1673向量組的線性相關性-資料下載頁
2025-09-20 19:09本頁面
【導讀】向量空間中進行.個線性組合,如果有數(shù)域P中的數(shù)k1,k2,…n為n維單位向量.s所確定的線性方程組中，?所對應的方程可由。程組的解的過程中不起作用,因此它是多余的方程.2，則方程組的第三個方程是多余。滿足第一、第二個方程的解一定滿足第三個方程,組互相可以線性表出，它們就稱為等價.與定義11是等價的.性相關，即沒有不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks不全為0，所以。部分組線性相關，則由上述已證的結論知,?r應線性相關,矛盾.由部分組線性無關也不能推出全體組線性無關.關的充要條件是:?2的分量對應成比例.
【正文】 結束 33 性質 任意一個極大線性無關組都與向量組本 身 等價 . 證 設有向量組 ?1 , ?2 , … , ?s , … , ?r ， ?1 , ?2 ,… , ?s 是它的一個極大線性無關組 . 因為 ?1 , ?2 , … , ?s 是 ?1 , ?2 , … , ?r 的一部分 , 當然可以被這個向 量組線性表出，事實上有 其中 ?i = 0?1 + …+ 1 ?i + 0?i+1 + …+ 0 ?r , i = 1,2, …, s . 所以 ?1 , ?2 , … , ?s 可由 ?1 , ?2 , … , ?s , … , ?r 線性 表出 . 首頁 上頁 下頁 返回 結束 34 顯然 , 只需證 ?s+1 , ?s+2 , … , ?r 中的每一個向 量都能經 ?1 , ?2 , … , ?s 線性表出即可 . 設 ?j 是 ?s+1 , ?s+2 , … , ?r 中的任一個向量 . 由極大線性無 關組 ?1 , ?2 , … , ?s 的極大性，向量組 ?1 , ?2 , … , ?s , ?j 線性相關，也就是說，有不全為零的數(shù) k1, k2, … , ks, l 使 k1?1 + k2?2 + … ks?s + l ?j = 0 . 下證 ?1 , ?2 , … , ?s , … , ?r可由 ?1 , ?2 , … , ?s 線性 表出 . 首頁 上頁 下頁 返回 結束 35 ?1 , ?2 , … , ?s 線性相關，與已知矛盾 . 由 l ? 0 ， 式子 k1?1 + k2?2 + … ks?s + l ?j = 0 . 可改寫為 1212 , ( ) .sjskkk s j rl l l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?這就是說， ?j ( s j ? r ) 可被 ?1 , ?2 , … , ?s 線性 表出 . 于是證明了向量組與它的極大線性無關組的 等價性 . 則 , 設 l = 0，那么 k1, k2, … , ks 就不全為零 , 于是 因為 ?1 , ?2 , … , ?s 線性無關 , 可證必有 l ? 0 . 否 首頁 上頁 下頁 返回 結束 36 推論 一向量組的任意 兩個極大線性無關組都是 等價的 . 一個向量組的極大無關組不一定唯一 , 但由于每個極大無關組都與向量組本身等價 , 因而有 定理 3 一向量組的極大線性無關組都含有相同 個數(shù)的向量 . 于是由定理 2的推論 3, 可得 首頁 上頁 下頁 返回 結束 37 六、向量組的秩 定義 14 向量組的極大線性無關組所含向量的個 數(shù)稱為這個 向量組的秩 . 例如，向量組 12( 2, 1 , 3, 1 ) , ( 4, 2, 5, 4 ) ,??? ? ? ?的秩為 2 . 關于向量組的秩，有以下結論： 1) 一個向量組線性無關的充分必要條件是它的 秩與它所含向量的個數(shù)相同 . 2) 等價的向量組必有相同的秩 . 3) 全部由零向量組成的向量組沒有極大線性無 關組，規(guī)定其秩為零 . 3 ( 2, 1 , 4, 1 )? ? ? ?首頁 上頁 下頁 返回 結束 38 七、方程組與向量組的關系的進一步研究 設有線性方程組 11 1 12 2 1 1 121 1 22 2 2 2 21 1 2 2, ( ), ( ), ( )nnnns s s n n s sa x a x a x d Aa x a x a x d Aa x a x a x d A? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??它所對應的向量組為 ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain , di ) , i = 1, 2, … , s 首頁 上頁 下頁 返回 結束 39 設另有一個方程 b1x1 + b2x2 + … + bnxn = d, ( B ) 它對應的向量為 ? = ( b1 , b2 , … , bn ,d ). 則 ? 是 ?1 , ?2 , … , ?s 的線性組合 ? = l1?1 + l2?2 + … + ls?s B = l1(A1) + l2(A2) + … + ls(As), 當且僅當 即方程 ( B ) 是方程 (A1), (A2), … , ( As) 的線性組合 . 容易驗證，方程組 (A1), (A2), … , ( As) 的解一定滿 足方程 ( B ) . 首頁 上頁 下頁 返回 結束 40 11 1 12 2 1 1 121 1 22 2 2 2 21 1 2 2, ( ), ( ), ( )nnnnr r r n n r rb x b x b x c Bb x b x b x c Bb x b x b x c B? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??進一步設方程組 它對應的向量組為 ?1 , ?2 , … , ?r , 若 ?1 , ?2 , … , ?r 可經 ?1 , ?2 , … , ?s 線性表出，則方程組 (A1), (A2), … , (As) 的解是方程組 (B1), (B2), … , ( Br) 的解 . 當 ?1 , ?2 , … , ?s 與 ?1 , ?2 , … , ?r 等價時，兩個方程 組同解 . 首頁 上頁 返回 結束
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1