【導(dǎo)讀】統(tǒng)計(jì)量包括五種類型。tendency)主要是衡量資料的中心位置，故。又稱為中心之衡量。一般較常用的中央趨勢(shì)之衡量統(tǒng)計(jì)量有平均。數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。它最大的功用即在能以一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)代表母體或。適合用數(shù)學(xué)算方法，計(jì)算簡(jiǎn)單且易於了解。計(jì)算一組統(tǒng)計(jì)資料的平均數(shù)時(shí)，該組資料內(nèi)的所。有數(shù)值皆被列入計(jì)算，所以較具有代表性且敏感。平均數(shù)的唯一缺點(diǎn)是容易受到極端值(extreme. value)的影響，而減弱平均數(shù)的代表性。平均數(shù)以求算方式可分為三種，即。但後兩種平均數(shù)較不常見(jiàn)，應(yīng)用範(fàn)圍也不廣。以全部觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)而得。統(tǒng)計(jì)資料未分組時(shí)由於仍然完整，因此在求算。統(tǒng)計(jì)量時(shí)不會(huì)有任何問(wèn)題，但資料經(jīng)過(guò)分組後，即會(huì)失去某些資訊。求算已分組資料的統(tǒng)計(jì)量時(shí)，一般都是依循下。安安幼稚園小班有10位小朋友，其身高分別為：102、100、110、108、調(diào)查同行業(yè)相同規(guī)模甲、乙兩家公司各五位高級(jí)主管的月薪資料如。任一組資料中，各觀察值與平均數(shù)差

　　

【正文】 間內(nèi)。 ( 續(xù)下頁(yè) ) 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則 (續(xù) ) 一般而言，在 1?k 的情況下至少有211k?比例的資料落於 ( ksx ? ， ksx ? ) 區(qū)間內(nèi)。注意，當(dāng) 1?k 時(shí)，謝比雪夫不等式無(wú)法告訴我們有意義的資訊，因?yàn)椴坏仁礁嬖V我們至少有01112??比例的觀察值落在( sx ? ， sx ? ) 區(qū)間內(nèi)。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則 (續(xù) ) 【 例 3 . 2 7 】 有一個(gè)橡皮篩工廠，生產(chǎn)了 一堆圓柱形橡皮篩，半徑平均是 公分，半徑的標(biāo)準(zhǔn)差是 公分，利用這兩個(gè)數(shù)是否能判斷這堆橡皮篩半徑介於 公分與 1 . 0 6 公分之間所佔(zhàn)的比例？它至少、至多或等於多少？ 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則 (續(xù) ) 解： ?x，?s ( 0 . 9 8 ， 1 . 0 6 ) = ( ??， ??) ，所以 2?k 因此，在 ( 0 . 9 8 ， 1 . 0 6 ) 區(qū)間內(nèi)資料之 比例至少為2112??，而在 ( 0 . 9 8 ， 1 . 0 6 ) 區(qū)間外資料之比例至多為212?。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則 (續(xù) ) 3 . 4 . 4 經(jīng)驗(yàn)法則： 當(dāng)資料為常態(tài)或近似常態(tài)分配時(shí)，則有下列的特性： 1. 約有 6 8 % 的觀察值落於 ( sx ? ， sx ? ) 的區(qū)間。 2. 約有 9 5 % 的觀察值落於 ( sx 2? ， sx 2? ) 的區(qū)間。 3. 約有 9 9 . 7 % 的觀察值落於 ( sx 3? ， sx 3? ) 的區(qū)間。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則 (續(xù) ) 經(jīng)驗(yàn)法則與謝比雪夫不等式這兩種方法，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的應(yīng)用頗為類似的。而其中的差異有： ( 1 ) C h e b y s h e v 定理只能傳遞資料的一個(gè)限制，即資料在某一區(qū)間有多少比例以上或多少比例以下，但它可適用於任何資料分配。故適用範(fàn)圍較廣。 ( 2 ) 經(jīng)驗(yàn)法則可較具體傳遞約有多少比例的訊息，但它的限制條件為只適用於鐘形形狀的分配或近似鐘形形狀的分配時(shí)，才可使用。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 探索性資料分析 探索性資料分析 (exploratory data analysis； EDA)強(qiáng)調(diào)以簡(jiǎn)單的繪圖方式彙總來(lái)描述一組樣本資料 探索性資料分析 主要包括兩種最常用的圖形，即 枝葉圖 (stemandleaf diagrams)和 箱形圖 (box and whisker plots) 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 枝葉圖 【例 3 . 2 8 】 調(diào)查 13 個(gè)公司的稅後純益如下 ( 億元 ) ： 3 . 5 4 . 4 2 . 3 2 . 8 4 . 1 3 . 7 2 . 4 6 . 0 5 . 1 3 . 4 3 . 7 4 . 5 5 . 7 ，試?yán)L製其枝葉圖。 解： s t e m l e a f 2 3 4 5 6 0 . 3 0 . 8 0 . 4 0 . 5 0 . 7 0 . 4 0 . 7 0 . 4 0 . 1 0 . 5 0 . 1 0 . 7 0 . 0 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 枝葉圖 (續(xù) ) 【例 3 . 2 9 】 承例題 3 . 2 0 ， 50 位學(xué)生性向測(cè)驗(yàn)的成績(jī)?nèi)缦拢? 22 25 28 31 34 35 39 39 40 42 44 44 46 48 49 51 53 53 55 55 56 5 7 59 60 61 63 63 63 65 66 68 68 69 71 72 72 74 75 75 76 78 78 80 82 83 85 88 90 92 96 試?yán)L製枝葉圖。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 枝葉圖 (續(xù) ) 解： 因?yàn)槌煽?jī)大多是二位數(shù)，因此以十位數(shù)為枝，個(gè)位數(shù)為葉。 s t e m l e a f 2 3 4 5 6 7 8 9 2 5 8 1 4 5 9 9 0 2 4 4 6 8 9 1 3 3 5 5 6 7 9 0 1 3 3 3 5 6 8 8 9 1 2 2 4 5 5 6 8 8 0 2 3 5 8 0 2 6 由枝葉圖可以觀察到該班學(xué)生的性向測(cè)驗(yàn)最高分 96 分，最低分 22 分，人數(shù)最多是集中在 60 – 69 分，共有 10 位同學(xué)。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 箱形圖 箱形圖 (boxandwhisker plot)又叫做箱鬚圖 係將某些中央趨勢(shì)之衡量統(tǒng)計(jì)量與分散度之衡量統(tǒng)計(jì)量利用圖形表現(xiàn)出來(lái)的一種圖示法 圖中含顯示出資料的 最大值 L(largest)、最小值 S(smallest)、 第一四分位數(shù) (Q1)、中位數(shù) (Me)、 第三四分位數(shù) (Q3)、 四分位距 (IQR)等 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 箱形圖 (續(xù) ) 箱形圖的畫(huà)法如下： 一、以長(zhǎng)方形 ( 箱形 ) 表示從第一四分位數(shù)至第三四分位數(shù)的數(shù)值資料，其箱形的長(zhǎng)度即為四分位距，並在箱形內(nèi)標(biāo)示出中位數(shù)的位置。因此在箱形內(nèi)包括了 5 0 % 的數(shù)值資料。 二、標(biāo)示出最大值和最小值，並以直線與長(zhǎng)方形連接即完成一箱形圖。介於第一四分位數(shù)與最小值之間佔(zhàn)了全部資料的 2 5 % ，介於第三四分位數(shù)與最大值之間佔(zhàn)了全部資料的 2 5 % 。 三、連接最小值到長(zhǎng)方形左邊中點(diǎn)的水平線稱為左鬍鬚，連接最大值到長(zhǎng)方形右邊中點(diǎn)的水 平線稱為右鬍鬚，若左鬍鬚之長(zhǎng)度遠(yuǎn)大於右鬍鬚之長(zhǎng)度，則我們說(shuō)資料是左偏，相反地，若右鬍鬚之長(zhǎng)度遠(yuǎn)大於左鬍鬚之長(zhǎng)度，則我們說(shuō)資料是右偏。 四、箱型圖可用於幫助辨認(rèn)出觀察值是否為異常值 ( o u t l i e r ) ，若觀察值位於長(zhǎng)方形左右邊的 1 . 5 倍四分位距 I Q R 與 3 倍四分位距之間，則稱為可疑的異常值 ( s u s p e c t e d o u t l i e r s ) ，必須密切注意這些觀察值的使用，若觀察值位於長(zhǎng)方形左右邊的 3 倍四分位距之外，則稱為異常值( o u t l i e r s ) ，必須特別小心這些觀察值的使用。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 1009080706050403020GradesBoxplot of GradesQ1=46 Me=62 Q3=75 S=22 L=96 箱形圖 (續(xù) ) 【例 3 . 3 0 】 承例題 3 . 2 0 ，試?yán)L製箱形圖。 解： 已知最小值 S = 22 ，第一四分位數(shù) Q 1 = 46 ，中位數(shù) Me = 62 ，第三四分位數(shù) Q 3 = 75 ，最大值 L = 96 ，四分位距 = 75 – 46 = 29 。畫(huà)成箱形圖如下： 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 兩變數(shù)線性相關(guān)之衡量統(tǒng)計(jì)量 共變異數(shù) 定義 3 . 7 . 1 母體共變數(shù) ( p o p u l a t i o n c o v a r i a n c e ) )])([(),( YXxy YXEYXC O V ??? ????，對(duì)於有限母體時(shí)， NyxYXC OVNiYiXi?????1))((),(?? 其中，N為母體的資料個(gè)數(shù)。NxNiiX???1?及NyNiiY???1?分別為變數(shù) X 及 Y 的母體平均數(shù)。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 共變異數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 7 . 2 樣本共變異數(shù) ( s a m p l e c o v a r i a n c e ) 1))((),c o v (1???????nyyxxSYXniiiXY 其中，n為樣本的資料個(gè)數(shù)。nxxnii???1 及nyynii???1分別為 X 及 Y 的樣本平均數(shù)。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 共變異數(shù) (續(xù) ) 共變異數(shù)的正負(fù)值可用來(lái)表示兩變數(shù)間之正負(fù)相關(guān)程度，茲分別敘述如下： ( 1 ) COV ( X , Y ) ＞ 0 共變異數(shù)大於零表示 X 與 Y 為正相關(guān)。 ( 2 ) COV ( X , Y ) ＜ 0 共變異數(shù)小於零表示 X 與 Y 為負(fù)相關(guān)。 YXC O V ( X , Y ) 0 YXC O V ( X , Y ) 0 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 共變異數(shù) (續(xù) ) ( 3 ) C O V ( X , Y ) ＝ 0 共變異數(shù)等於零表示 X 與 Y 間無(wú) 線性 相關(guān)。 YXC O V ( X , Y ) = 0YXC O V ( X , Y ) = 0 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 相關(guān)係數(shù) 定義 3 . 7 . 3 母體相關(guān)係數(shù) ( p o p u l a t i o n c o e f f i c i e n t o f c o r r e l a t i o n ) YXXYYXCO V???),(? 其中， C O V ( X , Y ) 表母體共變異數(shù)。X?及Y?分別代表變數(shù) X 及 Y 的母體標(biāo)準(zhǔn)差。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 相關(guān)係數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 7 . 4 樣本相關(guān)係數(shù) ( s a m p l e c o e f f i c i e n t o f c o r r e l a t i o n ) 1)(1)(1))((),c o v (12121???????????????nyynxxnyyxxssYXrniiniiniiiYXXY ( 續(xù)下頁(yè) ) 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 相關(guān)係數(shù) (續(xù) ) 1111212121211 1?????????????????????????? ??????? ?nnyynnxxnnyxyxniniiininiiinininiiiii 其中( , )c ov X Y， 表樣本共變異數(shù)。Xs及Ys分別表變數(shù) X 及 Y的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 相關(guān)係數(shù) (續(xù) ) YXrXY = 1相關(guān)係數(shù)的大小表示相關(guān)程度，其值介於 － 1 與 1 之間。 ( 1 )1?XYr時(shí)，表 X 和 Y 具有正向的完全直線關(guān)係 ( 2 )1??XYr時(shí)，表 X 和 Y 具有反向的完全直線關(guān)係 YXrXY = 1 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 相關(guān)係數(shù) (續(xù) ) ( 3 )0?XYr時(shí)，表 X 和 Y 無(wú)直線關(guān)係 YXrXY = 0YXrXY= 0 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 共變數(shù)與相關(guān)係數(shù)間的關(guān)係 ( 1 ) 若 c o v ( X , Y ) ＞ 0 ，則0?XYr，表變數(shù) X ， Y 具正線性相關(guān)。 ( 2 ) 若 c o v ( X , Y ) ＜ 0 ，則0?XYr，表變數(shù) X ， Y 具負(fù)線性相關(guān)。 ( 3 ) 若 c o v ( X , Y ) ＝ 0 ，則0?XYr，表變數(shù) X ， Y 不具線性相關(guān)。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 共變數(shù)與相關(guān)係數(shù)間的關(guān)係 (續(xù) )