用坐標(biāo)法研究仿射變換-文庫(kù)吧資料
2024-10-22 15:07本頁(yè)面
【正文】 ), f 有 唯一不動(dòng)點(diǎn) . (2) 為零且方程組無(wú)解 , 此時(shí) f 無(wú)不動(dòng)點(diǎn) . (3) 為零且兩個(gè)一次方程同解 , 此時(shí) f 有無(wú)窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn) . ? 若 f = id, 則 每一點(diǎn)都是不動(dòng)點(diǎn) 。 e1, e2]中 , 仿射變換 f 的 變換矩陣 為 變換矩陣的性質(zhì) 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 ,???????22211211aaaaA則 f(e1) ? f(e2) = (a11e1 + a21e2) ? (a12e1 + a22e2) = (a11a22 ?a12a21) e1 ? e2 = |A| e1 ? e2 , 所以 f 的變積系數(shù) .|||||)()(| A eeefef ????2121?因 |e1 ? e2|, | f(e1) ? f(e2) | 分別是 I 和 f(I) 的兩個(gè)坐標(biāo)向量所夾平行四邊形 ? 和 ? ? 的面積 , 且顯然 ? ? = f(? ), 變換矩陣的性質(zhì) 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 定義 : 平面的 仿射變換 f , 若它在仿射坐標(biāo)系中的變換公式的系數(shù)矩陣 A的行列式 |A| 0, 則稱f 為 第一類的 。 ? 而在 坐標(biāo)變換 公式中 , (x, y), (x?, y?)是 同一個(gè)點(diǎn) (或 向量 ) 在 不同坐標(biāo)系 中的坐標(biāo) . 仿射變換的變換公式 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 4. 對(duì) 仿射向量變換公式 的理解 : (1) 若知道 向量 或它的 像向量 中任一個(gè)坐標(biāo) , 可由公式求出另一個(gè)坐標(biāo) . (2) 若能求出 任意向量 及其 像向量 之間的 關(guān)系表達(dá)式 , 則其 矩陣表達(dá)式中的矩陣 即為 f 的變換矩陣 . 5. 給定 仿射變換 f 在 仿射坐標(biāo)系 I 中的 變換公式 , 若已知某 圖形 ? 或它的 像 f(? )的方程 , 可 利用變換公式 求出 ? 的 像 f(? ) 或 ? 的方程 . 仿射變換的變換公式 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 例 1 已知在仿射坐標(biāo)系 I 中 , 仿射變換 f 的點(diǎn)變 換公式為 ???????????223534yxyyxx直線 l 的方程為 3x + y ? 1 = 0, 求 f(l) 的方程 . 解 : 方法 1. 根據(jù)題設(shè)變換公式反解得 ???????????????23431632yxyyxx代入 l 的方程得 3(?2x? + 3y? ? 16) + (?3x? + 4y? ?23) ?1 = 0. 整理得 9x? ? 13y? + 72 = 0 . 于是 f(l) 的方程為 9x ? 13y + 72 = 0. 仿射變換的變換公式 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 方法 2. (待定系數(shù)法 ) 設(shè) f(l) 的方程為 Ax + By + C = 0, 將題設(shè)變換公式代入得到 l 的方程為 A(4x ? 3y ? 5) + B(3x ? 2y + 2) + C = 0, 它與 3x + y ? 1 = 0 都是 l 的方程 , 于是 .1251 233 34 ? ???????? CBABABA從左式得 A : B = 9 : ?13, 右式得 A : C = 1 : 8. 取 A = 9, B = ?13, C = 72, 得 f(l) 的方程為 9x ? 13y + 72 = 0. 仿射變換的變換公式 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 方法 3. 取 l 上一點(diǎn) P1(0, 1) 和 l 的方向向量 u(1, ?3), 根據(jù)題設(shè)變換公式得 f(P1) 的坐標(biāo)為 (?8, 0), 根據(jù)題設(shè) , 向量變換公式為 ?????????yxyyxx2334得 f(u) 的坐標(biāo)為 (13, 9), 于是 f(l) 的方程為 ,913 8 yx ??即 9x ? 13y + 72 = 0. 仿射變換的變換公式 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 例 2 在仿射坐標(biāo)系 I 中 , 仿射變換 f 把直線 x + y ? 1 = 0 變?yōu)? 2x + y ? 2 = 0, 把直線 x + 2y = 0 變?yōu)? x + y + z = 0, 把點(diǎn) (1, 1) 變?yōu)?(2, 3) , 求 f 在 I 中的 變換公式 . 解 : 方法 1. (待定系數(shù)法 ) 假設(shè)所求變換公式為 .??? ???? ????2222111211byaxaybyaxax因?yàn)? f 把直線 x + y ? 1 = 0 變?yōu)? 2x + y ? 2 = 0, 即 直線 2x + y ? 2 = 0 的原像是 x + y ? 1 = 0, 從而 仿射變換的變換公式 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 2(a11x + a12y + b1) + (a21x + a22y + b2) ? 2 = 0 就是直線 x + y ? 1 = 0, (2a11+a21) : (2a12+a22) : (2b1+b2?2) = 1 : 1 : (?1), 即 2a11 + a21 = 2a12 + a22 2a11 + a21= ?(2b1 + b2 ? 2) 類似地 , 由 f 把直線 x+2y = 0變?yōu)?x+y+1= 0 可得到 (a11+a21) : (a12+a22) : (b1+b2+1) = 1 : 2 : 0, 即 2 (a11 + a21) = a12 + a22 b1 + b2 +1 = 0 于是 ① ② ③ ④ 仿射變換的變換公式 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 再由 f 把點(diǎn) (1, 1) 變?yōu)辄c(diǎn) (2, 3) 得到 a11 + a12 + b1 = 2 a21 + a22 + b2 = 3 從上面這 6個(gè)方程解出 a11= 3, a12 = 1, b1 = ? 2, a21= ?1, a22 = 3, b2 = 1, 于是所求變換公式為 .??? ????? ???? 13 23 yxy yxx⑤ ⑥ 仿射變換的變換公式 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 方法 2. 把點(diǎn) (x, y) 經(jīng)過(guò)變換得到的 像點(diǎn)的坐標(biāo) x?, y? 看作 x, y 的函數(shù) , 用條件來(lái)決定變換公式 . 直線 2x + y ? 2 = 0 的原像是 x + y ? 1 = 0, 從而 2x? + y? ? 2 = 0 (其中 x?, y? 看作 x, y 的函數(shù) ) 與 x + y ? 1 = 0表示同一條直線的方程 , 因此存在數(shù) s, 使得 2x? + y? ? 2 = s (x + y ? 1), 再由 f 把點(diǎn) (1, 1)變?yōu)辄c(diǎn) (2, 3), 用 x = 1, y = 1, x?=2, y?=3 代入 , 求出 s = 5. 仿射變換的變換公式 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 直線 x + y + 1 = 0 的原像是 x + 2y = 0, 因此存在數(shù) t, 使得 x? + y? + 1 = t (x + 2y), 再由 f 把點(diǎn) (1, 1)變?yōu)辄c(diǎn) (2, 3), 用 x = 1,
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