【正文】 P1， 在端點(diǎn)處和 R0、 R1相切 。 Hermite曲線的矢量形式： a Q(t) = [t3 t178。 t 1] b 0≤t≤1 c d 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 79 任意空間曲線可用三次參數(shù)方程表示： 令 T=[t179。 t178。 t 1] C=[a b c d]T Q(t)=TC 參數(shù)形式： x(t)=TCx y(t)=TCy z(t)=TCz 邊界條件： t=0， 過(guò) P0點(diǎn) x(0)=P0x t=1， 過(guò) P1點(diǎn) x(1)=P1x 求導(dǎo)數(shù)： x39。 (t)=[3t178。 2t 1 0] t=0， P0點(diǎn)處的切矢 R0 x39。(0)=R0x t=1， P1點(diǎn)處的切矢 R1 x39。(1)=R1x 代入邊界條件： 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 80 2． 調(diào)和函數(shù) 調(diào)和函數(shù)： Fh(t)=TMh或 稱為 Hermite基函數(shù) 。 各分量為： Q(t)=T MhGh Cx=MhGh 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 81 討論： 1)當(dāng) t=0， Fh1(0)=1， Fh2(0)= Fh3(0)=Fh4(0)=0 t=1， Fh2(1)=1， Fh1(0)= Fh3(0)=Fh4(0)=0 即 :當(dāng)曲線處在參數(shù)邊界時(shí)，僅一個(gè)分量起作用。 2) 調(diào)和函數(shù)僅與參數(shù)值 t有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)。 3) 調(diào)和函數(shù)對(duì)于物體空間的三個(gè)坐標(biāo)值的作用相同。 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 82 3．切線矢量對(duì)曲線形狀的影響 1） 切線方向：當(dāng)其長(zhǎng)度不變時(shí) ， 隨著切線的角度增加 ， 切線的凸包性也增加 。 2） 切線大?。呵€兩端點(diǎn)的切矢為 Q39。(0)和 Q39。(1)， 單位矢量分別為 : 令： ︱ Q39。(0)︱ =k0 , ︱ Q39。(1)︱ =k1 則 :Q39。(0)= R0=k0E0, Q39。(1)=R1=k1E1 改變 k0 k1值 ， 改變切線長(zhǎng)度 ， 切線的凸 包 性也增加 。 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 83 設(shè)有一組離散點(diǎn) Pi(i=1,2， … ， n)， 需構(gòu)造連續(xù) 曲線 。 方法： 分段構(gòu)造 ， 整體連續(xù) 。 據(jù) Hermite曲線的邊界條件 ， 構(gòu)造 n1段曲線 。 曲線連續(xù)：使相鄰兩曲線段連續(xù) 。 條件 : 在連接點(diǎn)處 ， 二階導(dǎo)數(shù)連續(xù) (一階導(dǎo)數(shù)相等 )。 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 84 三次參數(shù)樣條曲線 1． Hermite曲線的二階導(dǎo)數(shù)形式 Fh1=2t33t2+1 F39。h1=6t2 6t Fh1=12t –6 Fh2=2t3 +3t2 F39。h2=6t2 +6t Fh3=12t+6 Fh3=t3 –2t2+t F39。h3=3t2–4t +1 Fh3= 6t–4 Fh4=t3–t2 F39。h4=3t2–2t F h3= 6t–2 Q(t)= Fh1(t)Q(0)+Fh2(t)Q(1)+Fh3(t)R(0)+Fh4(t)R(1) 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 85 討論： t=0 Q(0)=–6Q(0)+6Q(1)–4Q39。(0)–2Q39。(1) t=1 Q(1)=6Q(0)–6Q(1)+2Q39。(0)+4Q39。(1) 聯(lián)立求解： Q39。(0) =–Q(0)+Q(1)–[2 Q(0)+ Q(1)]/6 Q39。(1) =–Q(0)+Q(1)–[Q(0)+ 2Q(1)]/6 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 86 消除 Q39。(0) 和 Q39。(1) ，可得： 2． 連續(xù)的三次參數(shù)樣條函數(shù) 3． 邊界條件： 邊界條件分為自由端 、 夾持端 、 拋物線端和循環(huán)端 。 1） 自由端：根據(jù)力學(xué)條件 ， 兩端點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)為 0。 P1=Pn=0 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 87 起點(diǎn) : P1 =6 P1+6 P2–4P39。1–2P39。2=0 2P39。1+P39。2=3(P2–P1) 終點(diǎn) : Pn =6 Pn1+6 Pn–4P39。n1–2P39。n=0 2P39。n1+P39。n=3(Pn–Pn1) 把方程歸納如下： 2P139。+P239。 =3(P2－ P1) P139。+4P239。+P339。 =3(P3－ P1) P239。+4P339。+P439。 =3(P4－ P2) …………………………… .. Pi39。+4P39。i+1+P39。i+2 =3(Pi+2－ Pi) …………………………… .. P39。n2+4P39。n1+Pn39。 =3(Pn－ Pn2) P39。n1+2Pn39。 =3(Pn－ Pn1) 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 88 自由端三次參數(shù)樣條曲線的矩陣形式： 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 89 2)夾持端：曲線兩端點(diǎn)的切線矢量已知 ， 即： P139。=k1E1， Pn39。= knEn 夾持端三次參數(shù)樣條曲線的矩陣形式： 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 90 對(duì) Pi1Pi 段： (起點(diǎn) ) Pi1 =6 Pi 1+6 Pi –4 P39。i 1 –2P39。i (終點(diǎn) ) Pi =6 Pi 1 –6 Pi +2 P39。i 1 +4 P39。i 對(duì) PiPi+1段： (起點(diǎn) ) Pi =6 Pi+6 Pi+1 –4 P39。i –2P39。i+1 (終點(diǎn) ) Pi +1=6 Pi –6 Pi+1 +2 P39。i +4 P39。i+1 則： Pi39。+4 P39。i+P39。i+1=3(Pi+1 –Pi1 ) 對(duì) n個(gè)離散點(diǎn)可構(gòu)造 n2段曲線段 ， 即 n2個(gè)連續(xù)方程 。 設(shè)有三點(diǎn) Pi Pi、 Pi+1三點(diǎn)構(gòu)造兩段曲線 ， 即 Pi1Pi和 PiPi+1。 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 91 4． 繪制三次參數(shù)樣條曲線的步驟 1） 確定型值點(diǎn) Pi (i=1， 2， ……… ， n)； 2） 根據(jù)環(huán)境和已知條件 ， 確定端點(diǎn)類型 ， 建立線 性方程組； 3） 解方程組 ， 求出各個(gè)節(jié)點(diǎn)的切矢； 4） 根據(jù)弦長(zhǎng)值和曲率值確定每段曲線的插值點(diǎn)數(shù)； 5） 按 Hermite曲線的方程進(jìn)行擬合計(jì)算 。 5． 優(yōu)缺分析 1） 凸包性比較強(qiáng)； 2） 整體連續(xù)性比較好 ， 缺乏靈活性和直觀性； 3） 模型比較復(fù)雜 ， 編程繁瑣； 4） 計(jì)算工作量大 。 內(nèi)容回顧： 作業(yè)： 1. 認(rèn)真閱讀課文內(nèi)容 2. P108 7， 8， 9， 11， 12， 13， 15。 1 二次曲線的參數(shù)擬合法 2 Hermite曲線 3 三次參數(shù)樣條曲線 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 93 謝 謝