【正文】 nFBACK 線性空間上的函數(shù) ? 線性函數(shù) 。 特別地，每一個(gè)數(shù)域 F上 n 維線性空間都與n 元數(shù)組所成的空間 同構(gòu)，而同構(gòu)的空間有相同的性質(zhì)。 ? 既然數(shù)域 F上任意一個(gè) n維線性空間都與Fn同構(gòu)，由同構(gòu)的對(duì)稱性與傳遞性即得，數(shù)域 F上任意兩個(gè) n維線性空間都同構(gòu)。 ? 顯然 是 11的映上的。39。()39。39。39。()39。()39。V39。,??39。 令 是 中任意兩個(gè)向量，于是 ?1??1??39。 ? 設(shè) 是線性空間 V到 的同構(gòu)映射，顯然逆映射 是 到 V 的一個(gè) 11的映上的映射。 因?yàn)橛? ).()(,0)0( aa ??? ????).()()()( 22112211rrrrakakakakakak?????????????raaa , 21 ?)(,),(),( 21 raaa ??? ?02211 ???? rr akakak ? 可得 反過來，由 有 因?yàn)? 是 11的，只有 ，所以 由同構(gòu)映射的性質(zhì)可以推知， 同構(gòu)的線性空間有相同的維數(shù) 。 nFnF 同構(gòu)映射具有下列基本性質(zhì)： ? 1. 在定義 20的 2)中分別取 k=0,1即得。V? 前面的討論說明在 n維線性空間 V中取定一組基后，向量與它的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)就是 V到 的一個(gè)同構(gòu)映射。()()()1???????????kk ?????39。這樣的映射 稱為 同構(gòu)映射 。這個(gè)對(duì)應(yīng)的重要性表現(xiàn)在它與運(yùn)算的關(guān)系上。因此，向量與它的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)實(shí)質(zhì)上就是 V 到 的一個(gè)映射。(1 aaaa ??? ?? 當(dāng)39。 39。 11對(duì)應(yīng) 對(duì)于 M到 N 的 11 對(duì)應(yīng) 我們定義它的逆映射 ，記為 。 ? mnMmn ?? ,mn 22 ? )()( mn ?? ?? 11的映上的映射稱為 11對(duì)應(yīng) 。 21 aa ? )()( 21 aa ?? ??? 如例 1中 當(dāng) 時(shí) 有 所以 是 11的。而例 3中的映射當(dāng) 時(shí)則不是映上的。顯然 .),)(()()( Maaa ?? 對(duì)每個(gè)??????))).((()))((())(())),((())()(()()(aaaaaa???????????????????????)(M???()MN? ? 滿射（映上的） 如果 ，映射 就稱為 映上的 。設(shè) 分別是集合 M到 N， N到 P， P到 H 的映射，映射乘法的結(jié)合律就是 ?.11 39。設(shè) 分別是集合 M到 N， N 到 P的映射，乘積 定義為 ??,??,)),(())(( Maaa ?? ????是 M 到 P 的一個(gè)映射 ??例如，上面例 2與例 3中映射的乘積 就把每個(gè) n級(jí)矩陣 A映到數(shù)量矩陣 |A|E， 它是全體 n級(jí)矩陣的集合到自身的一個(gè)映射。))(( xfxf ??.,)( 0 Maaa ????0a 即 把每個(gè)元素都映到它自身，稱為集合 M的恒等映射或單位映射，記為 1M. 在不致引起混淆時(shí)，也可以簡(jiǎn)單地記為 1. 例 7 任意一個(gè)定義在全體實(shí)數(shù)上的函數(shù) y=f(x) 都是實(shí)數(shù)集合到自身的映射，因此，函數(shù)可以認(rèn)為是映射的一個(gè)特殊情形。 例 5 設(shè) M, N是兩個(gè)非空集合， a0是 N中一個(gè)固定的元素，定義 即 把 M 的每個(gè)元素都映到 , 這是 M 到 N 的一個(gè)映射。 例 3 M 是數(shù)域 F 上全體 n 級(jí)矩陣的集合，定義 .,2)( Mnnn ???.|,|)(1 MAAA ???2 ( ) , .a aE a F? ?? E是 n級(jí)單位矩陣，這是 F到 M的一個(gè)映射。a 例 1 M是全體整數(shù)的集合， P是全體偶數(shù)的集合，定義 這是 M到 P 的一個(gè)映射。 ?a ?39。a映射 a ? 稱為 在映射 下的 象 ， ? 而 稱為 在映射 下的一個(gè) 原象 。aN?Ma?( ) 39。 4 映射 線性空間的同構(gòu) 同構(gòu)的定義 同構(gòu)的性質(zhì) 同構(gòu)的運(yùn)算 同構(gòu)的條件 映射 ? 映射的定義 ? 特殊的映射 ? 一一對(duì)應(yīng) ? 逆映射 ? 映射的乘法 映射 a 設(shè) M 與 N 是兩個(gè)集合，所謂集合 M 到集 合 N 的一個(gè) 映射 就是指一個(gè)法則，它使 M 中 每一個(gè)元素 都有 N 中一個(gè)確定的元素 與 之對(duì)應(yīng)。 1） 是直和； 2）零向量的表示法唯一； 3） ； 4） 這個(gè)定理的證明和 s=2的情形基本一樣。 令 W即滿足要求。所以維 也就是 維 (W)=維 (V1)+維 (V2) 。任取向量 于是零向量可以表成 因?yàn)槭侵焙停? 。假設(shè)有等式 那么 由假設(shè) 這就證明了 V1+V2是直和。由定理的條件，應(yīng)有 這就是說，向量 的分解式是唯一的。下面來證這個(gè)條件的充分性。 i?12VV? 證明 定理的條件實(shí)際上就是：零向量的分解式是唯一的。 21 VV ?12( V V ) n ,??維21 VV ?21 VV ?BACK 兩個(gè)子空間的直和 子空間的直和的定義 直和的充要條件 直和補(bǔ)的存在性 子空間直和的定義 ? 子空間的直和是子空間的和的一個(gè)重要的特殊情形。 ? 一般地我們有 ? 推論 如果 n維線性空間 V中兩個(gè)子空間V1 ,V2的維數(shù)之和大于 n,那么 V1 ,V2必含有非零的公共向量。1V??2V?? 21 VV ??? ?m??? , 21 ?,2211 mmlll ???? ???? ?.0221111 ?????? ?? mnmnmm qqll ???? ??mnm ?2, 121 ????? ??mll ?? ?1 ,011 ??? ? mnqq ? 0?? 從而有 由于 線性無關(guān)，又得 這就證明了 線性無關(guān)，因而它是 V1 +V2的一組基，故維數(shù)公式成立 . .0111 ?????? ? mnm ppkk ??mnm ?1, 11 ???? ??0111111 ??????? ?? mnmnmm ppkk ????? ??mnmnm ?? 21 , 111 ?????? ??? ? 從維數(shù)公式可以看到，和的維數(shù)往往要比維數(shù)的和來得小，例如，在三維幾何空間中，兩張通過原點(diǎn)的不同的平面之和是整個(gè)三維空間，而其維數(shù)之和卻等于 4。設(shè) )1(, 21 1121 mnmnm ?? ??????? ???).,(),(2112121211mnmmnmLVLV??????????????????).,( 21 112121 mnmnmLVV ???? ??????? ???.02211111111?????????????mnmnmnmnmmqqppkk?????????? 令 ? 由第一個(gè)等式 ，而由第二個(gè)等式看出 于是 ，即 可以被 線性表示。這樣， V1 +V2的維數(shù)就等于 n1+n2m,因而維數(shù)公式成立。 ?????????????????????????.0,0,0,03211121211132111312111ntnttnnnsnssnnxbxbxbxbxbxbxaxaxaxaxaxa????????????????????????????則 的解空間。 例 12 在三維幾何空間中，用 V1表示一條通過原點(diǎn)的直線， V2表示一張通過原點(diǎn)而且與 V1垂直的平面，那么， V1與 V2的交是{0}，而 V1與 V2的和是整個(gè)區(qū)間。）（（交換律），)(( 3213211221VVVVVVVVVV????????2VW ? 。 21 VV ?, 21 VV ????.,221121221121VVVV??????????????????).()( 2211 ?????? ?????., 222111 VV ???? ????.21 VV ??? ??.2121 VVkkk ???? ???21 VV ?? 子空間的和適合下列運(yùn)算規(guī)律： ? 我們定義多個(gè)子空間的和 ? 它是由所有表示成 的向量組成的子空間。 1221 VVVV ?? ?)()( 321321 VVVVVV ???? ?,121 isisVVVV?? ?????子空間的和 ? 子空間的和 ? 如何求 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )stL a L? ? ? ? ??子空間的和 定義 11 設(shè) 是線性空間 V 的子空 間 ,所謂 與 的和 ,是指由所有能表 示成 ，而 的向量 組成的子集合，記作 12,VV21 ?? ? ,11 V?? 22 V??.21 VV ?1V 2V定理 7 如果 是 V子空間 , 那么它們的和 也是 V的子空間 21 VV ?12,VV 子空間的和 證明 首先， 顯然是非空的。 21 0,0 VV ?? 210 VV ??21 VV ?21 VV ? 21, VV ????1, V??? 2, V??? ,1V?? ??2V?? ?? .21 VV ??? ??21 VV ?1 2 1 2( , , , ) ( , , , )stL a L? ? ? ? ?求 P344 習(xí)題 8 復(fù)習(xí)題 A組 習(xí)題 8 復(fù)習(xí)題 B組 習(xí)題 1 由集合的交的定義可以看出，子空間的交適合下列運(yùn)算規(guī)律： (交換律 ), (結(jié)合律 )。對(duì)數(shù)量乘積 可以同樣地證明。 證明 首先，由 ，可知 ， 因而 是非空的。根據(jù)歸納法原理，定理得證。 由定理 4,子空間 是 m+1維的?，F(xiàn)在假定 nm=k時(shí)