【正文】 1 二次曲線的參數(shù)擬合法 2 Hermite曲線 3 三次參數(shù)樣條曲線 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 93 謝 謝 。 5． 優(yōu)缺分析 1） 凸包性比較強(qiáng)； 2） 整體連續(xù)性比較好 ， 缺乏靈活性和直觀性； 3） 模型比較復(fù)雜 ， 編程繁瑣； 4） 計(jì)算工作量大 。 設(shè)有三點(diǎn) Pi Pi、 Pi+1三點(diǎn)構(gòu)造兩段曲線 ， 即 Pi1Pi和 PiPi+1。i+P39。i+1 則： Pi39。i+1 (終點(diǎn) ) Pi +1=6 Pi –6 Pi+1 +2 P39。i 對(duì) PiPi+1段： (起點(diǎn) ) Pi =6 Pi+6 Pi+1 –4 P39。i (終點(diǎn) ) Pi =6 Pi 1 –6 Pi +2 P39。= knEn 夾持端三次參數(shù)樣條曲線的矩陣形式： 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 90 對(duì) Pi1Pi 段： (起點(diǎn) ) Pi1 =6 Pi 1+6 Pi –4 P39。 =3(Pn－ Pn1) 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 88 自由端三次參數(shù)樣條曲線的矩陣形式： 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 89 2)夾持端：曲線兩端點(diǎn)的切線矢量已知 ， 即： P139。 =3(Pn－ Pn2) P39。n2+4P39。i+1+P39。 =3(P4－ P2) …………………………… .. Pi39。+4P339。+P339。 =3(P2－ P1) P139。n=3(Pn–Pn1) 把方程歸納如下： 2P139。n=0 2P39。2=3(P2–P1) 終點(diǎn) : Pn =6 Pn1+6 Pn–4P39。2=0 2P39。 P1=Pn=0 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 87 起點(diǎn) : P1 =6 P1+6 P2–4P39。(1) ，可得： 2． 連續(xù)的三次參數(shù)樣條函數(shù) 3． 邊界條件： 邊界條件分為自由端 、 夾持端 、 拋物線端和循環(huán)端 。(1) =–Q(0)+Q(1)–[Q(0)+ 2Q(1)]/6 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 86 消除 Q39。(1) 聯(lián)立求解： Q39。(1) t=1 Q(1)=6Q(0)–6Q(1)+2Q39。h4=3t2–2t F h3= 6t–2 Q(t)= Fh1(t)Q(0)+Fh2(t)Q(1)+Fh3(t)R(0)+Fh4(t)R(1) 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 85 討論： t=0 Q(0)=–6Q(0)+6Q(1)–4Q39。h2=6t2 +6t Fh3=12t+6 Fh3=t3 –2t2+t F39。 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 84 三次參數(shù)樣條曲線 1． Hermite曲線的二階導(dǎo)數(shù)形式 Fh1=2t33t2+1 F39。 曲線連續(xù)：使相鄰兩曲線段連續(xù) 。 方法： 分段構(gòu)造 ， 整體連續(xù) 。(1)=R1=k1E1 改變 k0 k1值 ， 改變切線長(zhǎng)度 ， 切線的凸 包 性也增加 。(1)︱ =k1 則 :Q39。(1)， 單位矢量分別為 : 令： ︱ Q39。 2） 切線大?。呵€兩端點(diǎn)的切矢為 Q39。 3) 調(diào)和函數(shù)對(duì)于物體空間的三個(gè)坐標(biāo)值的作用相同。Gh 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 81 討論： 1)當(dāng) t=0， Fh1(0)=1， Fh2(0)= Fh3(0)=Fh4(0)=0 t=1， Fh2(1)=1， Fh1(0)= Fh3(0)=Fh4(0)=0 即 :當(dāng)曲線處在參數(shù)邊界時(shí)，僅一個(gè)分量起作用。 MhMh或 稱(chēng)為 Hermite基函數(shù) 。(0)=R0x t=1， P1點(diǎn)處的切矢 R1 x39。 (t)=[3t178。Cy z(t)=TC 參數(shù)形式： x(t)=T t178。 Hermite曲線的矢量形式： a Q(t) = [t3 t178。 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 73 問(wèn)題：如何加上點(diǎn) P[0]和 P[n+1]呢？通常有三種方法： P[0] P[1] P[2] P[n1] P[n] P[n+1] 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 74 (1)已知兩端的切矢 P[1]‘和 P[n]‘. 由前面，我們有 A1=P[1] A2=4*P[2]P[3]3*P[1] A3=2*P[1]+2*P[3]4*P[2] P(t)=A1+A2*t+A3*t*t P()’=A2+A3*2*=P[3]P[1] 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 75 這樣，我們有 P[1]’=P[2]P[0] ? P[0] =P[2] P[1]’ P[1]’=P[2]P[0] ? P[n+1] =P[n1]+P[n]’ (2)自由端點(diǎn) 取 P[0] =P[1]、 P[n+1] =P[n] (3)形成封閉曲線 取 P[n+1] =P[1] ， P[0] =P[n] 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 76 ?拋物線樣條的性質(zhì) 我們可以證明，拋物樣條是一階光滑的。但 n個(gè)點(diǎn)之間應(yīng)當(dāng)有 n1個(gè)曲線段，因?yàn)辄c(diǎn)列的首、尾兩段 P[1]P[2]和 P[n1]P[n]由于缺乏連續(xù)相鄰的四點(diǎn)這樣的條件而無(wú)法產(chǎn)生。 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 69 因此，可以取 T=2*t t1=+t t2=t 于是有 P[i+1](t)=(12*t)*S[i](t+)+2*t*S[i+1](t) (0 ?t?) 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 70 代 S[i](t+)=(2*t*tt)Pi+(14*t*t)P[i+1] +(2*t*t+t)P[i+2] S[i+1](t)=(2*t*t3*t+1)P[i+1]+(4*t4*t*t)P[i+2] +(2*t*tt)P[i+3] 入上式有 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 71 P[i+1](t)=(4*t*t*t+4*t*tt)*P[i] +(12*t*t*t10*t*t+1)P[i+1] +(12*t*t*t+8*t*t+t)*P[i+2]+(4*t*t*t2*t*t)P[i+3] 上式的實(shí)質(zhì)是：每相鄰的四個(gè)點(diǎn)可以決定中間一段拋物線樣條曲線。 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 66 ?在這 n2條拋物線中，第 i條拋物線的方程為： S[i](t1)=(2*t1*t13*t1+1)Pi+(4*t14*t1*t1)P[i+1] +(2*t*tt)P[i+2] (0 ?1 t?1) 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 67 ?第 i+1條拋物線的方程為： S[i+1](t2)=(2*t2*t23*t2+1)P[i+1]+(4*t24*t2*t2)P[i+2]+(2*t2*t2t2)P[i+3] (0 ? t2?1) ?一般來(lái)講，在 P[i+1]和 P[i+2]之間的曲線是由S[i]和 S[i+1]兩部分構(gòu)成的，他們不可能自動(dòng)重合，為了使得這段曲線合為同一曲線，我們需要將其進(jìn)行加權(quán)合成： 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 68 P[i+1](t)=f(T)*S[i](t1)+g(T)*S[i+1](t2) 其中權(quán)函數(shù)一般應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足： f(0)=1,f(1)=0,g(0)=0,g(1)=1 0 ?f(T)?1, 0 ?g(T)?1. 根據(jù)仔細(xì)的研究，人們發(fā)現(xiàn)最簡(jiǎn)單的權(quán)函數(shù)f(T)=1T,g(T)=T能夠滿(mǎn)足我們的需要。 擬合 曲線 擬合曲線通常采用二次或三次參數(shù)曲線的形式，我們主要介紹三次擬合曲線。+(－ 3P0－ P2+4Pm)t+