【正文】 循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性： ( ) ( )nnX t a g t n T?? ?????常數(shù) ()anm E a?? ?na 是一個(gè)隨機(jī)序列 na 是隨機(jī)變量 的自相關(guān)函數(shù)： ? ?na*( ) ( )a n n k aR a a R k? ?序列 an是廣義平穩(wěn)序列 86 (1) X(t)的均值： (2) X(t)的自相關(guān)函數(shù)： ***( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )XnmnmanmR t t E X t X tE a a g t n T g t m TR m n g t n T g t m T???????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?????均值是 t的周期函數(shù)，周期＝ T ? ?? ?( ) ( )( ) ( )nnnannE X t E a g t n TE a g t n T m g t n T?? ? ???? ? ? ? ? ?????????? ? ? ????均值是 t的周期函數(shù)，周期＝ T X(t)是循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 87 (3)X(t)的平均功率譜密度 維納－辛欽定理是否可用？ X(t)的平均功率譜密度？ 221( , ) ( , ) ( )TX X XTR t t R t t d t RT? ? ??? ? ? ??不可以！ 因?yàn)?X(t)是非平穩(wěn)隨機(jī)過程！ 分析： X(t)的自相關(guān)函數(shù)是周期函數(shù)，與 t有關(guān)，可在周期 T內(nèi)對(duì)其自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行時(shí)間平均，消除其與時(shí)間t的關(guān)系。 76 匹配濾波器的傳遞函數(shù)與單位沖激響應(yīng) 目標(biāo)： 尋找能夠保證在 t=t0抽樣時(shí)刻的輸出信噪比最大的 H(ω)和 h(t) ( ) ( ) ( )X t s t n t??( ) ( )h t H ??00( ) ( ) ( )Y t s t n t??0tt?00( ) ( )s t S ??令( ) ( )s t S ??0 ( ) ( ) ( )S S H? ? ??0011( ) ( ) ( ) ( )22j t j ts t S e d S H e d??? ? ? ? ??????? ???? ??77 在 t=t0抽樣時(shí)刻，濾波器輸出為 2000 200()()strE n t?????0001( ) ( ) ( )2jts t S H e d?? ? ?? ???? ?在 t=t0抽樣時(shí)刻，濾波器輸出的輸出信噪比為 問題： 如何求得 n0(t)的平均功率？ 利用功率譜密度！ n0(t)的功率譜密度如何求得？ 020( ) ( )2nNPH???n0(t)的平均功率： 22 001( ( )22NE n t H d???????? ??? ?）78 匹配濾波器的輸出信噪比為： 020201( ) ( )21()22jtH S e drNHd?? ? ??????????????分析： S(ω)是輸入，做為已知條件出現(xiàn)！ 方法： 分析： H(ω) 是滿足 r0最大的待求量 許瓦爾茲不等式！ 79 2221 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2X Y d X d Y d? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ?? ???? ? ?對(duì)于任意復(fù)函數(shù)： ( ) ( )XY??， 存在下列不等式： 注意： 當(dāng) *( ) ( )X KY??? 上式中的等號(hào)成立！ (K為常數(shù) ) 0( ) ( ) ( ) ( ) jtX H Y S e ?? ? ? ???令，,有下述關(guān)系式： 80 2 2 220200011( ) ( ) ( )24()4H d S d S dErN NNHd? ? ? ? ? ??????? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ??說明 1：其中 E是信號(hào) s(t)的能量 1()2E S d??? ???? ?2說明 2：線性濾波器在 t＝ t0時(shí)刻能夠給出最大信噪比為： 0 m a x02 ErN?20 m ax0022EErNNE??輸出信號(hào)瞬時(shí)功率 輸出噪聲平均功率 0*( ) ( ) jtH K S e ??? ??此時(shí) 這是最佳線性濾波器的傳輸特性 ! 81 匹配濾器 000**()()0011( ) ( ) ( )22()21()2( ) ( ) ( )jtj t j tj t tjj t th t H e d K S e e dKs e d e dK e d s dK s t t d K s t t????????? ? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? ????? ? ? ??????? ? ? ?????? ? ? ????????????????????? ? ? ? ????????0*( ) ( ) jtH K S e ??? ??說明：保證輸出信噪比最大的線性濾波器的傳輸特性與 s(t)的頻譜的復(fù)共軛相一致，所以稱這種濾波器為信號(hào) s(t)的 匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)： 交換積分順序 時(shí)移性質(zhì) 82 0( ) ( )h t Ks t t??分析：匹配濾波器必須要物理可實(shí)現(xiàn)?。l件） 0 , ( ) 0t h t??所以： 00, ( ) 0 0, ( ) 0t h t t s t t? ? ? ? ? ?即： 0 , ( ) 0t t s t??因果信號(hào) 匹配濾波器物理可實(shí)現(xiàn)的條件！ 說明 1：物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器輸入端的信號(hào) s(t)必須在它輸出信噪比最大的時(shí)刻 t0之前消失！ 說明 2：一般總希望 t0盡量小。所以匹配濾波器又稱為保證最大輸出信噪比的最佳線性濾波器。 74 匹配濾波器的定義 ( ) ( ) ( )X t s t n t??( ) ( )h t H ?? 00( ) ( ) ( )Y t s t n t??0tt?? ? 02n NP ? ?n(t)：均值為 0的白噪聲，雙邊功率譜為 n0(t)： n(t)的響應(yīng)，是一個(gè)隨機(jī)過程 ( ) ( )s t S ??定義： 我們稱保證在某時(shí)刻 t0輸出信號(hào) s0(t0)的瞬時(shí)功率與輸出噪聲 n0(t)的平均功率之比 (輸出信噪比最大的線性濾波器為 信號(hào) s(t)的匹配濾波器 。 ,csccn r n rrrJrrrn r n r??????????????? ? ??????? ? ? ?2202 2 2, e x p 2RRr r A A rp r p r d I? ?? ? ? ?????? ? ??? ? ??? ???????? ?22222 c o s, e x p22Rr r A A rpr???? ? ???????????0, 0 2r ??? ? ?萊斯分布或廣義瑞利分布 零階修正貝塞爾函數(shù) 71 引入歸一化變量和信噪比： rAva????，? ? ? ? ? ?220e x p 2vRvap v p r v I a v? ?? ?? ? ?????所以：上式稱為萊斯分布或廣義瑞利分布的 標(biāo)準(zhǔn)形式！ 72 標(biāo)準(zhǔn)廣義瑞利分布 a = 0v0P v ( v )a = 1a = 5（ 1） a=0時(shí)，為瑞利分布 （ 2） a1時(shí)，在 v=a附近，近似高斯分布（即 Aσ,大信噪比時(shí)） 73 匹配濾波器是保證輸出信噪比最大的線性濾波器。 , ,c o s si nsi n c o s39。, 39。s i n,c o s39。s ???nAnnnp cn c? ? ? ? ? ? ? ?的相位：的包絡(luò)， tXttXtR ?:? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?tntnttntntRttRtnttRtncsscsc39。 239。1?tntntntntntnccc69 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? tttRtttRtttRtXccc??????s i ns i nc osc osc os????? ? ? ? 同一時(shí)刻）的聯(lián)合概率密度（注：和 tntn cc 39。30A39。? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? cXcXXX RRttRttR cs s i nc os, 2121 ????? ? ? ? ? ? ? ? ???????? cXcXXXXX RRRR sccs s i nc os ????? ?59 （ d） X(t)、 Xc(t) 、 Xs(t)的方差是相等的： ? ? ? ? ? ? 2022 XXXX RRR sc ????? ?? ? ? ? ? ? 0000)(?????XXXXXXRRRRecssc－是奇函數(shù)，則因?yàn)??? ? ? ? ? ? ? ????? scsc)( XXXX PPRRf ＝，所以＝因?yàn)? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?ccXccX