【正文】 程組解的結構 ?例 求下列方程組的基礎解系 ?解 ?????????????????,023,0 3,0 432143214321xxxxxxxxxxxx?????????????????123111311111A???????????????????0120024011113121rrrr????????????????????000002/11012/101)41 (223212rrrrr????????????????????000002/11012/101)21 (223212rrrr167。 4 線性方程組解的結構 ?原方程組可化為 ????????????,0 21 ,021 32431xxxxx, ,2 2413 kxkx ??令?????????????? ????????????????211214321 2 kkkkkxxxx則 ,1001021121?????????????????????????????? kk ,1001 ,021121?????????????????????????????? ??., 21 系為方程組的一個基礎解??. , 21 為任意常數(shù)kk167。 4 線性方程組解的結構 ?原方程組可化為 或 ????????????,0 21 ,021 32431xxxxx,2 , 2311 kxkx ??令??????????????????????????????2122143212 kkkkkxxxx則 ,12 1 0 100121??????????????????????????????? kk ,12 1 0 ,100121??????????????????????????????? ??., 21 系為方程組的一個基礎解??. , 21 為任意常數(shù)kk可見答案不惟一 。 167。 4 線性方程組解的結構 ?例 證明對任意實矩陣 A， R(ATA)=R(A). ?證 ,矩陣為設 mnA ? ,00 的解是 ?Axx ,00 ?Ax則,0)()( 0T0T ?? AxAxAA .0)( T0 的解是即 ?xAAx,0)( T0 的解是若 ?xAAx ,0)( 0T ?xAA則,0)()()( 0TT00T0 ?? xAAxAxAx ,00 ?Ax實向量.00 的解是即 ?Axx,0)(0 , T 同解與方程組綜上證明 ?? xAAAx它們的,量基礎解系可取同一組向 基礎解系含向量個數(shù)為),()( T AARnARn ??? .)()( T AARAR ?所以167。 4 線性方程組解的結構 ? 線性方程組解的結構 ?性質 3 ?證 , 21 的解是線性方程組若 bAxxx ??? ??.021 的解是對應齊次線性方程組則 ??? Axx ??, 21 bAbA ?? ??則,0)( 2121 ???? ???? AAA有.021 的解是方程組故 ??? Axx ??, 21 的解是方程組若 bAxxx ??? ??167。 4 線性方程組解的結構 ?性質 4 ?證 ,的解是線性方程組若 bAxx ?? ?是線性方程則 ?? ??x,)( bAAA ???? ????有,0 , ?? ?? AbA由設有是對??x,0 的解應齊次線性程組 ?Ax.的解是方程組故 bAxx ??? ??.的解組 bAx ?167。 4 線性方程組解的結構 ?定理 ?證 由性質 1,2,4知 ,0 的解是非齊次線性方程組設 bAxx ?? ?的通解為則線性方程組 bAx ?的一個基組是對應的齊次線性方程 0, 21 ?Axs??? ?,02211 ???? ????? sskkkx ?., 21 為任意常數(shù)其中 skkk ?02211 ???? ????? sskkkx ?的解。是線性方程組 bAx ?,的任一解是線性方程組設 bAxx ?? ? 是則 0 ???x,0 的解方程組 ?Ax,礎解系的一個是方程組 0, 21 ?Axs??? ?,基礎解系 使則存在常數(shù) skkk , 21 ?亦稱 結構解 167。 4 線性方程組解的結構 ，sskkk ????? ???? ?2211002211 ????? ????? sskkk ?即167。 4 線性方程組解的結構 ?例 求解方程組 ?解 ??????????????????,132,23 ,0 432143214321xxxxxxxxxxxx??????????????????132112311101111),( bA????????????????????1210024200011113121rrrr?????????????????0000012100110112123212rrrrr?????????????????0000012100110112123212rrrrr167。 4 線性方程組解的結構 ?原方程組可化為 ?注 通解的表達式不惟一。用向量表示的通解亦 稱 結構解 . ????????,12 ,1 43421xxxxx，為任意常數(shù)令 ),( , 212412 kkkxkx ??????????????????????????????????221214321121kkkkkxxxx則方程組的通解為?????????????????????????????????????????????01011201001121 kk167。 4 線性方程組解的結構 ?例 設 ?1, ?2, ?3是 4元線性方程組 Ax=b的解 , 且 ?解 方程組 Ax=0的基礎解系含 4R(A)=1個向量， 由性質 1,3知 Ax=0有解向量 )()( 3121 ????? ????,3)( ?AR .的通解求 bAx ?)(2 321 ?? ??????????????????2002 ,4002 ,3002321??????????????????????????????? ???的一個基礎解系，為即 0?Ax?).( 1 為任意常數(shù)的通解為故 kkxbAx ?? ???167。 4 線性方程組解的結構 即 ).( ,30022002為任意常數(shù)kkx??????????????????????????????167。 4 線性方程組解的結構 ?例 設 4階方陣 A=(?1,?2,?3,?4), 其中 ?2,?3,?4線 性無關， ?1=2?24?4，如果 ?=?1+2?2+3?3+4?4， 求線性方程組 Ax=?的通解 . ?解 由 ?2,?3,?4線性無關， ?1=2?24?4知 R(A)=3, 方程組 Ax=0的基礎解系含 4R(A)=1個向量， 由 ?12?2+4?4=0,得 ,04021),(4321???????????????????? ,04021????????????????A即 ,4021?????????????????令167。 4 線性方程組解的結構 則 ?是方程組 Ax=0的基礎解系， 由 ?=?1+2?2+3?3+4?4，得 則 ?0是方程組 Ax=?的解， 所以 Ax=?的通解為 x=k?+?0, (k為任意常數(shù) ), ,4321),(4321??????????????? ????? ,4321????????????????A即 ,43210????????????????令167。 4 線性方程組解的結構 即 ).( ,43214021為任意常數(shù)kkx???????????????????????????????167。 4 線性方程組解的結構 本節(jié)學習要求 ? , ? ,會求線性方程組的結構解；會用線性方程組的解的性質及結構定理解決有關 的問題。 ?作業(yè) ：習題 (A) 第 1(1), 5, 6題。