[研究生入學考試]線性代數(shù)第8講-資料下載頁
2024-12-23 12:38本頁面
【正文】 由 a1,a2,...,an唯一地線性表示 . 2021/11/10 30 例 4 設(shè) a1=[1,1,1], a2=[1,2,0], a3=[1,0,3], a4=[2,3,7]. 問 : (1)a1,a2,a3是否線性相關(guān) ? (2) a4可否由 a1,a2,a3線性表示 ? 如能表示求其表示式 . 解 (1)根據(jù)定理 (2), 作矩陣 1 2 3| | | 1 1 11 2 01 0 3| | |A a a a? ? ? ?? ? ? ?= = ? ? ? ?? ? ? ?用高斯消元法易得方程組 AX=O只有零解 , 故 a1,a2,a3線性無關(guān) . 2021/11/10 31 (2) 根據(jù)定理 2和定理 3的推論 , a4可由 a1,a2,a3線性表示 , 且表示法唯一 . 設(shè) x1a1+x2a2+x3a3=a4, 即 x1[1,1,1]+x2[1,2,0]+x1[1,0,3]=[2,3,7]. 于是得 111 2 3 2 233| | | 1 1 1 21 2 0 3 ,1 0 3 7| | |xxxxa a a? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?= = ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?即 AX=a4, 解此方程組得唯一解 :x1=1,x2=1, x3=2, 故 a4=a1a2+2a3. 2021/11/10 32 例 5 設(shè)向量組 a1,a2,a3線性無關(guān) , 又b1=a1+a2+2a3, b2=a1a2, b3=a1+a3, 證明b1,b2,b3線性相關(guān) . 證 設(shè) x1b1+x2b2+x3b3=0 () 即 x1(a1+a2+2a3)+x2(a1a2)+x3(a1+a3)=0, (x1+x2+x3)a1+(x1x2)a2+(2x1+x3)a3=0 由于 a1,a2,a3線性無關(guān) , 必有 1 2 312130,020x x xxxxx? ? =??=?? ?=?此方程有非零解 , 因此 b1,b2,b3線性相關(guān) . 2021/11/10 33 例 6 證明 :若向量組 a1,a2,...,as中有一部分向量線性相關(guān) , 則該向量組線性相關(guān) . 證 不妨設(shè) a1,a2,...,ar線性相關(guān) (rs), 于是有不全為零的數(shù) k1,k2,...,kr使 k1a1+k2a2+...+krar=0, 從而有 k1a1+k2a2+...+krar+0ar+1+...+0as=0, 這就證明了 a1,a2,...,as線性相關(guān) . 例 6的等價命題是 : 若向量組 a1,a2,...,as線性無關(guān) , 則其任一部分組都是線性無關(guān)的 . 對一向量組 , 如部分相關(guān) , 則整體相關(guān) , 如整體無關(guān) , 則任一部分必無關(guān) . 2021/11/10 34 利用定理 2的結(jié)論可以證明 : 如果一組 n維向量a1,a2,...,as線性無關(guān) , 那么把這些向量各任意添加 m個分量所得到的新向量組也是線性無關(guān)的 。 如果 a1,a2,...,as線性相關(guān) , 則它們各去掉第 i個分量所得到的新向量組也是線性相關(guān)的 . 2021/11/10 35 今天作業(yè) :第 146頁開始 1,2,3,4,5題
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