【正文】 ? ?11111121 22 23 34 33444444110501005050xxyyxyxyxxyyFFFFMMF k NF F k NF M k N mFF FF F k NM k N mFFFFMM? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?????? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?這里需要指出 ， 對于支座結(jié)點 1， 4同樣可按式 (1041)和式 (1042)算出等效結(jié)點荷載和綜合結(jié)點荷載 。 但由于 [F1]、 [F4]是綜合結(jié)點荷載與支座反力的代數(shù)和 ， 而其中的反力仍是未知的 ， 又由于在引入支承條件時 ， 未知力 [F1]、 [F4]將被刪去或被修改 ， 故在此可不必計算支座結(jié)點 4的等效結(jié)點荷載及綜合結(jié)點荷載 。 (5) 引入支承條件 ， 修改原始剛度方程 。 結(jié)構(gòu)的原始剛度方程為 見 結(jié)點 1和 4為固定端 ， 故已知 ? ?1111000uv?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?4444000uv?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?在原始剛度矩陣中刪去與上述零位移相應(yīng)的行和列 ， 同時在結(jié)點位移列向量和結(jié)點外力列向量中刪去相應(yīng)的行 ， 得結(jié)構(gòu)的剛度方程為 見 (6) 解方程 。 求得未知結(jié)點位移為 見 (7) 計算各單元桿端力 。 按式 (1045)計算 。 單元 ① 見 單元 ② 見 ～ 259 單元 ③ 見 (8) 繪內(nèi)力圖 。 ， 內(nèi)力正負號規(guī)定仍與第三章中的規(guī)定相同 ， 而 上述計算出的桿端內(nèi)力正負號是按本章中的規(guī)定求得的 。 故畫 內(nèi)力圖時應(yīng)特別注意 。 剛架的彎矩圖如圖 1011所示 。 例 103 試用矩陣位移法計算圖 1012所示桁架的內(nèi)力 。 各桿 EA相同 。 3l416F4253Fl l lxy12 437568910圖 1012 解： （ 1） 對各結(jié)點和單元進行編號 ， 并選結(jié)構(gòu)坐標系如圖 1012所示 。 在確定各單元始 、 末端結(jié)點 i、 j的號碼時 ， 我們約定 ，這樣就確定了各單元的局部坐標系 。 （ 2） 計算各單元剛度矩陣的各子塊 用矩陣位移法計算桁架的步驟和計算剛架的完全一樣 。 在桁架中 ， 任一結(jié)點 i只有兩個位移分量 u i、 vi和兩個結(jié)點外力分量 Fxi、Fyi。 單剛按式 (1026)計算 ， 根據(jù)表 104中數(shù)據(jù) ， 可求得單元 ② 、④ 、 ⑦ 、 ⑨ 的剛度矩陣的各子塊為 2 2 4 4 7 7 9 91 1 2 2 2 2 4 4 3 3 5 5 4 4 6 6 1000EAk k k k k k k kl??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???2 2 4 4 7 7 9 91 2 2 1 2 4 4 2 3 5 5 3 4 6 6 4 1000EAk k k k k k k kl???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???單元 ③ 、 ⑧ 的剛度矩陣的各子塊為 3 3 8 82 2 3 3 4 4 5 5004013EAk k k kl??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???3 3 8 82 3 3 2 4 5 5 4004013EAk k k kl??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ????單元①、⑤的剛度矩陣的各子塊為 1 1 5 51 1 3 3 2 2 5 51 6 1 24 2 5 2 51 2 952 5 2 5EAk k k kl????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???????1 1 5 51 3 3 1 2 5 5 21 6 1 24 2 5 2 51 2 952 5 2 5EAk k k kl??????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???????單元⑥、⑩的剛度矩陣的各子塊為 6 6 1 0 1 03 3 4 4 5 5 6 61 6 1 24 2 5 2 51 2 952 5 2 5EAk k k kl?? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??????6 6 1 0 1 03 4 4 3 5 6 6 51 6 1 24 2 5 2 51 2 952 5 2 5EAk k k kl?????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ???表 104 各單元幾何數(shù)據(jù) (3) 將各單剛子塊對號入座即形成總剛 ， 結(jié)構(gòu)的原始剛度方程為見 (4) 引入支承條件 ， u1=v1=u2=v2=0， 在原始剛度方程中刪去與這些零位移相應(yīng)的行和列 ， 并將已知的結(jié)點荷載代入 ， 得結(jié)構(gòu)剛度方程為 見 (5) 解方程 ， 得未知結(jié)點位移 見 (6) 計算桿端內(nèi)力 ， 由式 (1035)及式 (1036)計算 。 ⑨ ， 有 見 又如單元 ⑩ 見 同理可求出其他各桿內(nèi)力 ， 各桿內(nèi)力值標在圖 1012中桿件旁邊 。 167。 108 幾點補充說明 為了便于電算 ， 對實際的計算問題要做以下補充說明 。 1． 結(jié)點位移分量的編號 ， 單元定位向量 單剛子塊對號入座形成總剛 ， 必須落實 到每個元素對號入座 。 單剛子塊的兩個下 標號碼是由單元兩端的結(jié)點編號確定的 ， 而每個元素的兩個下標號碼則由單元兩端 的結(jié)點位移分量的編號確定 。 因此 ， 我們 圖 1013 不僅要對結(jié)點進行編號 ， 而且還要對結(jié)點 位移的每個分量進行編號 。 對圖 1013所示剛架 ， 單元 、 結(jié)點和 2413(7,8 ,9)(10, 11,12)(1,2 ,3)123(4,5 ,6)結(jié)點位移分量編號如圖所示 ， 它們的對應(yīng)關(guān)系如表 105所示 。 表 105 各單元始末端結(jié)點及結(jié)點位移分量編號 對結(jié)點位移分量的編號 ， 同時也就是對結(jié)點外力分量的編號 ， 兩者是一一對應(yīng)的 。 有了結(jié)點位移分量的編號 ， 單剛中的每個元素便可按其兩個下標號碼送到總剛中相應(yīng)的下標號碼送到總剛中相應(yīng)的行列位置上去 。 圖 1014表示單元 ② 的單剛元素 的入座位置 。 一個 286k平面剛架的一般單元有 6個桿端結(jié)點位移 ， 依靠這 6個號碼 ，其單剛的 36個元素才能確定在總剛中的位置 ， 因此這 6個號碼稱為 單元定位向量 。 圖 1013所示 ， 單元 ② 的定位向量為： ? ?2 4 5 6 7 8 9 T??? ???結(jié)點外力分量編號結(jié)點編號結(jié)點位移分量編號4141232 310111232110 11 123214567894 5 6 987329876547 8 96542[ k ] =[ K ]=32圖 1014 2． 總剛的帶寬及存儲方式 結(jié)構(gòu)總剛度矩陣為 稀疏矩陣 。 具有大量的零元素 ， 而非零元素通常集中在主對角線附近的斜帶形區(qū)域內(nèi) ， 稱為 帶狀矩陣 。在帶狀矩陣中 ， 從主對角元素起至該行 （ 列 ） 最外一個非零元素止所包含的元素個數(shù) ， 稱為該行 （ 列 ） 的帶寬 。 由總剛的形成規(guī)律可知 : 某行 （ 列 ） 的帶寬 =該行 （ 列 ） 結(jié)點位移分量號 最小相關(guān)結(jié)點位移分量號 +1 （ 1047） 所有各行 （ 列 ） 帶寬中的最大值稱為矩陣的 最大帶寬 。 可知 ， 最大帶寬 =相關(guān)結(jié)點位移分量號的最大差值 +1 （ 1048） 當平面剛架所有結(jié)點均為剛結(jié)點 ， 且結(jié)點編號 i與結(jié)點位移分量 編號有簡單對應(yīng)關(guān)系 3i2， 3i1， 3i時 ， 則有 最大帶寬 =（ 相關(guān)結(jié)點編號的最大差值 +1） 3 （ 1049） 在電算中 ， 可以將總剛的全部元素都存儲起來 ， 這稱為 滿陣存儲 。 但為了節(jié)省存儲單元 ， 對于對稱帶狀矩陣 ， 可以只存儲其下半帶 （ 或上半帶 ） 在最大帶寬范圍內(nèi)的元素 ， 這稱為 等帶寬存儲 。 顯然 ， 最大帶寬愈大 ， 存儲量也愈大 。 因此 ， 對結(jié)點位移分量編號時 ， 應(yīng)使相關(guān)結(jié)點位移分量號的最大差值為最小 。 3． 關(guān)于支承條件的引入 前面介紹的矩陣位移法 ， 是把包括支座在內(nèi)的全部結(jié)點位移分量都看作是未知量而依次編號 ， 每一單元的所有元素都對號入座以形成總剛 ， 然后再處理支承條件 ， 這種方法稱為 等帶寬存儲 。 顯然 ， 最大帶寬愈大 ， 存儲量也愈大 。 因此 ， 對結(jié)點 結(jié)點位移分量編號時 ， 應(yīng)使相關(guān)結(jié)點位移分量號的最大差值為最小 。 3． 關(guān)于支承條件的引入 前面介紹的矩陣位移法 ， 是把包括支座在內(nèi)的全部結(jié)點位移分量都先看作是未知量而依次編號 ， 每一單元的所有元素都對號入座以形成總剛 ， 然后再處理支承條件 ， 這種方法稱為 后處理法 。后處理法的優(yōu)點是程序簡單 ， 適應(yīng)性廣 ， 但這樣形成的總剛階數(shù)較高 ， 占用存儲量大 。 如果先考慮支承條件 ， 則可以將已知的結(jié)點位移分量編號均用 0表示 ， 如圖 1015所示 （ 括號內(nèi)依次為結(jié)點水平 、 豎向位移和角位移的編號 ） 。 單剛中凡與 0對應(yīng)的行和列的元素均不送入總剛 ， 這樣便可直接形成縮減后的總剛 。 這中方法就稱為 先處理法 。 2314( 1, 0, 2) ( 3, 4, 5)( 0, 6, 0)( 0, 0, 0)12 325143( 5,6,7)( 1,2,4)( 0,0,0)( 0,0,0)( 1,2,3)321圖 1015 圖 1016 4． 鉸結(jié)點的處理 當剛架中有鉸結(jié)點時 ， 處理方法之一是像傳統(tǒng)位移法那樣 ，不把鉸結(jié)點的轉(zhuǎn)角作為基本未知量 ， 這就要引用具有鉸結(jié)端的單元剛度矩陣 。 另一種處理方法是將各鉸結(jié)端的轉(zhuǎn)角作為基本未知量求解 ， 這樣雖然增加了未知量的數(shù)目 ， 但所有桿件 都采用前述一般單元的剛度矩陣 ， 因而單元類型統(tǒng)一 ， 程序簡單 ， 通用性強 。 當采用后一種處理方法時 ， 由于在鉸結(jié)點處 ，各桿的轉(zhuǎn)角各不相等 ， 故鉸結(jié)點處的轉(zhuǎn)角未知量便不止一個 ，因此在對結(jié)點編號時要編 2個及 2個以上的號 ， 把每個鉸結(jié)端都作為一個結(jié)點 ， 而令它們的線位移相等 ， 角位移則各自獨立 。位移相等的則編相同的編號 ， 如圖 1016所示 。 5． 忽略軸向變形的影響 移法計算剛架時 ， 亦可忽略軸向變形的影響 。 由于不計軸向變形 ， 各結(jié)點線位移不再全部獨立 ， 因而只對其獨立的結(jié)點線位移予以編號 ， 凡結(jié)點線位移相等者編號亦相同 （ 圖 1017） 。但當有斜桿等情況時 ， 這樣處理并不方便 。 忽略軸向變形另一方便的辦法是采用前面講的一般方法 （ 即每個結(jié)點位移 分量均作為獨立未知量求解 ） ， 但將桿件的截面面積 A輸為很大的數(shù) （ 例如比實際面積大 104～ 106倍 ） ， 就可得到滿意的結(jié)果 。 21 4( 1,0,2)( 1,0,3)( 0,0,0)( 0,0,0)1233 圖 1017