【正文】 11516210163 ???????????31)/()()(iii ABPAPBP第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 [例 ] 在 [例 ]中 , 若已知取得的一件是次品 , 試求所取得的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的概率 . 解 : A1, A2, A3, B 如 [例 ]所設事件，依題意， 已知結(jié)果 B已發(fā)生 , 要求第三個原因發(fā)生的概率，則用逆概公式： 2933602920161???)()/()()()()/( 3333BPABPAPBPBAPBAP ??第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 [例 ] 設用一種化驗來診斷某種疾病 , 患該病的人中有 90%呈陽性反應 , 而未患該病的人中有 5%呈陽性反應 ,該人群中有 1%的人患這種疾病 .若某人做這種化驗呈陽性反應 ,則他患這種疾病的概率是多少 ? 的一個劃分構(gòu)成與則化驗呈陽性反應某人患有這種疾病設解SAABA }{}{: ??)/()()/()()/()()/( ???ABPAPABPAPABPAPBAP由逆概率公式)()( ?? APAP?)/( ?)/( ?ABP第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 第四節(jié) 事件的獨立性 一、事件的獨立性 定義 1 設 Ai (i=1, 2, … n)是 E的事件 , 若對任意一組數(shù)k1, k2, … ks(2≤s≤n。 每組數(shù) k1, k2, … ks取 1, 2, … n中 s個不同的值 )有 : )()()()( 2121 kskkkskk APAPAPAAAP ?? ?則稱事件 A1, A2, … An相互獨立 . 兩事件相互獨立與稱為有時當特別地212121 )()()(,2,AAAPAPAAPn ??第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 .),()()(,)(,)2(,2 21個事件兩兩獨立則稱這有是其中任意兩個事件若個事件是設定義nAPAPAAPjiAAnnAAAjijijin????)()()()( SPBPBPSBP ??(1)必然事件 S與任意事件 B相互獨立 (2)不可能事件 Φ與任意事件 B相互獨立 顯然 )()()()( BPPPBP ?????第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 注意 : （ i） 若 Ai(i=1, 2, … n)中任意多個事件的積事件的概率等于每一個的概率乊積 , 則稱 Ai相互獨立 ,故定義的等式是一組等式 ,包含有 : 12)11( 0132 ?????????? nCCCCC nnnnnnnn ?個等式 . （ ii） 若 A1, A2,… An中任意兩個事件是相互獨立的 , 則稱A1, A2,… An兩兩獨立 , 相互獨立一定兩兩獨立 。 反乊不然 . （ iii）事件的獨立性常常不是根據(jù)定義來判別的 , 而是根據(jù)實際問題來判斷 . 第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 )()()(,: BPAPABPAABABABA ???? 且證明 ?.。,1分別相互獨立也與與與則相互獨立與若事件定理 BABABABA)()( BPAP?其余兩個同理可證 .(略 ) 由事件的獨立性可以推出下列命題 : )()()()( ABPAPABAPBAP ?????)()()( BPAPAP ??)](1)[( BPAP ??第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 .)()/()/(,0)(2三者中有兩個相等、條件是獨立的充分必要與則對任意事件若定理BPABPABPBABAP ?)()()(,)(: BPAPABPBA ?即獨立與設必要性證明)/()/(: ABPABP ?由以上證明可得)/()()/()()()( ABPBPABPAPBPAP ??? 則)/()()( ABPAPABP ?而)()()(, BPAPBAPBABA ?即也獨立與獨立時與當)/()()( ABPAPBAP ?而)/()()/()()()( ABPBPABPAPBPAP ??? 則第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 )/()/()( ABPABP ?如果充分性獨立與時同理可得當 BABPABP ,)()/( ?獨立與即整理得 BABPAPABP )()()(: ?)(1)()(APABPBP???)]()()[()](1)[(:ABPBPAPAPABP ???? 交叉相乘得)()()()()/( BPAPABPBPABP ?? 即如果獨立與即 BABPAPABP )()()( ??)()(APABP?)()(APABP即第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 ?????niinnAPAAAPnnAAA12121)](1[1)(:,3?????至少發(fā)生一個的概率為個事件則這個相互獨立的隨機事件是若定理)(: 21 nAAAP ???證明)(1 21 nAAAP ??????????niiAP1)](1[1)(1 21 nAAAP ???)()()(1 21 nAPAPAP ???第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 例 設某種型號的炮 ,每一門 (只發(fā)射一枚炮彈 )擊中 敵機的概率為 ,問要以 99%的 把握擊中敵機 ,至少需要配臵幾門炮彈 ? }{,2,1}{:敵機被擊中門炮擊中敵機第設解???BniiA i ?nniiAP )](1[11????? ??.6 門炮所以至少配置)()( ?? ii APAP顯然)()( 21 nAAAPBP ????)( ?? nBP由題意第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 .,:.1,,000,011,101,110,321321但不相互獨立兩兩獨立求證這事件第三位上的數(shù)字為第二位表示卡片上第一位依次用從這袋中任取一張依次標有數(shù)字同的卡片設一袋中有四張形狀相例AAAAAA0)( 321 ?AAAP不相互獨立即但是 321321321 ,),()()()( AAAAPAPAPAAAP ?)()()(: 321 ??? APAPAP?證明)()()( 323121 ??? AAPAAPAAP)()()( 2121 APAPAAP ?顯然)()()( 3131 APAPAAP ?)()()(3232APAPAAP ? 兩兩獨立321 , AAA?第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 [例 ] 袋中裝有 a個白球 , b個黑球 , 每次有放回地從中任意取一個 , 直到取得白球為止 . 試求取出的黑球數(shù)恰好是 k的概率 . 解 : E : 從 a+b個球中有放回地任意取一個 , 直到取得白球為止 .設 Ai= {第 i次取得白球 },i=1,2, …, 顯然 },{321211 ?AAAAAAS ?又設 B={取出的黑球數(shù)恰好是 k} 則 B={前 k次取到黑球 , 第 k+1次取到白球 } 121 ?? kk AAAA ?第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 由于是有放回抽樣 , 故每次取到白球或黑球是相互獨立的，則： ),2,1(,)(1)(,)( ???????? iba bAPAPba aAP iii1)( ??? kkbaab)()( 121 ??? kk AAAAPBP ?)()()()( 121 ?? kk APAPAPAP ?baababk??????????第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 二、可靠性問題 [可靠度 ] 指系統(tǒng)能正常工作的概率 . 假設系統(tǒng)中各元件能否正常工作是相互獨立的 }{)()2,1}({系統(tǒng)正常工作個元件正常工作第設????ApAPniiA iii ? 1 2 n nniiniiniippAPAPAA?????????111)()(?第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 1 2 n nniiniipAPAPAA)1(1)(1)(11??????????第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 例 一個混聯(lián)系統(tǒng) 如圖所示 ,由 5個元件組成 ,每個 元件可靠度為 p,求系統(tǒng)可靠度 1 3 2 4 5 )2()1(1:),1(32: 2 ppp ????可靠度為組成的并聯(lián)系統(tǒng)與解)2()2(:),2(4,1)1( 32 ppppp ???可靠度為組成的串聯(lián)系統(tǒng)與ppppppp ???????? 3453 23)]2(1)[1(1:,5)2( 可靠度為組成并聯(lián)系統(tǒng)與第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 三、 n重貝努里試驗 如果一個試驗在相同條件下可重復進行 n次 ,各次試驗中每個結(jié)果出現(xiàn)的概率保持不變 ,且每次試驗的結(jié)果 相互獨立 ,則稱這 n次試驗為 n重獨立試驗 . 特別地 ,當試驗只有兩個結(jié)果 ,即事件 出現(xiàn)或 出現(xiàn) ,其概率分別為 則稱 這樣的 n重獨立試驗為 n重貝努里試驗 . A A),10(1)(,)( ????? ppAPpAP如 :拋擲硬幣 ,觀察正面與反面 。 有放回地抽查產(chǎn)品 ,觀察正品與次品 。 射擊時中與不中 . 第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 ),2,1,0()1(),(,),10(,nkppCpnbkAnppAknkknk ???????次的概率為恰出現(xiàn)事件重貝努里試驗中則在出現(xiàn)的概率為事件設在貝努里試驗中定理knkknkppAAAAAAPkkA???? )1()(:)(:??? ?? ???? ?? ?次次發(fā)生的概率次假設前次在某指定的先計算事件證明knkknkknppCpnbCkA??? )1(),(,所以個順序共有次恰發(fā)生第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 例 設一批產(chǎn)品數(shù)量很大 ,其中一級品率為 抽取 5件 樣品 .求 : (1)5個樣品中恰有 2個一極品的概率 。 (2)5個樣品中至少有 2個一極品的概率 . 重貝努里試驗這是一個解 5:)()()()(1 41155005 ???? CC)()(),5()1( 32252 ??? Cb),5(),5(),5(),5()2( 5432 bbbb ???),5(),5(1 10 bb ???第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 例 從一個工廠的產(chǎn)品中進行重復抽樣檢查 ,共取 200件 .檢查結(jié)果其中有 4件次品 .問該廠廢品率 是否可信 ? 解 :這是一個 200重的貝努里試驗 .不妨假定廢品率為 ,則 200件產(chǎn)品中恰抽到 4件次品的概率為 : )()(),200( 196442022 ?? Cb 這表明 ,在 200件產(chǎn)品中抽到 4件次品的概率(小概率 ),屬于小概率事件 ,而它竟然發(fā)生了 .我們認為 ,廢品率為 .. 第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 例 設每次射擊打中目標的概率為 ,如果射擊 5000 次 ,試求打中目標的概率 . }{)5000,2,1}({目標被擊中次擊中目標第設???BiiA i ? 這表明 ,雖然小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生 ,而在多次重復試驗下 ,卻很容易發(fā)生 . )9 9 ()0 0 (1 5 0 0 0005 0 0 0 ??? C.5000: 重貝努里試驗這是一個解)()( 500021 AAAPBP ?????),5000(1 0b??第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 第一章小結(jié) : )(/)()(/)()1( SLALAPnrAP ??)()()()()()2( 加法定理ABPBPAPBAP ????),()()( 2111有限可加性兩兩互斥設 nniinii AAAAPAP ?? ????)(/)()/()3( APABPABP ?)/()()/()()()4( BAPBPABPAPABP ??)()()()(