[工學(xué)]第六章代數(shù)系統(tǒng)(參考版)
2025-01-22 12:14本頁面
【正文】 這個代數(shù)被稱為開關(guān)代數(shù)。,0n,1n是布爾代數(shù)。 ?典型代數(shù)系統(tǒng) 定義 : 令 Bn={0,1}n,對任意 a=a1,a2,? ,an, b=b1,b2,? ,bn∈ Bn定義 1 1 2 21 1 2 212, , , , , , ,nnnnna b a b a b a ba b a b a b a ba a a a? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?這里 ∧ , ∨ 和 ┐是 {0,1}上的邏輯運(yùn)算。 例： 用 S表示含有 n個原子的合式公式的集合，代數(shù)系統(tǒng) S, ∧ , ∨ , ┐,F,T是布爾代數(shù)，稱為命題代數(shù)。 ρ(S)中的偏序關(guān)系是 ? 。 典型代數(shù)系統(tǒng) 例：設(shè) S是非空集合，不難證明 ρ(S), ? , ? ,~,Φ,S 是布爾代數(shù)，稱為集合代數(shù)。 例：設(shè) B={0， 1}， B上的運(yùn)算 *， ⊕ 和 ?如下表定義： B,*,⊕ , 39。其中 B,*,⊕ 是格 ,39。 一般用 B,*,⊕ , 39。 ba c01 a b c10均不是分配格 典型代數(shù)系統(tǒng) ? 一個格是分配格，當(dāng)且僅當(dāng)它沒有子格同構(gòu)于這兩個五元素格之一。 典型代數(shù)系統(tǒng) 定義： 設(shè) L,*,⊕ 是一個格，如果 *對 ⊕ 是可分配的，并且 ⊕ 對 *也是可分配的，則稱 L,*,⊕ 是 分配格 。 典型代數(shù)系統(tǒng) bc a01在左圖的格中， a和 b均為 c的補(bǔ)元， a和 b的補(bǔ)元均為 c。 補(bǔ)元的定義是相互的。對于任意的 a∈ L,a≤1且 0≤a，因此有 1 10 * , 1nniii iaa? ?? ? ?0 , 11 1 , 0 0a a a aaa? ? ? ?? ? ? ?典型代數(shù)系統(tǒng) 設(shè)是 L,*,⊕ ,0,1有界格， a,b∈ L，如果 a*b=0且a⊕ b=1，則稱 b為 a的補(bǔ)元，記為 b=a39。通常把有界格的最大元素和最小元素分別記為 1和 0，并稱它們?yōu)楦竦慕纭? *和 ⊕ 的基本性質(zhì)： 等冪律 ,a a a a a a? ? ? ?交換律 ,a b b a a b b a? ? ? ? ? ?結(jié)合律 ( ) ( ) a b c a b c? ? ? ? ?( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ?吸收律 ( ) , ( )a a b a a a b a? ? ? ? ? ?典型代數(shù)系統(tǒng) 設(shè) L,*,⊕ 是格，則在格中每對元素都有上、下確界，設(shè) S={a1,a2,? ,an}是 L的有限子集，則 S應(yīng)有上確界和下確界。 典型代數(shù)系統(tǒng) 例：設(shè) D是 I+上的整除關(guān)系，亦即，對任意的 a,b∈ I+，aDb，當(dāng)且僅當(dāng) a整除 b。但是，不是所有的偏序結(jié)構(gòu)都是格。于是代數(shù)系統(tǒng) L,*,⊕ 是一個格。用 a⊕ b表示 {a,b}的上確界，記a⊕ b=sup{a,b}，稱為 a和 b的和，因?yàn)槠蚣偷娜魏畏强兆蛹纳?、下確界若存在，必唯一。 定義：設(shè) L,≤是偏序集，對于任意的 a,b∈ L，{a,b}均有上確界和下確界，則稱 L,≤ 為格。 這種抽象的代數(shù)系統(tǒng)就是由布爾（ Boole）于 1854年建立的布爾代數(shù)。 例如， A={1,2,3}，由 A到 A的所有雙射函數(shù)為3!=6個，它們是 123456{ 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 }{ 1 , 1 , 2 , 3 , 3 , 2 }{ 1 , 3 , 2 , 2 , 3 , 1 }{ 1 , 2 , 2 , 1 , 3 , 3 }{ 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 1 }{ 1 , 3 , 2 , 1 , 3 , 2 }ffffff? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?典型代數(shù)系統(tǒng) ?在 PA上的運(yùn)算表如下： 可以看出 f1是幺元， f2的逆元是 f2， f3的逆元是f3， f4的逆元是 f4， f5的逆元是 f6， f6的逆元是 f5，并且 {f1,f2}, ?， {f1,f3}, ?， {f1,f4}, ? 和 {f1,f5,f6}, ?都是 PA, ?的子群，所以它們都是變換群。 ,??? ?典型代數(shù)系統(tǒng) 例： 如果獨(dú)異點(diǎn) G,?的每個元素關(guān)于 ?都是可逆的，則稱 G,?為群。 例： N,+,0,N,?,1,I,+,0,R,?,1,Nn,?n,1 都是獨(dú)異點(diǎn)，其中 n為正整數(shù)。 1,G? ?? 2,G? ?? 1 1 2{ , }G a a?? 求積代數(shù) 12 ,GG? ? ??商代數(shù)和積代數(shù) 解： 1 2 1 2 1 2 31 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3{ , } { , , }{ , , , , , , , , , , , }G G a a b b ba b a b a b a b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?對任意的 ， ,ijab?? 12,ija b G G??? ? ? ?, , * ,i j i j i i j ja b a b a a b b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?第六章 代數(shù)系統(tǒng) ? ? ? ? ? 定義：設(shè) S,*是一個代數(shù)系統(tǒng)， *是 S上的二元運(yùn)算；若 *是可結(jié)合的，則 S,*稱為一個 半群 。其中對每個 及對應(yīng)的 ，定義 如下： ，對任意 ，令 稱 為積代數(shù) 的因子代數(shù)。 11,G? ? ? 22,G? ? ?1 /,f RfGR? ? ? 22,G? ? ?由已知的代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)造新代數(shù)系統(tǒng)的另一種方法是將同型的代數(shù)系統(tǒng)通過“直接積”來構(gòu)造積代數(shù)。 1[]y f G? 1xG? ()f x y?( [ ] ) ( )Rfx f x y? ?? ?商代數(shù)和積代數(shù) 任取 ，若 ，即f(x1)=f(x2)，則 ，故 ，表明 是單射。 1[ ] / , ( [ ] ) ( )R f f R fx G R x f x???令 ?1,x y G? [ ] [ ]Rf Rfxy? fxR y( ) ( )f x f y? ?對任意的 ，存在 使 ，則 。 11,G? ? ? 22,G? ? ? ?11,G ? 11,G? ? ? 1 /,f RfGR? ? ?1 /,f RfGR? ? ? 12[ ] ,fG? ? ?? gf? ?證： 定義函數(shù) 如下： 11: / [ ]fG R f G? ?對任意 ，需要證明 是良定的。由此可見，同態(tài)與同余之間有著密切的聯(lián)系。 ,G? ?? /, RGR? ? ?又因?yàn)閷θ我? ，總有 ，使g(x)=[x]R=[y]R，所以 g是滿射。 ,G? ??:/g G G R? ,G? ?? /, RGR? ? ?證：顯然， 和 是同型的。 /, RGR? ? ?RR? ?? ? ? ? ?12( , , . )RnRR Rx x x ?? ??? ??
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