【正文】 ? ??a Bx?2? ? ? ? ?[ ( ) ( ) ] { [ ( ) ( ) ] }TTE T r E? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???()Tr?信號檢測與估值 2017年春季 76 LMMSE估計構(gòu)造 2? ? ? ? ?[ ( ) ( ) ] { [ ( ) ( ) ] }TTE T r E? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?BxaθBxaθθθθθ ??????????? ?? TT EE ??? ? ? ? ? ? ? ?? ?TTEE?? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ??????θ θ θ θ θ a B x θ a B xaa? ?? ?Bxaθ ???? E2 ? ?θx μBa ??? ?2令 0??? ? ? ? ? ?x θ θ xaB μ a μ B信號檢測與估值 2017年春季 77 LMMSE估計構(gòu)造 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?2 2 2TTTTTT T T TTT T T TT T TEETrETrEEBE E E??? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ????????? ? ? ? ?????? ???????????? ? ? ? ? ? ? ?????? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?θ θ θ θθ a B x θ a B xBBθ a B x θ a B xBθ a θ a θ a x B B x θ a B xx BBθ ax θ a x xx xxa x B xx θ x信號檢測與估值 2017年春季 78 LMMSE估計構(gòu)造 Lemma ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?trtr trtr TTTTTTTdddddddd??????XAAXAXXX AXA A XXXAXX A AX信號檢測與估值 2017年春季 79 LMMSE估計構(gòu)造 ? ?? ? ? ?12 2 22200T T TT T T TxxxxE E EE E E EBC CB C C????????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??θ xθ xx θa μ Bμ B x B xx θ xB xx x θ x μ x注意到 信號檢測與估值 2017年春季 80 LMMSE估計構(gòu)造 解得 1?? xθx CCBxxθxθxθ CCμBμa ?? 1?????所以 xCCCCμBxaθ xθxxxθxθ 11? ?? ????? ?l m s e? ?xxθxθ xCCμ ???? ? 1信號檢測與估值 2017年春季 81 LMMSE估計的物理解釋 ? ?1? l m s e ??? ? ?θ θ x x xθ μ C C x均值（先驗） 新息（觀測提供的信息） ? ?1 1 / 2???? ? ? ? ?θ x x x θC C x C θ1 / 2? ? ? ? ?xxx x u C x1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 1? ? ?? ? ? ? ? ? ?θ θ θ θ xx θ xxθ C θ C C C C x C C x? ?11? l m s e ???? ? ? ? ? ? ? ? ?θ θ θ xx θ θ x x xθ μ θ μ C C x μ C C x? ?? ? ? ?? ?? ?1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 21 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1C ov ,C ov ,V a r V a rC ov ,? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?θ x θ θ xxθ θ x x x θ θ xxθ xθ x θ xxθ xC θ C x x C C C xC C C C x C C C x觀測量的信息 參量的信息 信號檢測與估值 2017年春季 82 LMMSE估計的性質(zhì) (1) 估計矢量是觀測矢量的線性函數(shù) (2) 線性最小均方誤差估計矢量是無偏估計 lmseθ? ? ?xxθxθ xCCμ ????? 1?lmseE ????θ ? ?? ?xxθxθ xCCμ ???? ? 1E? ?? ?xxθxθ xCCμ ???? ? E1 θμ?lmseθ?所以 是 無偏估計 θ ? ?? ?? ? ? ?? ?? ??111 1 1 11|? ?( ) ( )lm s eTlm s e lm s eTTTTxxxxMEEC C C CC?? ? ? ????????? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?θ θ x x x θ θ x x xθ x x x x θ xx θ xxθ θ xx θ θ xμ C C x μ C C xC C C C C C C CC C C C C????Recall ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??| | ,x H I x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 信號檢測與估值 2017年春季 83 LMMSE估計的性質(zhì) (3)估計的誤差矢量與觀測矢量的正交性 被估計矢量 與觀測矢量 x是正交的，即 與線性最小均方誤差估計矢量 之間的誤差矢量 θlmseθ?lm seθθθ ?~ ??? ?? 0Tlm s eE ??????θ θ x ??lmse? ?lm se???x信號檢測與估值 2017年春季 84 LMMSE估計的性質(zhì) ? ?? 0Tlm s eE ?????? xθ θ μlmseθ?由于 是 無偏估計 θ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?111? ?0T T Tl m se l m seTTTTEEEEE???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????xθ θ x x x xθ x θ x x x xθ x θ x x xθ θ x θ θ x μθ μ C C x μ x μθ μ x μ C C x μ x μC C C C信號檢測與估值 2017年春季 85 LMMSE估計的性質(zhì) (4)最小均方誤差估計與線性最小均方誤差估計的關(guān)系 當(dāng)觀測矢量與被估計矢量是聯(lián)合高斯分布時，最小均方誤差估計與線性最小均方誤差估計兩者相同 隨機(jī)矢量的最小均方誤差估計矢量可以是觀測矢量的非線性函數(shù)，而線性最小均方誤差估計的估計矢量一定是觀測矢量的線性函數(shù)。 采用 LMMSE估計 ? ?p ? x? ?p ?x??xH θ n信號檢測與估值 2017年春季 75 LMMSE估計準(zhǔn)則 線性最小均方誤差估計準(zhǔn)則 首先，構(gòu)造的估計矢量 是觀測矢量 x的線性函數(shù)，即： 同時要求估計矢量的均方誤差最小，即為 最小，式中 表示矩陣的跡。 求 的無偏性和有效性，并求估計的均方誤差。 ? ? 0lim?lim 22 222 ????????? ? ????nnNbN NE ????????b??貝葉斯估計量 是均方一致收斂估計量 信號檢測與估值 2017年春季 70 非隨機(jī)參量函數(shù)的 CRLB 設(shè) 非隨機(jī)參量 的函數(shù) ，其估計量 是 的任意無偏估計，則有 ?? ? ? ?? ?? ?? ??????????????????????????????222ln?????????xpEgEV a r或 ? ? ? ?? ?? ?? ?????????????????????2222ln?????????xpEgEV a r當(dāng)且僅當(dāng) 時，上述兩式取等號。 ????????? ??Nkknb xNN1222 1/???????信號檢測與估值 2017年春季 67 ? ? ? ? ? ????? ???????? ???? Nk nknNkkxxpp12221 2e x p21??????x由題設(shè)， 由于 的無偏估計量。 ? ?? ?map??? ? ? ? 0lnln?????????????? m a ppp??????x最大后驗估計量為 ? ? ? ? ? ?kpp ?????? ?lnln ??????? x ? ? 0?? ?? ? m a pk ????map?? ???信號檢測與估值 2017年春季 65 均方誤差 若隨機(jī)參量 的無偏估計量 也是有效的，則其均方誤差為 ???? ? ? ? kEV ar ???????? ?? 1?? 2???? ? ? ?kp ???? ?,ln ???? x由 ? ? kp ???22 ,ln??x? ? kpE ?????????22 ,ln??x? ? ? ? ? ? kpEEV a r ?????????????????? ??1,ln1??222????? x信號檢測與估值 2017年春季 66 例 2 同例 1。 ? ??(4) 若隨機(jī)參量 的無偏估計量 滿足 ? ??則無偏估計量 是有效的，否則是無效的。 ? ? ? ?kp ??? ? ?,ln ???? x克拉美 羅 不等式 克拉美 羅不等式取等號的條件 信號檢測與估值 2017年春季 61 Remarks (1) 由于 ? ? ? ? ? ??????????????? ppp lnln,ln xx所以 ? ? ? ? ? ?? ???????????????????? ??22222lnln1?????????ppEEV a rx? ? ? ?? ? ? ????????????????????????????? ??22lnln1?????????ppEEV a rx信號檢測與估值 2017年春季 62 Remarks ? ? ? ??????????????? ???????????? 222 ,ln1,ln1 ? ?? ? xx pEpE(2) 隨