教育論文中學(xué)函數(shù)最值的求法-資料下載頁
2025-06-06 00:46本頁面
【正文】 n ?? xxabbaxbbxaa2222 c ott a n2t a nc ot ??????? abba 2??? 當(dāng)且僅當(dāng) xbtgxactg 22 ? 即 baxtg ?2時(shí)，函數(shù) y 取得最小值 abba 2?? （六） 數(shù)形結(jié)合法 有些代數(shù)和三角問題，若能借助幾何背景和幾何直觀而求其最值，常能受到直觀明快，化難為易的功效． 例 22：求函數(shù) 6cos3 1sin4 ??? xxy 的最值． 解析：將函數(shù)式變形為 )2(cos3 )41(sin4 ??? xxy ，只需求函數(shù) 2cos 41sin ??? xxu 的最值． 把 u 看成兩點(diǎn) 2(A ， )41 ， xB(cos ， )sinx 連線的斜率， (B 即為單位圓上的點(diǎn) )， 則當(dāng)直線 AB 為單位圓的切線時(shí)，其斜率為最大或最小． 設(shè)過 A 點(diǎn)的單位圓的切線方程為 )2(41 ??? xky ，即 0241 ???? kykx ． 則 圓心到切線的距離為 11|241|2 ???kk ，解得：431?k ， 1252 ??k ．從而函數(shù) 最大值為 14334max ???y；最小值為95)125(34m in ?????y． （七） 利用二次函數(shù)的性質(zhì) 將已知復(fù)合函數(shù)的其中的一個(gè)函數(shù)化為一元二次函數(shù)的形式，運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值。 例 23：設(shè) 0?x ， 0?y 且212 ?? yx，求當(dāng) x 、 y 為何值時(shí)， )148(log 231 ??? yxyu取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值． 解析：由212 ?? yx，得 yx 221?? )1412(l og]14)221(8[l og 231231 ????????? yyyyyu 由 0?x ， 0?y 且 212 ?? yx 可得410 ??y，從而 3414121 2 ????? yy (當(dāng) 0?y時(shí)左邊取“ =”號(hào)， 61?y 時(shí)右邊取“＝”號(hào) )，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，即 當(dāng) 61?x 、 61?y 時(shí)， )34(log31min ?u；當(dāng) 21?x 、 0?y 時(shí)， 0max ?u ． 例 24：求函數(shù) xxy 2co s2co s3 ??? 的最值． 解析：81)43(c os21c os32c os 2 ???????? xxxy 要使 y 有意義，必須有 1cos32cos ??? xx 0? ，即 1cos21 ?? x ． 故 當(dāng) 43cos ?x 時(shí)，4281max ??y ；當(dāng) 21cos ?x (或 1)時(shí)， 0min ?y . 例 25：求函數(shù) xxmy 2co ssin42 ??? 的最值． 解析： 222 21)( s i n2)s i n21(s i n42 mmxxxmy ???????? 因?yàn)?1|sin| ?x ，結(jié)合二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)： 當(dāng) ???(m ， ]1? 時(shí)， my 43max ?? ， my 43min ?? ． 當(dāng) 1[??m ， ]0 時(shí)， my 43max ?? ， 2min 21 my ?? ． 當(dāng) 0[?m ， ]1 時(shí)， my 43max ?? ， 2min 21 my ?? ． 當(dāng) 1[?m ， )?? 時(shí)， my 43max ?? ， my 43min ?? ． （八） 導(dǎo)數(shù)法 設(shè)函數(shù) ??fx在 ? ?,ab 上連續(xù)，在 ? ?,ab 上可導(dǎo)，則 ??fx在 ? ?,ab 上的最大值和最小值為 ??fx在 ? ?,ab 內(nèi)的各極值與 ??fa， ??fb中的最大值與最小值。要求三次及三次以上的函數(shù)的最值 ,以及利用其他方法很難求的函數(shù)似的最值 ,通常都用該方法。導(dǎo)數(shù)法往往就是最簡便的方法 ,應(yīng)該引起足夠重視。 例 26：求函數(shù) 3)( 23 ???? xxxxf 在 ]3,3[? 上的最值 解析： 0)1)(13(123)( 2/ ??????? xxxxxf ，得 131 ??? xx 或 27222)31( ?f ， 4)1( ??f ， 12)3( ???f ， 36)3( ?f 所以函數(shù)最大值為 36，最小值為 12? 注意： 例 27：求函數(shù) xxxf ???? 612)( 的最值 解析：函數(shù)的定義域?yàn)?]6,1[ ,xxxf ???? 62 111)(/ 510)(/ ???? xxf ； 650)(/ ???? xxf ，又 )(xf 是 ]6,1[ 上的連續(xù)函數(shù) 故有 )(xf 在 ]5,1[ 上遞增，在 ]6,5[ 上遞減． 5)1( ?f ， 5)5( ?f ， 52)6( ?f 故函數(shù)最大值為 5 ，最小值為 5 ［ 1］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系． 高等數(shù)學(xué)［Ｍ］．北京：高等教育出版社， 2021：152158． ［ 2］ 毛仕理．三角函數(shù)最值的求法［Ｊ］．?dāng)?shù)學(xué)通訊． 2021（ 10）： 1213． ［ 3］ 羅建宇．三角函數(shù)最值的求法［Ｊ］．《數(shù)理天地 》高中版． 2021( 6): 1920． ［ 4］ 潘德黨．淺談函數(shù)最值求法［Ｊ］．專題導(dǎo)連（ 3539）．
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