【正文】 P0 2 –4 2 P0 = [t178。 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 62 6．參數(shù)拋物曲線的矩陣形式 若給定點(diǎn) P0、 P2和 Pm(t=1/2) 有： （ Q(t)=at178。 若令 u=2adt178。 5．繪制拋物參數(shù)線 i=1,2,……… ,N 2） 遞推方法 假設(shè) t在 0到 1閉區(qū)間中 ， 步長相等 ， 即： dt=ti+1－ ti=ti－ ti1=…… 當(dāng) t= ti時(shí) ， 拋物線上對(duì)應(yīng)于一個(gè)型值點(diǎn) Pi： Pi =ati178。dt， dt為相應(yīng)的步長 為確保 t∈ [0,1]， 令 dt=1/N。+bxti+cx yi=ayti178。(0)= b bx= x2－ x1 by=y2－ y1 t=1時(shí) ， Q39。+byt+cy 已知 P0(x0， y0)， P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，計(jì)算如下 ： 1） 對(duì)位置矢量： t=0時(shí) ， Q(0)=c x0=cx， y0=cy t=1時(shí) ， Q(1)= a+b+c x2=ax+bx+cx， y2=ay+by+cy 2） 對(duì)切線矢量： 對(duì) Q(t)求導(dǎo)： Q39。+bt+c 0≤t≤1 參數(shù)形式 : x(t)=axt178。 解以上方程，得： A1=P1。 t=1: P(1)=A1+A2+A3=P3。這三個(gè)條件是： 當(dāng) t=0時(shí)，曲線過 P1點(diǎn)； 當(dāng) t=1時(shí)，曲線過 P3點(diǎn)； 當(dāng) t=，曲線過 P2點(diǎn)。 a、 b、 c系數(shù)向量值 Q(t)=f(P0， P1， P2) 2. 二次曲線的一般參數(shù)方程 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 54 拋物線參數(shù)樣條曲線 拋物線樣條的由來 最主要的由來是由于二次曲線是曲線中最簡單的，用它來擬合一般型值點(diǎn)比較方便。 t∈ [0,1] 擬合條件：給定三個(gè)位置矢量 P0、 P1和 P2， 構(gòu)造一條 曲線段 。 其中 a、 b、 c為常數(shù)向量， e e2為常數(shù) 圓錐曲線形式：判別式 d=e1178。 由于圖形輸出設(shè)備的基本動(dòng)作是顯示像素點(diǎn)或者是畫以步長為單位的直線段，所以，一般除了水平線和垂直線以外，其它的各種線條，包括直線和曲線，都是有很多的短直線段構(gòu)成的鋸齒形線條組成的。繪出的曲線的精確程度，則取決于所選擇的數(shù)據(jù)點(diǎn)的精度和數(shù)量，坐標(biāo)點(diǎn)的精度高，點(diǎn)的數(shù)量取得多，則連成的曲線愈接近于理想曲線。但對(duì)于非圓曲線，繪制時(shí)的更一般方法是借助于曲線板。 在繪制這些曲線的時(shí)候，可以借助于各種標(biāo)準(zhǔn)工具。假定用 t表示參數(shù)，平面曲線上任一點(diǎn) P可表示為： ?空間曲線上任一三維點(diǎn) P可表示為： ? ?)(),()( tytxtP ?? ?)(),(),()( tztytxtP ?2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 51 常見二次曲線的繪制 (1)曲線的方程取參數(shù)方程。這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為“型值點(diǎn)”。如圓、橢圓、雙曲線、圓柱、圓球等。也就是說 連續(xù)的條件比 連續(xù)的條件要苛刻。QPPP ???)1()1()0( 39。339。 339。 ?? ?? PQ1G 1C2G1G2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 41 這個(gè)關(guān)系可寫為： 為任意常數(shù)。 )()( 0)1()1(1 ??? iiii tptp2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 40 ?若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)或 連續(xù)，即兩曲線在結(jié)合處位置連續(xù)： ?若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)，就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足 連續(xù)的條件下，并有公共的切矢 當(dāng) a＝ 1時(shí)， 連續(xù)就成為 連續(xù) ?若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù) ， 就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足 連續(xù)的條件下 ， 并有公共的曲率矢： 0G 0C)0()1( QP ?1G0G)0()1()0( 39。 nCnCnG2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 35 ?反例： ? ???????????????????21,3)(213 10,3)(01010010tVVtVVVttVVVt? ?0131)1( VV ??? ? ? ? ?0132)1( VV ??? ? ?2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 36 0階參數(shù)連續(xù)性 ， 記作 C0連續(xù)性 ， 是指曲線的幾何位置連接 ， 即 )()( 0)1()1(1 ??? iiii tptp2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 37 1階參數(shù)連續(xù)性 記作 C1連續(xù)性 ， 指代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)： )()()()(0)1()1(10)1()1(1????????iiiiiiiitptptptp且2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 38 2階參數(shù)連續(xù)性 ， 記作 C2連續(xù)性 ， 指兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù) 。tP0Fto11to111Fto11to110G1G圖3 .1 . 6 三次調(diào)和函數(shù)Ferguson曲線端點(diǎn)位矢和切矢 三次調(diào)和函數(shù) 2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 34 連續(xù)性 ?曲線間連接的光滑度的度量有兩種： ?函數(shù)的可微性：組合參數(shù)曲線在連接處具有直到 n階連續(xù)導(dǎo)矢，即 n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為 或 n階參數(shù)連續(xù)性。0P1P39。1139。023123023????????????tPttPtttPttPtttP2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 32 ?令： 可將其簡化為： 上式是 三次 Hermite(Ferguson)曲線的 幾何形式 ，幾何系數(shù) 是 P0、 P P?0和 P?1。010022233PPPPaPPPPaPaPa]1,0[)()2()32()132()(39。1039。 ? 將 P(0)、 P(1)、 P?(0)和 P?(1)簡記為 P0、 P P?0和 P?1，代入 得 ]1,0[)( 012233 ????? tatatatatP???????????????????39。 ????????????? niPKtttiiii ,2,1,0110????????????????????????iiiiiiiii PPPPPPK11212231 ??0,2,m i n 111 ?????????? ?????? niiii PPPPP???2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 29 ?參數(shù)區(qū)間的規(guī)格化 我們通常將參數(shù)區(qū)間 規(guī)格化為 [0, 1]， ， 只需對(duì)參數(shù)化區(qū)間作如下處理： ][ ,0 nttnittttnii ,1,0,00 ??????]1,0[][ ,0 ?ntt2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 30 參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 我們以三次參數(shù)曲線為例，討論參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式。 niPtttiii ,2,1,021110??????????2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 28 ?修正弦長參數(shù)化法 弦長修正系數(shù) Ki=1。 ii tt ??1????????????? niPtttiii ,2,1,0110 iii PPP ??? ? 12021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 27 ?向心參數(shù)化法 向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲線切矢從該弧段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比 ，加上一些簡化假設(shè) ， 得到向心參數(shù)化法 。 nPPP , 10 ?],[ 0 nttt ?2021/11/10 蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 26