【正文】 ()()()(2)()]()[()( *Key to solve 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) ( 4 ) 平均數(shù)的優(yōu)點有： 1. 計算簡單且易於了解，適合用數(shù)學(xué)運算方法 2. 計算平均數(shù)時，因考慮所有資料，故代表性強且敏感度高。即： xnxnii??? 1 ( 2 ) 任一組資料中，各觀察值與平均數(shù)差之總和等於零，換句話說，平均數(shù)是資料的平衡點。 解： 因甲、乙、丙三班的學(xué)生人數(shù)都不相同，所以採用加權(quán)平均數(shù)為其總平均成績。 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) 【例 3 . 4 】 某位學(xué)生這學(xué)期修六門課共 16 學(xué)分，各科學(xué)分?jǐn)?shù)及成績分別為 科目 經(jīng)濟學(xué) 統(tǒng)計學(xué) 會計學(xué) 微積分 國文 英文 學(xué)分?jǐn)?shù) 3 3 3 3 2 2 成績 85 90 84 88 77 83 試求其平均成績 。教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 第三章 敘述統(tǒng)計量 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 概論 統(tǒng)計量包括五種類型 中央趨勢 之衡量統(tǒng)計量 分散度 之衡量統(tǒng)計量 相對位置 之衡量統(tǒng)計量 形狀 之衡量統(tǒng)計量 兩變數(shù)線性相關(guān) 之衡量統(tǒng)計量 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 中央趨勢之衡量統(tǒng)計量 (measure of central tendency)主要是衡量資料的中心位置，故又稱為 中心之衡量 (measure of center) 一般較常用的中央趨勢之衡量統(tǒng)計量有 平均數(shù) (mean)、 中位數(shù) (median)、 眾數(shù) (mode)等 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) 平均數(shù)是最常用的一種中央趨勢之衡量統(tǒng)計量，它最大的功用即在能以一個 簡單的數(shù)代表母體或樣本的數(shù)值 適合用數(shù)學(xué)運算方法， 計算簡單 且 易於了解 計算一組統(tǒng)計資料的平均數(shù)時，該組資料內(nèi)的所有數(shù)值皆被列入計算，所以較 具有代表性 且 敏感度高 平均數(shù)的唯一缺點是容易受到 極端值 (extreme value)的影響，而減弱平均數(shù)的代表性 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) 平均數(shù)以求算方式可分為三種 ，即 算術(shù)平均數(shù) (arithmetic mean) 幾何平均數(shù) (geometric mean) 調(diào)和平均數(shù) (harmonic mean) 但後兩種平均數(shù)較不常見，應(yīng)用範(fàn)圍也不廣 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) 平均數(shù)的意義 以全部觀測值的總和除以觀測值個數(shù)而得 定義 3 . 3 . 1 母體平均數(shù) μNxNxxxNiiN???????121? 定義 3 . 1 . 2 樣本平均數(shù) nxnxxxxniin???????121? 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) 平均數(shù)的計算 統(tǒng)計資料 未分組 時由於仍然完整，因此在求算統(tǒng)計量時不會有任何問題，但資料經(jīng)過 分組後 ，即會失去某些資訊 求算已分組資料的統(tǒng)計量時，一般都是依循下列兩個基本假設(shè) 1. 集中分配 ：假設(shè)各組觀測值都相等於組中點 2. 均勻分配 ：假設(shè)各組觀測值都是均勻分佈在組內(nèi) 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 1 . 3 未分組資料的平均數(shù) nxnxxxx in ?????? ?21 【例 3 . 1 】 安安幼稚園小班有 10 位小朋友，其身高分別為： 1 0 2 、 1 0 0 、 1 1 0 、 1 0 8 、105 、 1 1 3 、 1 0 8 、 98 、 95 、 1 0 0 ( ㎝ ) ，求其平均身高為何？ 解： 此 10 位小朋友的平均身高 x 為： )(101009598108113105108110100102cmx ??????????? 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) 【例 3 . 2 】 調(diào)查同行業(yè)相同規(guī)模甲、乙兩家公司各五位高級主管的月薪資料如下： ( 單位：新臺幣元 ) 甲公司：＄ 3 2 , 0 0 0 、＄ 5 5 , 0 0 0 、＄ 4 5 , 0 0 0 、＄ 4 0 , 0 0 0 、＄ 3 7 , 0 0 0 乙公司：＄ 3 8 , 0 0 0 、＄ 5 2 , 0 0 0 、＄ 5 0 , 0 0 0 、＄ 4 7 , 0 0 0 、＄ 3 5 , 0 0 0 調(diào)查結(jié)果顯示哪家公司高級主管平均月薪較高？ 解： 甲公司平均月薪 )(800,4153700040000450005500032020元??????x 乙公司平均月薪 )(400,4453500047000500005202038000元??????x 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 1 . 4 已分組資料的平均數(shù) nxffxffffxfxfxfxkiiikiikiiikkk???????????????111212211?? 其中 ix為第i組的組中點 if為第i組的組次數(shù) ???kiifn1為總次數(shù) 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) 【 例 】 承例 ，某一班級 50名學(xué)生的統(tǒng)計學(xué)期中 考成績的次數(shù)分配如下所示，試求其平均成績。 解： 平均成績x為： 50 ??????????????x = 6 5 . 1 ( 分 ) 組限 組界 組中點 次數(shù) 30 ~ 3 9 4 0 ~ 4 9 5 0 ~ 5 9 6 0 ~ 6 9 7 0 ~ 7 9 8 0 ~ 8 9 9 0 ~ 9 9 2 9 . 5 ~ 3 9 . 5 3 9 . 5 ~ 4 9 . 5 4 9 . 5 ~ 5 9 . 5 5 9 . 5 ~ 6 9 . 5 6 9 . 5 ~ 7 9 . 5 7 9 . 5 ~ 8 9 . 5 8 9 . 5 ~ 9 9 . 5 4 6 8 12 9 7 4 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 1 . 5 加權(quán)平均數(shù) ????????????kiikiiikkkwxwxwxwxwx11212211?? 其中 ix為觀察值 iw為觀察值ix的加權(quán)數(shù)。 解： 因所修科目的學(xué)分?jǐn)?shù)不全相同，所以採用加權(quán)平均數(shù)較具代表性，此加權(quán)平均數(shù)x為： )(223333283277388384390385分??????????????????x 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) 【例 3 . 5 】 某高中三年級共有甲、乙、丙三班，期中考數(shù)學(xué)科平均分?jǐn)?shù)分別為 74 分、 80 分、 83 分，而甲班有 50 人、乙班有 47 人、丙班有52 人，試求此高中三年級數(shù)學(xué)科的總平均成績。 )(524750528347805074分?????????x 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) 平均數(shù)的特性 ( 1 ) 資料的總和等於平均數(shù)的 n 倍。即： ????niixx10)( 因為，? ?? ???????niniiixnxnxnxxx1 10)( 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 平均數(shù) (續(xù) ) ( 3 ) 任一組資料中，各觀察值與平均數(shù)差之平方和為最小， 即： ? ?? ????niniiiTxxx1 122)()(， 其中 T 為任一常數(shù)。 3. 數(shù)值唯一且具有客觀性，不受計算者主觀的影響。 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 中位數(shù) 定義 3 . 1 . 6 中位數(shù) 統(tǒng)計資料按其數(shù)值大小順序排列，中位數(shù)即為該數(shù)列的中間數(shù)值，或中間兩項數(shù)值的平均數(shù)， 一般均以 Me 表示之。 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 中位數(shù) 【例 3 . 6 】 調(diào)查某公司 6 位高級主管的月薪，結(jié)果為： 5 2 , 0 0 0 、 1 0 0 , 0 0 0 、5 8 , 0 0 0 、 6 2 , 0 0 0 、 5 5 , 0 0 0 、 6 0 , 0 0 0 ， 試求中位數(shù)為何？ ( 單位：元 ) 解： 未分組資料求中位數(shù)時，應(yīng)先將資料由小至大排列，即 5 2 , 0 0 0 、5 5 , 0 0 0 、 5 8 , 0 0 0 、 6 0 , 0 0 0 、 6 2 , 0 0 0 、 1 0 0 , 0 0 0 ， 該序列共有 6 項，居中的兩項為第 3 項和第 4 項，所以中位數(shù)為第 3 項數(shù)值與第 4 項數(shù)值的平均，即 000,592000,60000,58??( 元 ) 很明顯地由這個例題可以看出，中位數(shù)比平均數(shù)更具有代表性，因為中位數(shù)不受極端值的影響。 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 中位數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 1 . 8 已分組資料的中位數(shù) hfnnLMe ????12 或 hfnnUMe ????22 以上二式中，Me= 中位數(shù) L = 中位數(shù)所在組之下限 f= 中位數(shù)所在組之次數(shù) h= 中位數(shù)所在組之組距 1n= 小於 L 各組之次數(shù)和 U= 中位數(shù)所在組之上限 2n= 大於 U 各組之次數(shù)和 n= 總次數(shù) 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 中位數(shù) (續(xù) ) 【例 3 . 7 】 某商 學(xué)院 企管 系 甲班 50 位同學(xué)統(tǒng)計學(xué)期中考成績?nèi)缦拢? 組 別 組中點 次 數(shù) 累積次數(shù) 50 – 60 55 2 2 60 – 70 65 7 9 70 – 80 75 19 28 80 – 90 85 13 41 9 0 – 1 0 0 95 9 50 試求中位數(shù)為何？ 解： 由表中可知252502??n，所以第 3 組 ( 7 0 – 8 0 ) 為中位數(shù)組，該組的下限 L = 7 0 、 次數(shù) f = 1 9 、 以下各組之累積次數(shù) 1n=9 ，各組的共同組距 h = 1 0 ，則中位數(shù) Me 為 ： )(199257021分????????? hfnnLMe 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 中位數(shù) (續(xù) ) 中位數(shù)的特性 在資料無嚴(yán)重的重複情形下，中位數(shù)將資料分為兩等分 各觀測值 xi與中位數(shù) Me之差的絕對值總和，比和其他任意數(shù)之差的絕對值總和都來得小， 即 ? ?? ????niniii TxMex1 1， T為任一常數(shù) 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 中位數(shù) (續(xù) ) ? 中位數(shù)的優(yōu)缺點比較 優(yōu)點 缺點 觀念簡單，易於了解 缺乏敏感度 不易受極端值影響 當(dāng)一組資料的分配過於偏斜時 ， 中位數(shù)比平均數(shù)更有意義 不適用代數(shù)運算，資料不向中間值集中，或資料排列當(dāng)中有缺口存在時，中位數(shù)即失去代表性 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 眾數(shù) 定義 3 . 1 . 9 眾數(shù) 一組統(tǒng)計資料中 ， 出現(xiàn)次數(shù)最多之觀測值即為眾數(shù)( m o d e ) ，一般均以Mo表示之。 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 徐世輝著 眾數(shù) (續(xù) ) 【例 3 . 8 】 A 、 B 、 C 三組樣本資料如下，試求出各組之眾數(shù)： A ： 2 0 1 2