[研究生入學(xué)考試]線性代數(shù)第9講-資料下載頁(yè)
2024-10-16 21:37本頁(yè)面
【正文】 (如果存在 )都等于零 , 則矩陣 A的非零子式的最高階數(shù)為 r, 因?yàn)橛伤?r+1階子式都等于零可推出所有更高階的子式都等于零 . 定理 6 秩 (A)=r的充要條件是 A的非零子式的最高階數(shù)為 r. 證 必要性 , 設(shè)秩 (A)=r, 即 A的行秩為 r, 不妨設(shè) A的前 r個(gè)行向量線性無(wú)關(guān) , 把 A的前 r個(gè)行作成的矩陣記作 A1, 則 A1的列秩 =A1的行秩 =r, 不妨再設(shè) A1的前 r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān) . 如此 , 由定理5可知 A的左上角 r階子式為非零子式 . 2021/11/10 35 又因?yàn)?A的任意 r+1個(gè)行向量線性相關(guān) , 因此 , 在 A的任意 r+1個(gè)行中作成的任一個(gè) r+1階子式都是零子式 , 故 A的非零子式的最高階數(shù)為 r. 充分性 , 不妨設(shè) A的左上角 r階子式為非零子式 , 令 A的前 r個(gè)行作成的矩陣為 A1, 由于 A1中前 r個(gè)列作成的 r階子式是非零子式 , 所以 A1的前 r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān) , 但 A1的列秩 =A1的行秩 ?r, 所以 A1的列秩 =r, 從而 A1的行秩 =r, 因此 A的前r個(gè)行向量線性無(wú)關(guān) . 要證秩 (A)=r(即 A的行秩=r), 還需證明 A的其余各行可由 A的前 r行線性表示 . 2021/11/10 36 這里用反證法 , 假設(shè)某行 (不妨假設(shè)第 r+1)行不能用前 r行線性表示 , 于是 A的前 r+1行線性無(wú)關(guān) , 如此 , 由 A的前 r+1行作成的矩陣 A2的秩等于 r+1, 由必要性的證明可知 A2存在 r+1階非零子式 , 這與題設(shè)矛盾 . 故秩 (A)=r. 證畢 . 綜上所述 , 關(guān)于矩陣的秩的基本結(jié)論是 : 矩陣的秩 =矩陣的行秩 =矩陣的列秩 =矩陣的非零子式的最高階數(shù) 。 初等變換不改變矩陣的秩 . 2021/11/10 37 性質(zhì) 1 r(A+B)?r(A)+r(B) 證 設(shè) A,B均是 m?n矩陣 , r(A)=p, r(B)=q, 將 A,B按列分塊為 A=[a1,a2,...,an], B=[b1,b2,...,bn], 于是 A+B=[a1+b1,a2+b2,...,an+bn]. 不妨設(shè) A和 B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組分別為a1,a2,...,ap和 b1,b2,...,bq, 于是 A+B的列向量組可由 a1,a2,...,ap, b1,b2,...,bq線性表示 , 因此 , r(A+B)=A+B的列秩 ?秩 (a1,a2,...,ap, b1,b2,...,bq)?p+q. 2021/11/10 38 性質(zhì) 2 r(AB)?min(r(A),r(B)) 證 設(shè) A,B分別是 m?n, n?s矩陣 , 將 A按列分塊 11 12 121 22 21212[ , , , ]ssnn n nsb b bb b bABb b ba a a????? ??????的列向量組 g1,...,gs可由 A的列向量組a1,...,an線性表示 , 故 r(AB)=AB的列秩?A的列秩 =r(A). 類似地 , 將 B按行分塊可得 r(AB)?r(B). 2021/11/10 39 性質(zhì) 3 設(shè) A是 m?n矩陣 , P,Q分別是 m階 , n階可逆矩陣 , 則 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ). 證 由于可逆陣 P,Q可以表示為若干個(gè)初等陣的乘積 , 而初等變換不改變矩陣的秩 , 故結(jié)論成立 . 2021/11/10 40 例 2 設(shè) A是 m?n矩陣 , mn, 證明 : |ATA|=0. 證 由于 r(A)=r(AT)?min(m,n)n, 根據(jù)性質(zhì) 2, 有 r(ATA)?min(r(AT),r(A))n, 而 ATA是 n階矩陣 , 利用定理 5或定理 6的結(jié)論 , 即得 |ATA|=0. 2021/11/10 41 今天作業(yè) :第 142頁(yè)開(kāi)始 13， 19， 20題
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