【正文】 ( 3 ) 若 c o v ( X , Y ) ＝ 0 ，則0?XYr，表變數(shù) X ， Y 不具線性相關(guān)。 ( 1 )1?XYr時(shí)，表 X 和 Y 具有正向的完全直線關(guān)係 ( 2 )1??XYr時(shí)，表 X 和 Y 具有反向的完全直線關(guān)係 YXrXY = 1 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 相關(guān)係數(shù) (續(xù) ) ( 3 )0?XYr時(shí)，表 X 和 Y 無(wú)直線關(guān)係 YXrXY = 0YXrXY= 0 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 共變數(shù)與相關(guān)係數(shù)間的關(guān)係 ( 1 ) 若 c o v ( X , Y ) ＞ 0 ，則0?XYr，表變數(shù) X ， Y 具正線性相關(guān)。Xs及Ys分別表變數(shù) X 及 Y的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。X?及Y?分別代表變數(shù) X 及 Y 的母體標(biāo)準(zhǔn)差。 YXC O V ( X , Y ) 0 YXC O V ( X , Y ) 0 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 共變異數(shù) (續(xù) ) ( 3 ) C O V ( X , Y ) ＝ 0 共變異數(shù)等於零表示 X 與 Y 間無(wú) 線性 相關(guān)。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 共變異數(shù) (續(xù) ) 共變異數(shù)的正負(fù)值可用來(lái)表示兩變數(shù)間之正負(fù)相關(guān)程度，茲分別敘述如下： ( 1 ) COV ( X , Y ) ＞ 0 共變異數(shù)大於零表示 X 與 Y 為正相關(guān)。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 共變異數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 7 . 2 樣本共變異數(shù) ( s a m p l e c o v a r i a n c e ) 1))((),c o v (1???????nyyxxSYXniiiXY 其中，n為樣本的資料個(gè)數(shù)。畫(huà)成箱形圖如下： 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 兩變數(shù)線性相關(guān)之衡量統(tǒng)計(jì)量 共變異數(shù) 定義 3 . 7 . 1 母體共變數(shù) ( p o p u l a t i o n c o v a r i a n c e ) )])([(),( YXxy YXEYXC O V ??? ????，對(duì)於有限母體時(shí)， NyxYXC OVNiYiXi?????1))((),(?? 其中，N為母體的資料個(gè)數(shù)。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 1009080706050403020GradesBoxplot of GradesQ1=46 Me=62 Q3=75 S=22 L=96 箱形圖 (續(xù) ) 【例 3 . 3 0 】 承例題 3 . 2 0 ，試?yán)L製箱形圖。 三、連接最小值到長(zhǎng)方形左邊中點(diǎn)的水平線稱(chēng)為左鬍鬚，連接最大值到長(zhǎng)方形右邊中點(diǎn)的水 平線稱(chēng)為右鬍鬚，若左鬍鬚之長(zhǎng)度遠(yuǎn)大於右鬍鬚之長(zhǎng)度，則我們說(shuō)資料是左偏，相反地，若右鬍鬚之長(zhǎng)度遠(yuǎn)大於左鬍鬚之長(zhǎng)度，則我們說(shuō)資料是右偏。 二、標(biāo)示出最大值和最小值，並以直線與長(zhǎng)方形連接即完成一箱形圖。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 箱形圖 箱形圖 (boxandwhisker plot)又叫做箱鬚圖 係將某些中央趨勢(shì)之衡量統(tǒng)計(jì)量與分散度之衡量統(tǒng)計(jì)量利用圖形表現(xiàn)出來(lái)的一種圖示法 圖中含顯示出資料的 最大值 L(largest)、最小值 S(smallest)、 第一四分位數(shù) (Q1)、中位數(shù) (Me)、 第三四分位數(shù) (Q3)、 四分位距 (IQR)等 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 箱形圖 (續(xù) ) 箱形圖的畫(huà)法如下： 一、以長(zhǎng)方形 ( 箱形 ) 表示從第一四分位數(shù)至第三四分位數(shù)的數(shù)值資料，其箱形的長(zhǎng)度即為四分位距，並在箱形內(nèi)標(biāo)示出中位數(shù)的位置。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 枝葉圖 (續(xù) ) 解： 因?yàn)槌煽?jī)大多是二位數(shù)，因此以十位數(shù)為枝，個(gè)位數(shù)為葉。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 探索性資料分析 探索性資料分析 (exploratory data analysis； EDA)強(qiáng)調(diào)以簡(jiǎn)單的繪圖方式彙總來(lái)描述一組樣本資料 探索性資料分析 主要包括兩種最常用的圖形，即 枝葉圖 (stemandleaf diagrams)和 箱形圖 (box and whisker plots) 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 枝葉圖 【例 3 . 2 8 】 調(diào)查 13 個(gè)公司的稅後純益如下 ( 億元 ) ： 3 . 5 4 . 4 2 . 3 2 . 8 4 . 1 3 . 7 2 . 4 6 . 0 5 . 1 3 . 4 3 . 7 4 . 5 5 . 7 ，試?yán)L製其枝葉圖。故適用範(fàn)圍較廣。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則 (續(xù) ) 經(jīng)驗(yàn)法則與謝比雪夫不等式這兩種方法，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的應(yīng)用頗為類(lèi)似的。 2. 約有 9 5 % 的觀察值落於 ( sx 2? ， sx 2? ) 的區(qū)間。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則 (續(xù) ) 【 例 3 . 2 7 】 有一個(gè)橡皮篩工廠，生產(chǎn)了 一堆圓柱形橡皮篩，半徑平均是 公分，半徑的標(biāo)準(zhǔn)差是 公分，利用這兩個(gè)數(shù)是否能判斷這堆橡皮篩半徑介於 公分與 1 . 0 6 公分之間所佔(zhàn)的比例？它至少、至多或等於多少？ 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則 (續(xù) ) 解： ?x，?s ( 0 . 9 8 ， 1 . 0 6 ) = ( ??， ??) ，所以 2?k 因此，在 ( 0 . 9 8 ， 1 . 0 6 ) 區(qū)間內(nèi)資料之 比例至少為2112??，而在 ( 0 . 9 8 ， 1 . 0 6 ) 區(qū)間外資料之比例至多為212?。 ( 續(xù)下頁(yè) ) 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則 (續(xù) ) 一般而言，在 1?k 的情況下至少有211k?比例的資料落於 ( ksx ? ， ksx ? ) 區(qū)間內(nèi)。若?與? 未知，可用樣本平均數(shù) x 來(lái)估計(jì) ? ，可用 s 來(lái)估計(jì) ? ，則 ( 1 ) 至少有 7 5 % 的資料落於 ( sx 2? ， sx 2? ) 區(qū)間內(nèi)。 解： 因 x = 6 0 . 3 6 ， ?s ， Me = 6 2 代入公式可得 )(3)(3???????sMexS k 故此這組資料的分配是左偏的 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 峰度係數(shù) 峰度 (kurtosis)是指次數(shù)分配高峰高聳的程度 常態(tài)分配的高峰叫做 常態(tài)峰 (Mesokurtic)，當(dāng) CK(峰態(tài)係數(shù) )=3 次數(shù)分配中較常態(tài)峰高而狹者叫做 高狹峰(Leptokurtic) ，當(dāng) CK3 較常態(tài)峰低而闊者叫做 低闊峰(Platkurtic) ，當(dāng) CK3 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 峰度係數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 4 . 2 峰度係數(shù) ( c o e f f i c i e n t o f k u r t o s i s ) ( 一般以 CK 表示峰度係數(shù) ) ( a ) 未分組資料 母體： 44)(??NxCKi???， 樣本： 44)(snxxcki??? ( b ) 已分組資料 母體：44)(???? ??iiifxfCK，樣本：44)(sfxxfckiii?? ?? 其中，ix，if表示組中點(diǎn)和組次數(shù)。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 偏態(tài)係數(shù) 所謂 偏態(tài) (skewness)係指一組單峰分配資料分配 不對(duì)稱(chēng)的程度 偏態(tài)係數(shù) (coefficient of skewness)為表示單峰分配偏態(tài)的一種係數(shù)，故其亦為一種 統(tǒng)計(jì)表徵數(shù) 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 偏態(tài)係數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 4 . 1 偏態(tài)係數(shù) 母體﹕?? )(3 MeSk?? 或樣本﹕sMexSk)(3 ?? 其中，?與 x 分別代表母體平均數(shù)與樣本平均數(shù)， Me是中位數(shù)， ? 與 s 分別代表母體 標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差。若技工中有一位每小時(shí)工資 $ ，試求此技工的 Z 值，並說(shuō)明所代表之意義。 ( c ) 第三四分位數(shù)所在位置為3 7 . 55043??，不為整數(shù)，故取第38 個(gè)位置的數(shù)值，即3Q= 7 5 。 解： ( a ) 第一四分位數(shù)所在位置為1 2 . 55041??，不為整數(shù)，故取第 13個(gè)位置的數(shù)值，即1Q= 4 6 。 第三四分位數(shù) Q3所在位置 =n?43 若ni?4， i =1 ， 2 ， 3 為整數(shù)，則取第)4( ni?與第)14( ?? ni 位置的兩個(gè)數(shù)值之平均，即為所求的第 i 四分位數(shù) Qi；若)4( ni?不為整數(shù)，則第 i 四分位數(shù) Qi為)4( ni?下一個(gè)正數(shù)位置的數(shù)值。此亦為該組資料的中位數(shù)，即 P5 0= Me = 62 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 百分位數(shù) (續(xù) ) 定義 3 . 3 . 2 已分組資料的百分位數(shù) kkkkkhfnknLP ????1 0 0 其中，kP= 第 k 百分位數(shù) kL= 第 k 百分位數(shù)所在組之下限 kf= 第 k 百分位數(shù)所在組之次數(shù) kh= 第 k 百分位數(shù)所在組之組距 kn= 小於kL之各組次數(shù)和 n= 總次數(shù) 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 百分位數(shù) (續(xù) ) 【例 3 . 2 1 】 承上題， 50 位學(xué)生性向測(cè)驗(yàn)成績(jī)的次數(shù)分配表如下所示，試求 P35 及 P5 0。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 百分位數(shù) (續(xù) ) 解： ( a ) 第 35 個(gè)百分位數(shù) ( P35) 的所在位置為1 7 . 5501 0 035??，不為整數(shù)，故取第 18 個(gè)位置的數(shù)值，即 P35= 5 3 。若nk?1 0 0為整數(shù)，則取第 (nk?1 0 0) 與第 (nk?1 0 0+1 ) 位置的兩個(gè)數(shù)值之平均，即為所求的 Pk；若nk?1 0 0不為整數(shù)，則 Pk為nk?1 0 0下一個(gè)整數(shù)位置的數(shù)值。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 變異係數(shù) (續(xù) ) 變異係數(shù)的特性 變異係數(shù)為一種 無(wú)單位的係數(shù) 變異係數(shù)具有下列兩種使用時(shí)機(jī)： 當(dāng)單位不同的兩組或兩組以上的資料欲比較分散程度時(shí) 當(dāng)單位相同但數(shù)值相差懸殊的資料欲比較分散程度時(shí) 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 位置之衡量統(tǒng)計(jì)量 位置之衡量統(tǒng)計(jì)量 (measures of location)是用來(lái)測(cè)量某觀測(cè)值在全部樣本資料中排序後的累積相對(duì)百分比 ，或是給某相對(duì)百分比求對(duì)應(yīng)的量是多少。 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 變異係數(shù) (續(xù) ) 【例 3 . 1 9 】 某日光燈製造商有兩類(lèi)日光燈 A 、 B ，此兩種產(chǎn)品的樣本平均壽命分別為3 8 0 0?Ax小時(shí)和4 2 0 0?Bx小時(shí)，而樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為280?As小時(shí)，360?Bs小時(shí)，試問(wèn)此兩種日光燈何者有較大的 ( a ) 絕對(duì)分散度之衡量統(tǒng)計(jì)量、 ( b ) 相對(duì)分散度之衡量統(tǒng)計(jì)量？ 教科書(shū) : 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 徐世輝著 變異係數(shù) (續(xù) ) 解： ( a ) 因 A 的絕對(duì)分散度之衡量統(tǒng)計(jì)量280?As小時(shí)，而 B的絕對(duì)分散度之衡量統(tǒng)計(jì)量360?Bs小時(shí)，故 B 的日光燈有較大的絕對(duì)分散度。 組別 次數(shù) (if) 組中點(diǎn) (ix) 2ix 2ii xf ii xf 30