fù)值 。 我們有： （ 1） （ 2） 僅當(dāng) K=0時(shí) ， 等號(hào)成立 。 因此 ， 用 R2 來(lái)作為擬合優(yōu)度的測(cè)度 ， 不是十分令人滿意的 。 ? ??????222 1YYeR? ?? ??? ????? 222YYeYY22 )?(YnYYXYYYYnYY??????????22?YnYYYnXY??????32 二 ． 修正決定系數(shù)： 殘差平方和的一個(gè)特點(diǎn)是 ， 每當(dāng)模型增加一個(gè)解釋變量 ， 并用改變后的模型重新進(jìn)行估計(jì) ， 殘差平方和的值會(huì)減小 。 至此 ， 我們證明了高斯 馬爾科夫定理 。 *?cccuV arcucV arucXcV arV ar?????????2*)()()()(???DXXXc ???? ? 1)(c??? *?26 由 可推出： 即 因而有 由 從而 ， 因此上式中間兩項(xiàng)為 0， 我們有 IXDXXXX ???? ? 1)(IXDI ??0?XD? ?? ?? ?? ?DDXXXDDXXXXXXXXXDXXXDXXXDXXXDXXXcc????????????????????????????????????11111111)()()()()()()()(0?XD 0???DXDDXXcc ????? ? 1)(IXc ?27 因此 最后的不等號(hào)成立是因?yàn)? 為半正定矩陣 。 則 顯然 ， 若要 為無(wú)偏估計(jì)量 ， 即 ， 只有 ， 為 （ K+1） 階單位矩陣 。 因而 是線性估計(jì)量 。 證明的路子與雙變量模型中類似 ， 只不過(guò)這里我們采用矩陣和向量的形式 。 ?β12( ) ( )V a r β XX ?? ???()Var β?22 3． ?2 的估計(jì) 與雙變量線性模型相似 ， ?2的無(wú)偏估計(jì)量是 分母是 的自由度 ， 這是因?yàn)槲覀冊(cè)诠烙?jì) 的過(guò)程中 ， 失去了 （ K+1） 個(gè)自由度 。 ?β??????????????????????????????????????????????????????????????????KKK EEEEβ...ββ)β(......)β()β(β...ββ101010β)u()(β)β( 1????? ??EXXXE18 2． 的方差 為求 Var( )， 我們考慮 ?β?β???????? ??????? ??????? ? ?? ββββE00110101β ββ ββ β β β ... β β...β βKKKKE??? ? ????????????????????? ? ? ????? ?????????????19 ??????????????????????????????)β(...)β,β()β,β(............)β,β(...)β()β,β()β,β(...)β,β()β(1011010100KKKKKV arC ovC ovC ovV arC ovC ovC ovV ar不難看出 ， 這是 的方差 協(xié)方差矩陣 ， 它是一個(gè) (K+1) (K+1)矩陣 ， 其主對(duì)角線上元素為各系數(shù)估計(jì)量的方差 ， 非主對(duì)角線上元素為各系數(shù)估計(jì)量的協(xié)方差 。β)39。( XX ?β39。 A4. Rank(X) = (K+1) n. 相當(dāng)于前面 (5) 、 (6) 兩 條 即矩陣 X的秩 =（ K+1) n 當(dāng)然，為了后面區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的需要，還要加上一條： A5. ～ ， t=1,2,… n