【正文】 iA????定理 1 設(shè)事件 A1, A2, …, An 為一個完備事 件組，且 P(Ai) 0 (i=1, 2,…, n), 則對任一 事件 B，有 1( ) ( ) ( | )niiiP B P A P B A?? ?即 ：稱此公式為 全概率公式 . = P(A1)P(B|A1) +P(A2)P(B|A2) +… + P(An)P(B|An) P(B) ijAA ??A1 A2 A3 A4 A5 A6 B ? 1( ) ( ) ( | )niiiP B P A P B A?? ?1()niiBA?? ?1niiBA?? ?( , , 1 , 2 , . . . , )i j i j n??BB??( ) ( )ijBA BA? ? ?1niiA????A1, A2,…, An 兩兩互斥 證明 ： 因為 又因為 ( , , 1 , 2 , . . . , )i j i j n?? ,及 概 率 的 加 法 公 式 有1( ) ( )niiP B P B A?? ?1( ) ( | )niiiP A P B A?? ?1niiB B A?? ?由( ) ( ) ( , , 1 , 2 , ..., )ijBA BA i j i j n? ? ? ?1()niiP B A?? ?對和式中的每一項 運(yùn)用乘法公式得 則 B發(fā)生的概率與 P(BAi) 有關(guān)，其概率為： 每一原因都可能導(dǎo)致 B發(fā)生，故 B發(fā)生的 概率是各原因引起 B發(fā)生概率的總和，即 P(BAi) ()PB1( ) ( | )niiiP A P B A?? ?全概率公式的直觀意義： 1()niiP B A?? ?=P(Ai)P(B |Ai) (i= 1, 2,…, n), 全概率公式： 某一事件 B的發(fā)生有各種可能的“原因” Ai (i= 1, 2, …, n), 若 B是由原因 Ai 所引起的， 例 1 設(shè) 1000張彩票中有 20張可以中獎，依次抽取二張，求第二張中獎的概率 . 解 : 設(shè) A：“第二張中獎” . 設(shè) B1: “第一張中獎” . B2:“第一張沒中獎” . ? ?21BB?顯然， B1B2=?， B1+B2=? 根據(jù)全概率公式： ? ? ? ? ? ?21iiiP A P A B P B?? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2P B P A B P B P A B??2 0 1 9 9 8 0 2 0 2 01 0 0 0 9 9 9 1 0 0 0 9 9 9 1 0 0 0? ? ? ? ?例 2 甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，三人 射中的概率分別是 , , . 若只一人射中， 解 : 設(shè) A：“飛機(jī)被擊落” . B0: “無人射中” B1: “只一人射中” B2: “只二人射中” B3: “三人全射中” C1: “甲射中” C2: “乙射中” C3: “丙射中” 飛機(jī)被擊落的概率為 。 若二人射中，飛機(jī) 被擊落的概率為 。 若三人射中，飛機(jī)必被擊落 . 求飛機(jī)被擊落的概率 . 顯然， B0+B1+B2 +B3 =?， 且兩兩互不相容 根據(jù)全概率公式： ? ? ? ? ? ? ? ?4411i i iiiP A P A B P B P A B??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 2 3 1 2 3P B P C C C P C P C P C??? ? ? ?1 1 2 3 1 2 3 1 2 3P B P C C C C C C C C C? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 3 1 2 3P C C C P C C C P C C C? ? ?= =(1?)(1?)(1?)= ? ? ? ?2 1 2 3 1 2 3 1 2 3P B P C C C C C C C C C? ? ?? ? ? ?3 1 2 3P B P C C C?= =0. 14 P(A|B0)=0 P(A|B1)= P(A|B2)= P(A|B3)=1 經(jīng)過計算， P(A)= B?F, 且 B? ?Ai , 全概率公式對于可列無限剖分，且 P( Ai)0的情形也是成立的。此時有 ? ? ? ? ? ?1iiiP B P B A P A??? ? 全概率公式的條件還可改為： 設(shè) A1, A2, ... An... 為有限或可列個互不相容的事件 , 若 P(Ai)0, i=1, 2,... ? ? ? ? ? ?iiP B P B A P A? ?則有 注 1. 2. 再由有限可加性或完全可加性，可得 ? ? ? ?iiB A B A B??且 證明 ： 由條件可知 ? ? ? ? ? ?ijA B A B i j???? ? ? ? ? ? ? ?|i i iP B P A B P A P B A???? 例 3 某商店庫存 100臺相同型號的冰箱，其中 有 60臺是第一家工廠生產(chǎn)的， 25臺是第二家 工廠生產(chǎn)的， 15臺是第三家工廠生產(chǎn)的。已知 這三家工廠產(chǎn)品的不合格率分別為 , , . 一顧客從這批冰箱中任取 1臺，問取出的是 不合格 冰箱的概率 。 顯然 A1， A2， A3構(gòu)成一個 完備事件組 冰箱臺數(shù) 第 2家 不合格率 第 1家 第 3家 60 25 15 B=A1B+A2B+A3B 共 100臺 Ai =“取出的一臺是第 i家工廠生產(chǎn)的 ” i =1, 2, 3 B= “取出的一臺是不合格的冰箱” 解 ：設(shè) P(B)= P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3) P(B|A3) 利用全概率公式有： P(A1)=60/100= P(A2)= P(A3)= P(B|A1)= P(B|A2)= P(B|A3)= =?+?+? = 實際中還有一類問題，是“已知結(jié)果找原因”。 這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知在某結(jié)果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。 二 貝葉斯公式 例 有三個分別編號為 1, 2, 3的盒子， 1號盒裝有 1個紅球 4個白球， 2號盒裝有 2紅球 3白球， 3號盒裝有 3紅球 . 某人從三盒中任取一盒，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球 , 求該球是取自 1號盒的概率 . ? 1 2 3 某人從任一盒中任意摸出 一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自 1號盒的概率 . 1( | )P A B記 Ai={球取自 i號盒 } i=1, 2, 3 求 P(A1|B) 11( ) ( | )P A P B A?運(yùn)用全概率公式 計算 P(B) 將這里得到的公式一般化，就得到 貝葉斯公式 B ={取得紅球 }， 1()()P A BPB?31( ) ( )jjjP A P B A?? ｜? 1 2 3 定理 2（ Bayes） 設(shè)事件 A1, A2,…, An 為一個完備事件組， 且 P(Ai ) 0 (i=1, 2,…, n) , 則對任一事件 B， P(B) 0, 有 1( ) ( | )( | )( ) ( | )iii niiiP A P B AP A BP A P B A???( 1 , 2 , . . . , )in? 證明 ： 由條件概率及全概率公式得： ( | )iP A B注：貝葉斯公式在實際問題中有著多方面的 應(yīng)用， 它可以幫助人們確定 某結(jié)果事件 B 發(fā)生的最可能原因 . ( ) ( | )iiP A P B A?1( ) ( | )niiiP A P B A??()()iP A BPB? 若事件 B的發(fā)生可能由 A1， A2， …, An共 n個“原因”事件引起，在已知 B發(fā)生的條件下，要求可能由哪個“原因 Ai” 引起的概率即 P(Ai |B) ,這種 “由果溯因” 的推斷問題，可用貝葉斯公式解決。 例如，定理中的有限數(shù) n可以推廣到可列的情形 此時貝葉斯公式為 1( | ) ( )( | )( | ) ( )iiiiiiP B A P AP A BP B A P A????( 1 , 2 , ...)i ?注： 類似于全概率公式，貝葉斯定理中 的條件也可改變． 例 4 在例 3中，若取 出的一臺為不合格冰 箱，問這臺冰箱是第 一、二、三家工廠生 產(chǎn)的概率各為多少？ 解 ： 沿用例 3中的所設(shè)事件 Ai=“取出的為第 i 家生產(chǎn)的” （ i=1, 2, 3) B=“取出的一臺為不合格品” 求 P(A1|B) 、 P(A2|B) 、 P(A3|B) 冰箱臺數(shù) 第 2家 不合格率 第 1家 第 3家 60 25 15 P(A2| B) = P(A3| B)= 1( | )P A B0 . 6 0 . 1 0 . 2 5 0 . 4 0 . 1 5 0 . 2?? ? ? ? ?0 .3 1 5 6?同理可得： 1()()P A BPB?0 .6 0 .1?1131( ) ( | )( ) ( | )jjjP A P B AP A P B A???工廠生產(chǎn)的。 可知，這臺不合格冰箱很有可能是第二家 比較 P(A1|B)， P(A2|B)， P(A3|B) 的大小 種試驗反應(yīng)是陽性的概率為 ，正常人對這種試驗反 解 : 設(shè) A=“抽查的人患有癌癥”， 求 P(A|B). 則 表示“抽查的人不患癌癥” . AB=“試驗結(jié)果是陽性”， ( ) 0 . 0 0 5 , ( ) 0 . 9 9 5P A P A??已 知 ：( | ) 0 . 9 5 , ( | ) 0 . 0 4P B A P B A??例 5 某一地區(qū)患有癌癥的人占 ，患者對一 應(yīng)是陽性的概率為 ，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是 陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大 ? 現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義 . 由貝葉斯公式，可得 ( | )P A B ?2. 檢出陽性是否一定患有癌癥 ? 1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？ ( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B AP A P B A P A P B A?= 0 . 0 0 5 0 . 9 50 . 0 0 5 0 . 9 5 0 . 9 9 5 0 . 0 4??? ? ?( ) 0 . 0 0 5 , ( ) 0 . 9 9 5P A P A??( | ) 0 . 9 5 , ( | ) 0 . 0 4P B A P B A??如果不做試驗 ,抽查一人 ,他是患者的概率 P(A)= 患者陽性反應(yīng)的概率是 。 說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義 . 從 , 將近增加約 21倍 . 1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？ 若試驗后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗得來的 信息，此人是患者的概率為： P(A | B)= 2. 檢出陽性是否一定患有癌癥 ? 試驗結(jié)果為陽性 , 此人確患癌癥的概率為 即使檢出陽性，也不必過早下結(jié)論有癌癥，這種可能性只有 % (平均來說，1000個人中大約只有 107人確患癌癥 )，此時醫(yī)生常要通過進(jìn)一步試驗來確認(rèn) . P(A|B)= 我們介紹了 全概率公式 貝葉斯公式 它們是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用 ,可通過進(jìn)一步的練習(xí)去掌握它們 . 1( ) ( | )( | )( ) ( | )iii njjjP A P B AP A BP A P B A???Bayes公式 : ( 1 , 2 , . . . , )in?P(Ai)稱為 先驗概率 ，而 P(Ai|B) 稱為 后驗概率 ， 它反映了試驗之后，事件 B發(fā)生的 “ 原因 ” 的 各種可能性的大小。因此貝葉斯公式又稱為 后驗概率公式 或 逆概率公式 . 全概率公式 它們是加法公式和乘法公式的綜合