16711波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋16712schr246dinger方程16713量子態(tài)疊-資料下載頁(yè)
2024-09-29 19:22本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】§波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋。§量子態(tài)疊加原理。仔細(xì)分析了光的微粒說(shuō)與波動(dòng)說(shuō)的發(fā)展史；這就稱為de.Broglie關(guān)系。如對(duì)氧分子，室溫下可得λ~，遠(yuǎn)小于分子的自由程，因此分子的熱運(yùn)動(dòng)可作經(jīng)典力學(xué)處理。膜后射到照相底片上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，與X射線通過(guò)金箔時(shí)一樣，1961年，約恩孫制成長(zhǎng)為50mm，寬為，用50V的加速電壓加速電子，使電。子束分別通過(guò)單縫、雙縫等，均得到衍射圖樣。60個(gè)碳原子所組成。對(duì)稱性最高的球狀分子。迄今為止實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到其波動(dòng)性的質(zhì)量。地證實(shí)了電子的波動(dòng)性。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無(wú)關(guān)。與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。波由粒子組成的看法夸大了粒子性。的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。電子究竟是什么東西呢？
【正文】 定諤方程。 E 稱為能量本征值， ΨE(r)稱為對(duì)應(yīng) 本征值 E的本征函數(shù)，上式也稱 能量本征方程，也稱不含時(shí) 薛定諤方程 )30( ),( EEEE ?? ? δψψ)31( ),(?),(i trHtrt ??? ψψ ???)32( ? ψψ EH ?)33( )(2? 22rVmH ?? ????薛定諤方程的一般形式 H 是體系的 哈密頓 (Hamilton)算符 ，若 H中不顯含時(shí)間，則可用分離 變量法將 (31)化成不含時(shí)的薛定諤方程 能量本征方程 不同體系的哈密頓算符不同，對(duì)單粒子有 不同能量本征值對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)彼此正交，即 定態(tài)與非定態(tài) )34( )(),( /i ??? EtE ertr ?? ψψ定態(tài) ：形如 定態(tài)的性質(zhì) (b) 粒子在空間的概率密度及概率流密度不隨時(shí)間改變。 )()()( ])([])([),(),(),( /i/irrrerertrtrtrnnntEntEnnnnnn???????? ???????????????????(c) 任何力學(xué)量（不顯含時(shí)間）的平均值不隨時(shí)間改變。 ?? ?? ?? rrArrtrAtrA EE 33 d)(?)(d),(?),( ???? ψψψψ的波函數(shù)所描述的狀態(tài) 。 (a) 粒子的能量一定。 (d）任何（不顯含 t的）力學(xué)量的測(cè)值概率分布不隨時(shí)間 改變。 )35( )()0,( rCr EEE?? ψψ ?? )36( )0,(d 3 rrC EE?ψψ? ??若 t =0時(shí)刻體系處于非定態(tài) 則任意時(shí)刻 t體系的狀態(tài)為 )37( )(),( /i ??? EtEEE erCtr??? ψψ),(?)(? )(?)(),(i/i/i/itrHerCHerHCEerCtrtEEtEEEEtEEEEtEE?????????ψψψψψ????????????可證明其滿足 Schr246。dinger 方程 非定態(tài)： 由若干個(gè)能量不同的本征態(tài)疊加所形成的態(tài)稱為 非定態(tài) ??? ????????????????EEEEEEEEEEEEEEECECCtrHtrrCCtrHtrrH2,33 ),(?),(d ),(?),(d?????????在態(tài) (37)下粒子能量平均值是 2EC 表示在態(tài) (37)下測(cè)得粒子的能量為 E值的概率。 多粒子體系的薛定諤方程 )39( ),(),()(2),(i 111221 trrrrVrUmtrrt NNiNiiiiN???????????? ψψ???????? ????????? ?????? ??2222222iiii zyx ??????????)40( ),(),(),()(2 111122NNNiNiiiirrErrrrVrUm ??????????? ψψ ????????? ????????? ?????多粒子體系的薛定諤方程 多粒子體系的定態(tài)薛定諤方程 其中 如對(duì)于有 Z個(gè)電子的原子，原子間的 Coulomb作用為 ?? ??Zji jiN rrerrV????? 21 ),(iii rZerU 2)( ???167。 量子態(tài)疊加原理 量子態(tài)及其表象 ???????peprrerprprp3/i2/33/i2/3d)()2(1)(d)()2(1)(????????????φπψψπφ量子態(tài)：若給定描述粒子的波函數(shù) Ψ( r )， 若測(cè)量其位置 ，則粒子出現(xiàn)在 r處的概率密度為 2)(r?ψ若測(cè)量其動(dòng)量 ，則測(cè)得粒子的動(dòng)量為 p的概率密度為 2)( p?φ其中 同樣可求得測(cè)量其它力學(xué)量的概率分布 波函數(shù) Ψ( r )完全描述了一個(gè)三維空間中粒子的狀態(tài) (量子態(tài) ) 表象： 量子力學(xué)中的表象最早由 Dirac 引入，用來(lái)描述不同 “坐標(biāo)系”下微觀粒子體系的狀態(tài)和力學(xué)量的具體表示形式。 系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)可以看成抽象空間 (Hilbert空間 )的一個(gè)態(tài) 矢量，力學(xué)量的本征函數(shù)為該空間的一組基矢，任一態(tài)矢量 可用這組基矢展開(kāi)。每選擇一組展開(kāi)基矢，態(tài)空間便有了一 種描述方式，就說(shuō)成是選擇了一組表象。同時(shí)，將某一矢量 向該組基矢投影，便意味著進(jìn)入了相應(yīng)的 (由該組基矢所代表 的 )表象。 如坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象 練習(xí) 1 在平面單色波 ??/i 00 21)( xpp ex πψ ?所描述的狀態(tài)下，粒子具有確定的動(dòng)量 p0，稱為 動(dòng)量本征態(tài) ， 動(dòng)量的本征值 是 p0，試在動(dòng)量表象中寫(xiě)出此量子態(tài)。 答： )()(00 pppp ?? δφ練習(xí) 2 )()(00 xxxx ?? δψ描述的是粒子具有確定位置的量子態(tài)， 稱為 位置本征態(tài) ，本征值是 x0，試在動(dòng)量表象中寫(xiě)出此量子態(tài)。 ??/i 00 21)( pxx ep??πφ 量子態(tài)疊加原理，測(cè)量與波函數(shù)塌縮 2211 ψψψ cc ??經(jīng)典波的疊加原理： 幾列波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，它們的傳播特性 （波長(zhǎng)、頻率、波速、波形）不會(huì)因其它波的存在而發(fā)生變化。 在相遇區(qū)域，合振動(dòng)是分振動(dòng)的疊加。 量子態(tài)的疊加原理 （量子力學(xué)的基本假設(shè)之一）： 設(shè)體系處于 Ψ1態(tài)，測(cè)量力學(xué)量 A所得結(jié)果是 a1；處于 Ψ2態(tài)，測(cè)量 A 所得結(jié)果是 a2, 則它們的線性組合 也是體系一個(gè)可能的狀態(tài)。在此態(tài)下測(cè)量力學(xué)量 A 得到 a1的概率是 222121ccc?。得到 a2的概率是 222122ccc?,稱 Ψ是 Ψ1和 Ψ2相干疊加態(tài) 。 經(jīng)典波的疊加原理與量子態(tài)疊加原理的區(qū)別： 量子態(tài)的疊加是一種特殊的概率波幅的疊加，其在測(cè)量突變 (波包塌縮 )、單次測(cè)量結(jié)果的不確定性以及每次測(cè)量所得力學(xué) 量數(shù)值這三方面均不同于經(jīng)典波的疊加原理。 量子態(tài)的塌縮： 如 ??? /i)(),( EtE ertr ?? ψψ? ??ntEnn nerCtr??? /i)(),( ψψ例題 1. 設(shè)一電子為電勢(shì)差 V所加速，最后打在靶上。若電子的動(dòng)能轉(zhuǎn)化 為一個(gè)光子，求當(dāng)這個(gè)光子相應(yīng)的波長(zhǎng)分別為 500nm(可見(jiàn)光 )、 (X射線 )以及 （ γ射線 ）時(shí)，加速電子所需要的 電勢(shì)差是多少 2. 求下列各粒子的德布羅意波長(zhǎng) (1) 能量為 100eV的自由電子 (2) 能量為 (3) 能量為 ，質(zhì)量為 1g的質(zhì)點(diǎn) (4) 溫度為 T=1K時(shí)，具有動(dòng)能 E=3kT/2(k為玻爾茲曼常數(shù) )的 氦原子 3. 從鈉中移去一個(gè)電子所需要的能量是 ，問(wèn)： (1) 鈉是否會(huì)對(duì) λ= (2) 從鈉表面發(fā)射電子的截止波長(zhǎng)是多少？ 4. 波長(zhǎng)為 ，對(duì)鋁來(lái)說(shuō)，移去一個(gè)電子 所需的能量是 ，試問(wèn)： ? 出射最快的光電子能量是多少 (2) 遏止電壓是多少 (3) 鋁的截止波長(zhǎng)是多少 (4) 如果入射光強(qiáng)度是 ，單位時(shí)間打到單位面積上的平均 光子數(shù)是多少？ 5. 在理想條件下正常人的眼睛接收到 ，每秒 光子數(shù)達(dá)到 100個(gè)就有光感，與此相當(dāng)?shù)墓β适嵌嗌伲?
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