【正文】 4 0 1 3 5 1 2 2 5 1 2 2 5 3 5 40 5 0 2 4 5 2 0 2 5 4 0 5 0 90 50 6 0 3 5 5 3 0 2 5 9 0 7 5 1 6 5 60 7 0 5 6 5 4 2 2 5 2 1 1 2 5 3 2 5 70 8 0 3 7 5 5 6 2 5 1 6 8 7 5 2 2 5 80 9 0 2 8 5 7 2 2 5 1 4 4 5 0 1 7 0 90 1 0 0 1 9 5 9 0 2 5 9 0 2 5 9 5 總和 1 7 7 5 8 2 5 1 1 0 5 則標(biāo)準(zhǔn)差 11717/)1105(758251/)(222???????? ?nnxfxfsiiii 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 (續(xù) ) 變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的特性 其理論的結(jié)果在往後的機(jī)率理論佔(zhàn)有相當(dāng)重要的地位 分散度之衡量統(tǒng)計(jì)量中優(yōu)點(diǎn)最多的 變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的重要的性質(zhì) 值恆大於或等於零 ，其值越大代表資料分散程度越大；反之則分散程度越小 只能用來比較兩組或兩組以上 平均數(shù)相近 且具有 相同單位 之資料間分散程度的大小 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 (續(xù) ) 變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)： 靈敏度較高 將中央趨勢之衡量統(tǒng)計(jì)量 (平均數(shù) )列入計(jì)算、且適合用代數(shù)演算。 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 (續(xù) ) 【 例 3 . 1 8 】 某一分組次數(shù)表如下： 組別 次數(shù) 30 40 1 40 50 2 50 60 3 60 70 5 70 80 3 80 90 2 90 100 1 試求此筆資料的樣本 標(biāo)準(zhǔn)差。 18161661801921801761921816178190182180184172??????????????BA?? ? ? ? ?)分()15()1(11)1()5(116112222226122??????????????? ??BiBiByN??? 由此可知， A 、 B 兩選手的平均分?jǐn)?shù)雖然相同，但是 B 選手的分?jǐn)?shù)變異較大，顯示 B 選手的穩(wěn)定度較差。 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 (續(xù) ) 【例 3 . 1 6 】 A 、 B 兩位保齡球選手六局的分?jǐn)?shù)分別如下： A ： 1 7 2 , 1 8 4 , 1 80 , 1 8 2 , 1 9 0 , 1 7 8 B ： 1 9 2 ,1 76 ,1 80 , 1 9 2 , 1 8 0 , 1 6 6 試求 A 、 B 兩位選手分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差？ 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 (續(xù) ) 解： 此為母體資料，即求母體標(biāo)準(zhǔn)差。其原因是由於用x來估計(jì) ? 因此 s2失去一個(gè)自由度 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 (續(xù) ) 未分組資料的標(biāo)準(zhǔn)差 定義 3 . 2 . 7 有限母體標(biāo)準(zhǔn)差 ? ?212122 11???? ????? ????NiiNiixNxN 定義 3 . 2 . 8 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ? ?11122122???????????nxnxnxxssniinii 其中， N 、 n 分別代表母體及樣本的資料個(gè)數(shù)。亦即，母體標(biāo)準(zhǔn)差 σ 為： ? ? 21212 11??? ???? ????NiiNiixNxN 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 (續(xù) ) ? 樣本變異數(shù)（以符號(hào) s2表示）為：?????niixxns122)(11 ，可簡化為：)(111222?????niixnxns 樣本變異數(shù)開根號(hào)後即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 解：平均失業(yè)率 (x) = 2 . 0 6 4 年度 72 73 74 75 76 xx i ? 0 . 6 4 6 0 . 3 7 6 0 . 8 4 6 0 . 5 9 6 0 . 0 9 4 年度 77 78 79 80 81 xx i ? 0 . 3 7 4 0 . 4 9 4 0 . 3 9 4 0 . 5 5 4 0 . 5 5 4 則平均絕對 離 差( % )10101??????nxxM A Dii 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 平均絕對離差 (續(xù) ) 定義 3 . 2 . 6 已分組資料的平均絕對 離 差 NxxfM A Dniii????1 其中， x i、if分別為第 i 組的組中點(diǎn)及次數(shù)， n 為組數(shù)，???niifN1為總次數(shù)。 定義 未分組資料的全距 R =最大值 — 最小值 定義 已分組資料的全距 R = 最高組上限 — 最低組下限 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 全距 (續(xù) ) 【例 3 . 1 2 】 氣象報(bào)告指出，臺(tái)灣北部地區(qū)當(dāng)日最高溫 25 ℃，最低溫17 ℃，則臺(tái)灣北部地區(qū)當(dāng)日溫差為何？ 解： 當(dāng)日溫差即代表全距的意思，則全距 R 為： R = 2 5 ℃ — 17 ℃ = 8 ℃ 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 全距 (續(xù) ) 【例 3 . 1 3 】 某國中教職員的年齡分佈如下： 組別 次數(shù) 25 35 1 4 35 45 2 1 45 5 5 8 55 6 5 5 解： 最高組之最大值為 65 ，最低組的最小值為 25 ，則全距 R為： R = 65 2 5 = 4 0 ( 歲 ) 。 2. 敏感度低。 3. 適用偏態(tài)資料。 眾數(shù) 1. 適用質(zhì)的資料。 4. 觀測值與中位數(shù)之絕對差和最小 1. 敏感度低。 2. 不受極端值的影響。 2. 資料如有偏態(tài)，則 較不具代表性。 3 . 觀察值與平均數(shù)之差的平方和最小。 由次數(shù)分配表中可知MoL= 7 0 ，1?f = 7 ，1?f = 1 3 ，0f = 1 9 ，Moh = 1 0 ， 代入公式，則眾數(shù)Mo為：)(137192719702 11010分?????????????????MoMo hfffffLMo 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 眾數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 1 . 1 3 皮爾生 ( K . P e a r s o n ) 法 皮爾生根據(jù)多年的研究經(jīng)驗(yàn)指出，在單峰且非對稱的次數(shù)分配上，平均數(shù) (x) 、中位數(shù) ( Me ) 及眾數(shù) ( Mo ) 三者之間存在一穩(wěn)定的關(guān) 係，即平均數(shù)與眾數(shù)的距離為平均數(shù)與中位數(shù)距離的三倍，也就是眾數(shù)約略為平均數(shù)減去平均數(shù)與中位數(shù)距離的三倍： )(3 MexMox ??? 或)(3 MexxMo ??? 【例 3 . 1 1 】 承例題 3 . 9 ，首先算出平均數(shù)x= 7 9 分，中位數(shù) Me = 7 8 . 4 2 分，以皮爾生經(jīng)驗(yàn)法求眾數(shù) Mo 約為： )()(379)(3分??????? MexxMo 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 眾數(shù) (續(xù) ) ? 眾數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)比較 優(yōu)點(diǎn) 缺點(diǎn) 意義簡單，易於了解 亦適用於質(zhì)的資料 眾數(shù)個(gè)數(shù)是不一定的 不受極端質(zhì)的影響 敏感度較低 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 各中央趨勢之衡量統(tǒng)計(jì)量之比較 適用性比較 中央趨勢之衡量統(tǒng)計(jì)量 類別資料 順序資料 等距資料 比率資料 平均數(shù) 不適用 不適用 適用 適用 中位數(shù) 不適用 適用 適用 適用 眾數(shù) 適用 適用 適用 適用 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 各中央趨勢之衡量統(tǒng)計(jì)量之比較 (續(xù) ) 優(yōu)缺點(diǎn)比較 中央趨勢之衡量統(tǒng)計(jì)量 優(yōu)點(diǎn) 缺點(diǎn) 平均數(shù) 1. 資料的平衡點(diǎn)。 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 眾數(shù) (續(xù) ) 求 已分組資料 之眾數(shù)的方法 ，一般最常見的有以下三種 金氏 (. King)插補(bǔ)法 克如伯 (E. Czuber)比率法 皮爾生 (K. Pearson)法 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 眾數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 1 . 11 金氏 ( W . I . K i n g ) 插補(bǔ)法 MoMoMo hfffL ???????111 其中 Mo = 眾數(shù) MoL = 眾數(shù)組之下限 1?f = 眾數(shù)組之前一組的次數(shù) 1?f = 眾數(shù)組之後一組的次數(shù) Moh = 眾數(shù)組的組距 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 眾數(shù) (續(xù) ) 【例 3 . 9 】 例題 3 . 3 中，某商 學(xué)院 企管 系 甲班 50 位同學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期中考成績?nèi)缦拢? 組別 組中點(diǎn) 次數(shù) 50 6 0 5 5 2 60 7 0 6 5 7 70 8 0 7 5 1 9 80 9 0 8 5 1 3 90 1 0 0 9 5 9 試求其眾數(shù)。 A ： 因 6 項(xiàng)資料中以 2 出現(xiàn) 2 次為最多，故Mo=2 B ： 此組資料中，因 1 和 2 出現(xiàn)次數(shù)最多，皆為二次，故有兩個(gè)眾數(shù)Mo=1 和Mo=2 。 定義 3 . 1 . 1 0 未 分組資料的眾數(shù) 在計(jì)算未分組的統(tǒng)計(jì)資料之眾數(shù)時(shí)，可先將數(shù)值依 大小排列，其中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值即為眾數(shù)；但若某一 數(shù)值很明顯地佔(zhàn)全部資料中最大比例時(shí)，則此時(shí)不必將資 料排列也可找到眾數(shù)。例題中有一人月薪為 1 0 0 , 0 0 0元，明顯的高出其它主管月薪很多，所以當(dāng)資料中有極端值存在時(shí)，中位數(shù)比平均數(shù)更適用。 定義 3 . 1 . 7 未分組資料的中位數(shù) 若資料項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則先將資料由小至大排列，其中間位置)21(?n項(xiàng)的數(shù)值即為中位數(shù)；若資料項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則先將資料由小至大排列，其中間)2(n與)12( ?n項(xiàng)的數(shù)值之平均數(shù)為中位數(shù)。 ( 5 ) 平均數(shù)的唯一缺點(diǎn)為容易受資料中極端值的影響，而消弱其代表性 。 因?yàn)椋? ? ?? ?? ?? ?? ?? ???????????????????niniiininiiininiiixxTxnxxTxnxxTxxxTxxxTx1 12221 1221 122)()()