用坐標(biāo)法研究仿射變換-資料下載頁
2025-10-07 15:07本頁面
【正文】 f 是 第一類 保距變換 , 則 |A| = 1, 于是 A 有如下形式 : ).(,co ss ins inco s ?????? 20 ???????? ?? A? 若 ? = 0, 則 , 于是 f 的點(diǎn)變換公式 為 A ???????1001 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 ,??? ??? ???21byybxx此時(shí) f 是一個(gè) 平移 , 平移量為 u(b1, b2). ? 如果 0 ? 2?, 則 ,s in)co s(co ss ins inco s 0111 22 ??????? ??????故 f 有 唯一不動(dòng)點(diǎn) M0 (x0, y0). 作 移軸 , 使 新原點(diǎn) 為 M0, 得新直角坐標(biāo)系 I?: [M0。 e1, e2], 則 I 到 I? 的坐 標(biāo)變換公式 為 ,~~???????00yyyxxx 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 設(shè) f 在 I 中的變換公式為 ??????????????????? ??????????21bbyxyx????co ss ins inco s將 I 到 I? 的坐標(biāo)變換公式 代入上式可得 ??????????????? ??????????????????? ?????????????????210000bbyxyxyxyx~~co ss ins inco s~~????因?yàn)?M0 (x0, y0)是 f 的不動(dòng)點(diǎn) , 故 ??????????????????? ????????210000bbyxyx????c o ss ins inc o s 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 將它代到上式中可得到 f 在 I? 中的 變換公式 為 ???????????? ??????????yxyx~~co ss ins inco s~~????因此 f 是繞 M0的 旋轉(zhuǎn) , 轉(zhuǎn)角為 ? . 總結(jié)以上結(jié)果 , 得到 命題 平面上 第一類保距變換 或是 平移 , 或是 旋轉(zhuǎn) . 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 情形 2. 若 f 是 第二類 保距變換 , 則 |A| = ?1, 此時(shí) A 有 兩個(gè)不相等的特征值 , 其乘積為 ?1. 設(shè) ? 是 f 的 特征值 , e 是 f 的相應(yīng)的 特征向量 , 則 f (e) = ?e . 又 f 是 保距變換 , e 和 f (e) 長(zhǎng)度相等 , 于是由 | f (e)| = |?e| = |?| |e| 可得 |?| = 1, 這樣 f 的 特征值 為 1 和 ?1. 取直角坐標(biāo)系 I: [O。 e1, e2], 使 e1為屬于特征值 1 的 特征向量 , 則 f(e1)在 I 中的坐標(biāo)為 (1, 0). 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 于是 f 在 I 中的 變換矩陣 為 , A ???????221201aa再由 A 是 正交矩陣 , 以及 |A| = ?1, 可得 a12 = 0, a22 = ?1. 因此 f 在 I 中的 變換公式 為 ?????????????????????????????211001bbyxyx 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 ? 當(dāng) b1 = 0時(shí) , f 在 I 中的 變換公式 為 ,??? ???? ??2byyxx從而 f 是 關(guān)于直線 的反射 . 22by ?? 當(dāng) b1 ? 0 時(shí) , f 是 關(guān)于直線 的反射 與 平 移量為 b1e1 的 平移 的 復(fù)合 , b1e1 與 反射軸 平行 , 因此 f 是 滑反射 . 22by ?22by ?命題 平面上 第二類保距變換 或是 反射 , 或是 滑反射 . 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 P210. 17. (3) 判斷在 右手直角坐標(biāo)系 中 , 有下面變換公式的保距變換 f 是 什么變換 , 并求出其特征 (旋轉(zhuǎn)中心 , 反射軸線 , 滑反射軸線 和 滑動(dòng)量 等 ): ??????????????2545325354yxyyxx解 : 因?yàn)? 所以 f 是 第二類保距變換 . ,154535354????? 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 它必有特征值 1 和 ?1 , 對(duì)于特征值 1 , 解齊次方程組 (E?A)X = 0 , 得 f 的屬于特征值 1 的特征向量為 k(3, ?1)T, k ? 0. 保持原點(diǎn)不變 , 以 屬于特征值 1 的特征向量 為 新 坐標(biāo)向量 e1 , 建立新的 右手直角坐標(biāo)系 , 則 ,???????????????????????????10310110110321e e 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 于是 舊系到新系 的 坐標(biāo)變換公式 為 ,~~ ??????????????????????????yxyx103101101103由此可解出變換 f 在 新系 中的 變換公式 為 ????????????108104yyxx~~~~ 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 由于新變換公式中常數(shù)項(xiàng) b1 ? 0, 故 f 是 滑反射 . 且其 滑反射軸 為 , 即 10422 ?? by~,104103101 ?? yx也即 x +3y ? 4 = 0 . 其 滑動(dòng)量 為 .),(),( TT e 525610110310411 ????b 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 P207. 習(xí)題 12, 14, 17, 19. 作 業(yè)
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