【導讀】且應用廣泛的工具。的運算，方陣的逆矩陣。第節(jié)矩陣及其運算。的線段稱為平面向量，記作或?若向量的終點A與始點O重合，則該向量稱為。與向量大小相等，方向相反的向量稱為的。平面向量的加法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算.為兩個平面向量，稱?相同；當k<0時方向與?有序數(shù)組，稱a1，a2為該向量的坐標。定義4在空間直角坐標系中，.,,的模及單位向量求向量430???

　　

【正文】 ????????n??????????00000021③ 三角矩陣 對應下 (上 )三角矩陣的線性變換 ?????????????nnnnaaaaaaA???????21222111000例 2 ????????????????101143212121CCzxzCYyCx，其中的線性變換到求和已知線性變換 .解 ??????????????????????????????????????????????2121212110114321zzyyyyxx ,這里，即有,?????????????????????????????212110114321zzxx??????????????????????73311011432121 CCC.???????7331Czx 的線性變換矩陣為到故 ? 方陣作為行數(shù)與列數(shù)相等的一類矩陣 ， 同樣可以進行第 ， 并滿足相應的運算律 ， 方陣的和 ， 差 ， 數(shù)乘 ， 乘積及轉(zhuǎn)置矩陣仍為方陣 . 例 1 ., TT BABABA ???????????????? ，求已知43214025，解 ??????????????????????834643214025BA.??????????????????????843642314205TT BA例題 例 2 ？？求：，已知???????????????????????????????????DFEFFDE987654321300030003100010001,:；解????????????????????????????????987654321987654321100010001EF.???????????????????????????????????????????2724211815129639876543213987654321300030003DF.BAABBA 與的乘積與求矩陣 ??????????????????63422142注 一般情況下，兩個 n階方陣相乘不滿足交換律， AB≠BA。 但是 其乘積仍為 n階方陣。 例 3 解 定義 設 A是一個 n階方陣， k為正整數(shù) , ??? ?? ?個kk AAAA ?稱為 A的 k次冪 . 注 A k就是 k個 A連乘 .顯然只有方陣的冪才有意義 . 規(guī)定 :A0=E. (i) A k Al=A k+1 (ii) (A k)l=A k l 其中 k、 l為正整數(shù) . （ 1） n階方陣的冪 運算律 ? ? .???????????????????????????????????????? 0000000011111111 33632 AA例如 方陣的其他運算 ① 因為矩陣乘法一般不滿足交換律，所以對于兩個 n 階方陣 A與 B， (AB)k 一般不等于 A k B ② 如果 Ak=O， 不一定有 A=O. 例如取 011 11 ??????????A ???????????????????????? 0000111111112A., 3211 01 AAA 求設 ???????注 例 1 ,12 0111 0111 012 ????????????????????A.13 0111 0112 0111 0111 0123 ?????????????????????????????????A解 ??kA例 2 .nAA ，求設???????????100110011 （ n為自然數(shù)） 解 。????????????????????????????????1002101211001100111001100112A。?????????????????????????????????10031033110011001110021012123 AAA? ?????????????????10011011 2 211 nnAnnn)(設? ?????????????????????????????????????????10010110011001110011011212121 nnnnAAAnnnnnn))((（ 2）矩陣多項式 定義 設 （ *） 為 x的多項式 ， A為 n階矩陣 ， E為 n階單位陣 ， 稱 （ **） 為關(guān)于 A的 矩陣多項式 . ( * ))( 0111 axaxaxaxf mmmm ????? ?? ?( * * ))( EaAaAaAaAf mmmm 0111 ????? ?? ?).()( AfAxxxf ，求，已知 ??????????3021122解 .)(????????????????????????????????????????????????????1401221001604290811001302123021222EAAAf例 1 ACABCBACBA???????????????? ?????????)(:,1213,4012,1342.1試檢驗若.(,. )1012 32 為正整數(shù)求設 kAAAhA k????????22222 2?3BABABABABABABA????????))(()(,. 等式能成立試問在什么條件下以下是兩個同階方陣設.101:???????khA k答案課堂練習 ).()(,. AfxxxfA 求設 210 114 2 ??????????BAAB:.3 ?答案.2012)(.4???????Af定義 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣， 稱為 初等矩陣 （初等方陣） . 三種初等變換對應著三種初等矩陣，以 3階單位陣為例予以說明 . (i)互換 E的 i、 j 兩行（或 i、 j兩列 ),記 E [i,j ] ? ????????????0101000013,2E)( ji rr ? )( 32 rr ?例如 ? ??????????????????????????????10111101,???????????????jiE(ii)E的第 i行（或第 i列）乘以不等于零的數(shù) k， 得 )( irk ?(iii)把 E的第 j行的 k倍加到第 i行上 (或第 i列的 k倍加到第 j列上 )，得 )( ji krr ????????????10003000132 )]([E???????????100010031312 )]([E例如 例如 ? ?? ????????????????????????1111??kkiE? ?? ????????????????????????1111?????kkijE矩陣的初等變換與初等矩陣有著非常密切的關(guān)系 . 初等矩陣性質(zhì)和有關(guān)定理 性質(zhì) 初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍是初等矩陣 . 定理 設 A是 m行 n列矩陣，則 (1)對 A施以一次初等行變換所得到的矩陣，等于用同種 m階初等 矩陣左乘 A. (2)對 A施以一次初等列變換所得到的矩陣，等于用同種 n階初等 矩陣右乘 A. ????????????????????????????????98718151232198765432110003000132 AE )]([????????????????????????????????9247615436110003000198765432132 )]([AE例如 .為標準形僅應用行初等變換化?????????????300621301A??????????????????????????????????? ?????300020001300920301300621301323112 3 rrrrrrA? ? ? ? ? ? EAEEEEE ????????? ??????? )1(21)1(13)3(23)21(2)31(3程，即：用初等矩陣表示上述過例 1 注 ① 該矩陣僅經(jīng)過一系列行變換，即 可化為標準形矩陣； ②該 化簡過程可以用連續(xù)左乘初等矩陣進行表示； ③該 化簡結(jié)果說明方陣 A 與單位陣等價 . 解 ?????????????????????????????????????100010001300010001312132 rr.為標準形僅應用