[理學(xué)]中南大學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件-資料下載頁
2024-10-19 00:36本頁面
【正文】 組代替 . 用上述求導(dǎo)方法求參數(shù)的 MLE有時(shí)行不通，這時(shí)要用極大似然原則來求 . 下面舉例說明如何求極大似然估計(jì) L(p)= f (X1,X2,… Xn。 p ) 例 1 設(shè) X1,X2,… Xn是取自總體 X~B(1, p) 的一個(gè)樣本，求參數(shù) p的極大似然估計(jì) . 解：似然函數(shù)為 : 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為： 對(duì) p求導(dǎo)并令其為 0， =0 得 即為 p 的 MLE . 正態(tài)總體 N(?,?2)兩個(gè)未知參數(shù) ?和 ?2的極大似然估計(jì) .(注 :我們把 ?2看作一個(gè)參數(shù) ) 解 : 例 2 似然方程組為 根據(jù)第一式 ,就得到 : 代入第二式 ,就得到 : 由上 ,似然方程組的解唯一 .下面驗(yàn)證它是極大值點(diǎn) . 是 L(?,?2)的 最大值點(diǎn) . ∴ ?和 ?2的極大似然估計(jì)量是 總體 泊松分布 X ～ P(?). 求 :參數(shù) ?的極大似然估計(jì) . 解 : 例 3 似然方程為 是 logL(?)的 最大值點(diǎn) . ∴ ?的極大似然估計(jì)量是 總體均勻分布 X ～ U(a,b). 求 :兩個(gè)參數(shù) a,b的極大似然估計(jì) 解 : 例 4 似然方程為 顯然，從上式不可能解得 a和 b的極大似然估計(jì)量。 現(xiàn)在，我們從似然函數(shù)的定義來確定 a，b的極大似然估計(jì)量。 為使 L(a,b)達(dá)到最大 ,b－ a應(yīng)該盡量地小 . 但 b又不能小于 max{x1,x2 ,? ,xn}.否則 , L(a,b)=0. 類似地， a不能大過 min{x1,x2,? ,xn}. 因此 ,a和 b的極大似然估計(jì)為 解：似然函數(shù)為 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 例 5設(shè) X1,X2,… Xn是取自總體 X的一個(gè)樣本 求 的極大似然估計(jì) . 其中 0, 似然方程為 解得 的極大似然估計(jì)為 例 6:設(shè)某電子元件的壽命（以小時(shí)計(jì)） T服從雙參數(shù)的指數(shù)分布，其概率密度為 ( ) /1,()0,tce t cft???????? ??? 其 他, ( , 0 )cc?? ?其 中 為未知參數(shù)，從這一批元件中隨機(jī)地抽取 n件進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得它們的失效時(shí)間依次為 求 12 nx x x? ? ?c? 與 的 極 大 似 然 估 計(jì) 量解：先求極大似然函數(shù)如下： 11()121,( , , , , )0,niixcinne x cL x x x?? ????? ?? ?? ??? 其 他111l n l n l nniin c n cL n x n n x??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??22ln ( 1 )L n n x nc? ? ? ??? ? ? ? ??可得， ln 0 ( 2 )Lnc ?? ???1xx? ??由（ 2）知， lnL關(guān)于 c單調(diào)增加，即 12( , , , 。 , )nL x x x c? 關(guān)于 c單調(diào)增加，又因?yàn)? ，所以參數(shù) c的極大似然估計(jì)為 1m i n { }iiinc x x????1cx?另又因（ 1）式，令 ，可得 的極大似然估計(jì)為 ln 0L?? ???
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