【正文】 程組解的結(jié)構(gòu) ?例 求下列方程組的基礎(chǔ)解系 ?解 ?????????????????,023,0 3,0 432143214321xxxxxxxxxxxx?????????????????123111311111A???????????????????0120024011113121rrrr????????????????????000002/11012/101)41 (223212rrrrr????????????????????000002/11012/101)21 (223212rrrr167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?原方程組可化為 ????????????,0 21 ,021 32431xxxxx, ,2 2413 kxkx ??令?????????????? ????????????????211214321 2 kkkkkxxxx則 ,1001021121?????????????????????????????? kk ,1001 ,021121?????????????????????????????? ??., 21 系為方程組的一個基礎(chǔ)解??. , 21 為任意常數(shù)kk167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?原方程組可化為 或 ????????????,0 21 ,021 32431xxxxx,2 , 2311 kxkx ??令??????????????????????????????2122143212 kkkkkxxxx則 ,12 1 0 100121??????????????????????????????? kk ,12 1 0 ,100121??????????????????????????????? ??., 21 系為方程組的一個基礎(chǔ)解??. , 21 為任意常數(shù)kk可見答案不惟一 。 167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?例 證明對任意實矩陣 A， R(ATA)=R(A). ?證 ,矩陣為設(shè) mnA ? ,00 的解是 ?Axx ,00 ?Ax則,0)()( 0T0T ?? AxAxAA .0)( T0 的解是即 ?xAAx,0)( T0 的解是若 ?xAAx ,0)( 0T ?xAA則,0)()()( 0TT00T0 ?? xAAxAxAx ,00 ?Ax實向量.00 的解是即 ?Axx,0)(0 , T 同解與方程組綜上證明 ?? xAAAx它們的,量基礎(chǔ)解系可取同一組向 基礎(chǔ)解系含向量個數(shù)為),()( T AARnARn ??? .)()( T AARAR ?所以167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ? 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?性質(zhì) 3 ?證 , 21 的解是線性方程組若 bAxxx ??? ??.021 的解是對應(yīng)齊次線性方程組則 ??? Axx ??, 21 bAbA ?? ??則,0)( 2121 ???? ???? AAA有.021 的解是方程組故 ??? Axx ??, 21 的解是方程組若 bAxxx ??? ??167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?性質(zhì) 4 ?證 ,的解是線性方程組若 bAxx ?? ?是線性方程則 ?? ??x,)( bAAA ???? ????有,0 , ?? ?? AbA由設(shè)有是對??x,0 的解應(yīng)齊次線性程組 ?Ax.的解是方程組故 bAxx ??? ??.的解組 bAx ?167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?定理 ?證 由性質(zhì) 1,2,4知 ,0 的解是非齊次線性方程組設(shè) bAxx ?? ?的通解為則線性方程組 bAx ?的一個基組是對應(yīng)的齊次線性方程 0, 21 ?Axs??? ?,02211 ???? ????? sskkkx ?., 21 為任意常數(shù)其中 skkk ?02211 ???? ????? sskkkx ?的解。是線性方程組 bAx ?,的任一解是線性方程組設(shè) bAxx ?? ? 是則 0 ???x,0 的解方程組 ?Ax,礎(chǔ)解系的一個是方程組 0, 21 ?Axs??? ?,基礎(chǔ)解系 使則存在常數(shù) skkk , 21 ?亦稱 結(jié)構(gòu)解 167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ，sskkk ????? ???? ?2211002211 ????? ????? sskkk ?即167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?例 求解方程組 ?解 ??????????????????,132,23 ,0 432143214321xxxxxxxxxxxx??????????????????132112311101111),( bA????????????????????1210024200011113121rrrr?????????????????0000012100110112123212rrrrr?????????????????0000012100110112123212rrrrr167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?原方程組可化為 ?注 通解的表達(dá)式不惟一。用向量表示的通解亦 稱 結(jié)構(gòu)解 . ????????,12 ,1 43421xxxxx，為任意常數(shù)令 ),( , 212412 kkkxkx ??????????????????????????????????221214321121kkkkkxxxx則方程組的通解為?????????????????????????????????????????????01011201001121 kk167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?例 設(shè) ?1, ?2, ?3是 4元線性方程組 Ax=b的解 , 且 ?解 方程組 Ax=0的基礎(chǔ)解系含 4R(A)=1個向量， 由性質(zhì) 1,3知 Ax=0有解向量 )()( 3121 ????? ????,3)( ?AR .的通解求 bAx ?)(2 321 ?? ??????????????????2002 ,4002 ,3002321??????????????????????????????? ???的一個基礎(chǔ)解系，為即 0?Ax?).( 1 為任意常數(shù)的通解為故 kkxbAx ?? ???167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 即 ).( ,30022002為任意常數(shù)kkx??????????????????????????????167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?例 設(shè) 4階方陣 A=(?1,?2,?3,?4), 其中 ?2,?3,?4線 性無關(guān)， ?1=2?24?4，如果 ?=?1+2?2+3?3+4?4， 求線性方程組 Ax=?的通解 . ?解 由 ?2,?3,?4線性無關(guān)， ?1=2?24?4知 R(A)=3, 方程組 Ax=0的基礎(chǔ)解系含 4R(A)=1個向量， 由 ?12?2+4?4=0,得 ,04021),(4321???????????????????? ,04021????????????????A即 ,4021?????????????????令167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 則 ?是方程組 Ax=0的基礎(chǔ)解系， 由 ?=?1+2?2+3?3+4?4，得 則 ?0是方程組 Ax=?的解， 所以 Ax=?的通解為 x=k?+?0, (k為任意常數(shù) ), ,4321),(4321??????????????? ????? ,4321????????????????A即 ,43210????????????????令167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 即 ).( ,43214021為任意常數(shù)kkx???????????????????????????????167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 本節(jié)學(xué)習(xí)要求 ? , ? ,會求線性方程組的結(jié)構(gòu)解；會用線性方程組的解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)定理解決有關(guān) 的問題。 ?作業(yè) ：習(xí)題 (A) 第 1(1), 5, 6題。