【正文】 班某門課程的期中測驗成績如表 8所示。已知該班該門課程平均分數(shù)為 80分。 表 58 女學生組 男學生組 成績（ x） 成績（ x） 68 70 72 76 80 82 85 88 89 90 12 10 8 4 0 2 5 8 9 10 60 62 63 65 76 88 95 96 97 98 20 18 17 15 4 8 15 16 17 18 合計 68 合計 148 xx ? xx? 女學生組： （分） 男學生組： （分） 可見，女學生組成績的平均差為 ，男學生組的平均差是 ，男學生組成績的平均差明顯地大于女學生組，說明女學生組平均成績的代表性要大于男學生組平均成績的代表性。 ????? ? n xxDA ????? ? n xxDA 如果掌握的是分組資料，則可計算加權平均差。其計算公式為： ?? ???ffxxDA 【 例 59】 利用下表某商場食品部職工日銷售額資料 ,計算加權平均差。 按日銷售額分組 （元 /人） 職工人數(shù)（人）f 離差絕對值 離差絕對值加權 2 200 2 600 2 800 3 000 3 200 2 3 4 5 2 600 200 0 200 400 1 200 600 0 1 000 800 合計 16 — 3 600 xx? fxx ? 根據(jù)表中的資料，可得加權算術平均數(shù)為 2 800元 /人，加權平均差為： （元 /人） 計算結果表明，該商場日銷售額的加權平均差為 225元 /人。 2 2 5163 6 0 0 ???????ffxxDA 一般來說，平均差越大，標志變異程度越大，平均數(shù)代表性越?。环粗?，平均數(shù)代表性越大。 平均差考慮了研究總體中所有標志值的差異程度，所以可以準確地綜合反映總體的離散程度。但每項平均差的計算都必須取絕對值，這就帶來了不便于進行數(shù)學處理的問題，因而在實際應用中受用了很大的限制。 (三）標準差 標準差是總體各單位標志值與其算術平均數(shù)離差平方的算術平均數(shù)的平方根。用“ ”來表示。 第一步 ,計算各單位標志值與其算術平均數(shù)的離差； 第二步 ,將各離差進行平方（平方比較符合代數(shù)運算）； 第三步 ,將離差平方和除以離差項數(shù)，計算出方差； 第四步 ,計算方差的平方根，即為標準差。 ? 根據(jù)所掌握資料的不同，標準差可分為簡單標準差和加權標準差。 當掌握的資料是未分組資料時，可采用如下公式計算簡單標準差； ??nxx? ??2? 【 例 510】 已知平均成績?yōu)?80分，以例 58中考試成績?yōu)槔f明簡單標準差的計算。 單位：分 女學生組 男學生組 成績（ x） 成績（ x） 68 70 72 76 80 82 85 88 89 90 144 100 64 16 0 4 25 64 81 100 60 62 63 65 76 88 95 96 97 98 400 324 289 225 16 64 225 256 289 324 合計 598 合計 2 412 ?? xx? 2 ?? xx? 2 根據(jù)上表中的資料，女學生組成績的簡單標準差為： 男生組成績的簡單標準差為： ?? 分）(105982 ???? ? ?nxx??? 分）(1024122 ???? ? ?nxx? 當掌握的資料是分組資料時，可采用如下公式計算加權標準差： ???? ??ffxx2? 【 例 511】 仍以某商場食品部職工日銷售額資料為例，說明加權標準差的計算，見下表： 按日銷售額分組 （元 /人） x 職工人數(shù)（人） f 離差 離差平方 離差平方加權 2 200 2 600 2 800 3 000 3 200 2 3 4 5 2 － 600 － 200 0 200 400 360 000 40 000 0 40 000 160 000 720 000 120 000 0 200 000 320 000 合計 16 — 600 000 1 360 000 xx? ? ?xx? 2 ? ? fxx? 2 根據(jù)上表中的資料，加權算術平均數(shù)為2800元 /人，計算加權標準差為： ?? 人）元 /( 9 1161 3 6 0 0 0 02 ????? ?ffxx? 標準差一方面具有平均差的優(yōu)點，即它將總體中各單位標志值的差異全部包括在內，可以準確地反映總體的離散程度；同時標準差還避免了求平均差時存在的取絕對值的問題，能夠適合于代數(shù)運算等數(shù)學處理。 標準差的數(shù)值受平均指標數(shù)值影響。當總體平均指標數(shù)值比較大時，標準差的數(shù)值就大，反之，標準差的數(shù)值也就小。因此，在比較不同平均水平下的總體變異程度時，還需引入其他變異指標。 （四）變異系數(shù) 變異系數(shù)又稱離散系數(shù)，是指標志變異指標與其算術平均數(shù)之比的百分數(shù)。主要有全距系數(shù)、平均差系數(shù)和標準差系數(shù)等，其中最常用的是標準差系數(shù)。 標準差系數(shù)是標準差與其算術平均數(shù)對比的相對數(shù)。其計算公式如下： %1 0 0?XV σ?＝ 【 例 512】 某班兩組學生英語考試成績見下表： 一組 二組 成績（分） 人數(shù)（人） 成績（分） 人數(shù)（人） 64 70 76 82 88 1 3 5 4 2 70 73 76 79 82 2 4 5 3 1 合計 15 合計 15 試問哪一組學生平均成績的代表性大？為什么？ 通過計算可知 ,一組學生的平均成績是，兩組成績的標準差分別為 和 。根據(jù)標準差系數(shù)公式，得出 %%100%1001 ?????xV??%%100%1002 ?????xV?? 顯然二組的標準差系數(shù)小于一組，即二組成績的變異程度低于一組，所以二組平均成績的代表性高于一組。 標準差系數(shù)的重要特點是，不受計量單位和標志值水平的影響，消除了不同總體之間在計算單位、平均水平方面的不可比性。 練習： 兩個不同的小麥品種，分別在 5塊地上試種，其產量資料見下表。假定生產條件相同，試分析哪一個品種更具有推廣價值。 甲品種 乙品種 種植面積（畝） 產量（千克） 種植面積（畝） 產量（千克） 12 6 9 12 6 7 200 4 440 4 950 8 400 3 120 9 18 12 6 15 6 300 11 700 5 400 4 920 9 000