【正文】 ? ? （ ） 其中， E 為電場強(qiáng)度矢量， H 為磁場強(qiáng)度矢量， D 為電位移矢量， B 為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量， J 為 電流密度矢量， ? 為 電荷密度。在無自由電荷的介質(zhì)中 J =0， ? =0。 又而已知它們的關(guān)系如下： DE?? （ ） 0B H M??? （ ） 上兩式子中， ? 是介電常數(shù)， 0? 為真空的磁導(dǎo)率； M 是磁的極化強(qiáng)度，在無磁性的介質(zhì)中， M=0。 描述介質(zhì)中光波的傳輸方程可以由 Maxwell 方程得到。將方程（ ） 中兩邊取旋度，利用方程（ ） 和（ ） ，用 E 消去 B， D，就得到 220 2()EE t?? ??? ? （ ） 我們也可利用方程 ()導(dǎo)出空間光孤子在介質(zhì)中傳播的理論模型 。考慮單色電磁波形式 ? ?01 ?( , ) ( ) e x p ( )2E r t x E r iw t? ? ? （ ） 把式 ()代入方程 ()，可得 2200 ,E w u E?? ? ? （ ） 其中利用介電常數(shù) 200( 2 )n ig k???? ，折射率 0n n n? ?? ，這里 0n 為線性折射率， n?是折射率的變化量， g 是吸收系數(shù)。所以介電常數(shù)可以近似的寫成 20 0 0 0 0( 2 )n n n ign k??? ? ? ? () 將方程（ ）代入方程（ ）有 2 2 202nE k E k E ig k En?? ? ? ? ? () 其中波矢 00k nk? 。把電場寫成以下形式 ( ) [ ( , , ) e xp ( ) ]E r A x y z ik z?? (） 將（ ）代入（ ），我們可以忽略其二階偏倒數(shù) 22Az??（即在傍軸近似下），得 201 022A n gi A k A i Az k n???? ? ? ? ?? （ ） 非局域孤子的分裂 第 8 頁（共 25 頁） 方程 ()便是光束再介質(zhì)中傳輸?shù)囊话憷碚撃Ｐ?。它描述了光束在非線性介質(zhì)中的傳輸行為。 圖 上兩圖分別是 （ 1+1） 和 (1+2)維空間孤子 我們知道空間光孤子是相對于空域而言的，也就是說光波在傳輸過程中其局域化是發(fā)生在空間上的，那么我們在研究的它的傳輸過程中就得考慮空間的幾維性。當(dāng)只考慮 (1+1)維 光束傳輸時(shí) ,方程（ ）中的算子 2?? 代表 22x??。而我們考慮（ 1+2）維光束的傳輸時(shí)，方程（ ）中的算子 2?? 代表 2 2 2 2xy? ? ?? ? 。實(shí)際上我們關(guān)注更多的是（ 1+2）維的情況，而有兩種情況，可以忽略它們其中的一個(gè)空間坐標(biāo)，可以將方程（ ）簡化為（ 1+1）維的情況。一種情況是在塊狀介質(zhì)中的光場分布如果其中一個(gè)方向（如 y 方向）上相同時(shí)，光場在這個(gè)方向是無限延伸的，此時(shí)光場將不依賴于這個(gè)方向（如 y 方向）；另一種情形是當(dāng)光束在平板波導(dǎo)中傳輸時(shí)，由于波導(dǎo)波導(dǎo)效應(yīng)光束只可能被局域化在兩個(gè)橫向方向（ x 和 y 方向）中的一個(gè)方向（如 x方向），這時(shí)將會(huì)出現(xiàn)（ 1+1）維空間光孤子。上圖給出了在平板波導(dǎo)中典型的（ 1+1）維空間孤子和塊狀介質(zhì)中典型的（ 2+1）維空間孤子的圖景。這里，我們稱（ m+1）維空間光束，是指光束在 m維上產(chǎn)生衍射，而在 1 維上傳輸。 非線性響應(yīng) 介質(zhì)的非線性效應(yīng)在射入介質(zhì)的光束的強(qiáng)度足夠大時(shí)是不可忽略的，那么光束在介 質(zhì)中傳播會(huì)引起介質(zhì)的折射率 n? 發(fā)生變化。但是介質(zhì)的非線性效應(yīng)從本質(zhì)上說都是非局域性的，由非局域非線性引起的折射率的變化可以表示成 ( , ) ( ) ( , )n r z s R r r I r z d r???? ? ? ?? ? ?? （ ） 其中， 1( 1)ss?? ?? 對應(yīng)著聚焦的非線性（散焦的非線性），對稱的局域化的實(shí)函數(shù) ()Rr 是介質(zhì)的響應(yīng)函數(shù)，且 ( ) 1R r dr???? ??，其寬度決定了介質(zhì)的非局域 程度。從方程 ()可以清楚地知道非局域非線性響應(yīng)的物理意義：在非局域非線性空間光孤子 第 9 頁（共 25 頁） 介質(zhì)中，光場引起的介質(zhì)中某點(diǎn)的折射率的變化不僅與該點(diǎn)的光場強(qiáng)度有關(guān)，而且與其他各點(diǎn)的光強(qiáng)分布有關(guān) [1819]。 在方程 ()中響應(yīng)函數(shù) ()Rr 的特征寬度決定了介質(zhì)對光場的非局域非線性響應(yīng)的程度，按照響應(yīng)函數(shù)的特征寬度相對于光束寬度的大小，非線性響應(yīng)可以分為四類：局域的、弱非局域的、一般非局域的和強(qiáng)非局域的 [1920]。 圖 不同程度的非局域性 。 R（ x） 是介質(zhì)的響應(yīng)函數(shù) ， I（ x） 是光強(qiáng) 。（ a） 局域 ，（ b） 弱非局域 ，（ c） 一般弱非局域 ，（ d） 強(qiáng)非局域 。 局域的非線性響應(yīng) 當(dāng)響應(yīng)函數(shù) ()Rr 的寬度相對于光束寬度可以忽略不計(jì)時(shí)，如圖 23(a)所示 ,響應(yīng)函數(shù)可以近似地表示成 ? 函數(shù)的形式，即 ( ) ( )R r x?? ，此時(shí)非線性響應(yīng)引起的折射率變化是一個(gè)關(guān)于光強(qiáng)的局域函數(shù) ( , ) ( )n r z sI r?? （ ） 從式 ()可以清楚地看出這種情況下的非線性響應(yīng)的特征：在某點(diǎn)由非線性響應(yīng)所引起的折射率的改變只單純的由該點(diǎn)的光場強(qiáng)度決定，與其它位置的光強(qiáng)無關(guān)。這種非線性被稱為局域的非線性，在大多數(shù)情況下，介質(zhì)都呈現(xiàn)出局域的非線性響應(yīng)。在這種情況下，方程 ()可以具體 的被寫成 2201 022A s k gi A A A i Az k n?? ? ? ? ? ?? （ ） 非局域孤子的分裂 第 10 頁（共 25 頁） 方程 ()通常被稱為局域的非線性薛定諤方程。目前局域的非線性已被人們廣泛研究，并取得了一些非常有價(jià)值的成果。 弱非局域的非線性響應(yīng) 弱非局域的非線性響應(yīng)出現(xiàn)在響應(yīng)函數(shù) ()Rr 的寬度慢慢增加但仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光束的寬度且不能忽略的情況。這時(shí)介質(zhì)中與某點(diǎn)鄰近的各點(diǎn)的光場強(qiáng)度也會(huì)對該點(diǎn)折射率的改變有貢獻(xiàn)，如圖 13(b)所示。將 ( , )Ir z? 在點(diǎn) rr?? 泰勒展開 2 22( , ) 1 ( , )( , ) ( , ) ( ) ( )2rr rrI r z I r zI r z I r z r r r rrr?? ??????? ? ?? ? ? ? ? ??? （ ） 將 ()代入方程 ()，并考慮到響應(yīng)函數(shù)的對稱性，可以獲得 22()( , ) ( ) Irn r z s I r r?????? ? ?????? （ ） 其中， 21 ()2 r R r dr? ????? ?，很明顯 ? 是很小的正的實(shí)參數(shù)，在這種情況下，方程 ()可以被具體地寫成 2222200()1 022 AA s k s k gi A A A A i Az k n n r???? ? ? ? ? ? ??? （ ） 方程 ()通常被稱為弱非局域非線性薛定諤方程。 Krolik?wski于 2021年最先研究了這一模型，并得到了弱非局域非線性薛定諤方程的亮、暗孤子的精確解析解 [25]。 強(qiáng)非局域的非線性響應(yīng) 當(dāng)介質(zhì)呈現(xiàn)出強(qiáng)非局域的非線性響應(yīng)時(shí)，響應(yīng)函數(shù) ()Rr 的寬度將遠(yuǎn)大于光束寬度，此時(shí)在介質(zhì)中幾乎所有點(diǎn)的光場強(qiáng)度都會(huì)對某點(diǎn)折射率的改變有貢獻(xiàn)，如圖 13(d)所示。將 ()Rr r?? 在點(diǎn) rr?? 泰勒展開為 2 22( , ) 1 ( , )( , ) ( 0 ) ( ) ( )2rr rrR r z R r zR r z R r r r rrr?? ??????? ? ?? ? ? ? ? ??? （ ） 將 ()代入方程 ()，并考慮到響應(yīng)函數(shù)的對稱性，可以獲得 20 1 2( , ) ( )n r z s c c r c r? ? ? ? （ ） 其中 0 1 2,c c c 均為常數(shù)。所以在強(qiáng)非局域非線性情況下，方程 ()可以具體表示成 220 1 201 ( ) 022A s k gi A c c r c r A i Az k n?? ? ? ? ? ? ? ?? （ ） 空間光孤子 第 11 頁（共 25 頁） 方程 ()常被稱為強(qiáng)非局域非線性薛 定諤方程。華南師范大學(xué)的郭旗教授最先研究了這一模型，并得到了精確的高斯形式的解析解 [25]。 一般非局域的非線性響應(yīng) 當(dāng)響應(yīng)函數(shù) ()Rr 的寬度和光束寬度可比擬或相差不多或相比并不懸殊時(shí)，光場引起的某點(diǎn)的折射率的改變將與以該點(diǎn)為中心的一個(gè)相當(dāng)大范圍內(nèi)的各點(diǎn)的光強(qiáng)有關(guān)，這種非局域非線性響應(yīng)被稱為一般非局域的非線性響應(yīng)。 綜上所述，局域非線性響應(yīng)和非局域非線性響應(yīng)的區(qū)別可以用一句話來表述：光場引起的某點(diǎn)折射率的改變只與該點(diǎn)光強(qiáng)有關(guān)的是局域的非線性響應(yīng)； 除了與該點(diǎn)光強(qiáng)有關(guān)以外，其它點(diǎn)的光強(qiáng)也對該點(diǎn)折射率的變化有貢獻(xiàn)的是非局域非線性響應(yīng)。 從物理機(jī)制上說，介質(zhì)對光束的非局域非線性響應(yīng)與某種輸運(yùn)過程有關(guān)。這些輸運(yùn)過程包括：具有熱非線性材料中的熱傳導(dǎo)過程 [2224]、非線性光在原子蒸汽中傳輸時(shí)的原子 (或分子 )的擴(kuò)散過程 [22] 、光折變材料中的電荷輸運(yùn)過程以及各向異性分子間的長程相互作用過程 (光場在各向異性分子形成的材料中傳播時(shí)由于這種作用會(huì)導(dǎo)致分子的重取向 )等等 [23] 。不同的輸運(yùn)過程會(huì)導(dǎo)致不同類型的非局域非線性響應(yīng)，在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為在方程 ()中響 應(yīng)函數(shù) ()Rr 可以取相應(yīng)的不同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。3 光波在指數(shù)響應(yīng)的非局域非線性介質(zhì)中傳輸和演化的數(shù)學(xué)模型及求解方法 在實(shí)現(xiàn)孤子控制的許多方法中，諸如，利用孤子間相互作用的方法和利用孤子分裂的手段實(shí)現(xiàn)孤子控制，利用光格子實(shí)現(xiàn)孤子控制與孤子操控在目前備受研究者重視。其中最重要的原因是因?yàn)槟壳霸诩夹g(shù)上制作這些光格子已經(jīng)不再是一個(gè)困難，目前所報(bào)道的制作光格子的主要方法是通過光學(xué)誘導(dǎo)和摻雜等辦法 [1617]。 光格子由于在未來全光控制技術(shù)方面有著潛在的應(yīng)用價(jià)值，在近些年受 到了人們的極大關(guān)注。 首先，在技術(shù)上看，人們已經(jīng)可以利用多種比較成熟的技術(shù)手段 (諸如光學(xué)誘導(dǎo)、摻雜和蝕刻等辦法 )來制作光格子和波導(dǎo)陣列。在光格子方面，光學(xué)誘導(dǎo)的辦法被廣泛采用，它是利用幾束光相干疊加后產(chǎn)生的干涉條紋照射到光折變材料上形成一定規(guī)律的折射率分布。另外，這些折射率分布也可以通過向介質(zhì)中摻入一定濃度分布的雜質(zhì)來實(shí)現(xiàn)，即所謂的摻雜。 技術(shù)上的這些進(jìn)展極大的刺激了關(guān)于利用光格子進(jìn)行光控制的理論和實(shí)驗(yàn)方面非局域孤子的分裂 第 12 頁（共 25 頁） 的研究。這些研究主要通過構(gòu)建合適的線性折射率分布 (即光格子 )來實(shí)現(xiàn)各種控制目標(biāo)。但是目前， 多數(shù)關(guān)于光 格子的孤子操控問題基本上都是在局域介質(zhì)中完成的，對于具有光格子的非局域介質(zhì)，人們只研究其靜態(tài)模的特性，沒有涉及到其動(dòng)力學(xué)控制。這里我們將基于非局域非線性方程，討 論光束在具有光格子的非局域非線性介質(zhì)中的動(dòng)力學(xué)特性，從而利用這些特性探討實(shí)現(xiàn)光束有效控制的可能性。 指數(shù)響應(yīng)的非局域非線性 激光束在無增益或損耗的非局域非線性介質(zhì)中傳播可以由非局域非線性薛定諤方程來描述： 221 02qqi nqzx??? ? ? （ ） 其中， x 表示衍 射方向， z 表示光束的傳播方向， q 是光束的振幅包絡(luò)， n 表示光場引起的介質(zhì)的折射率的改變量。光強(qiáng) 2( , ) ( , )I x z q x z? ( , ) ( ) ( , )n x z R x x I x z d x???? ? ? ???? （ ） 實(shí)際上，局域的和對稱函數(shù) ()Rx滿足 ( ) 1R x dx???? ??響 應(yīng)函數(shù)的局域介質(zhì)，其特征長度決定了非局域性的程度。 對于不同的非局域介質(zhì)，其非局域非線性的產(chǎn)生是基于某種輸運(yùn)機(jī)制，不同的輸運(yùn)機(jī)制決定了在數(shù)學(xué)上它們的響應(yīng)函數(shù)取不同的函數(shù)形式。在這里我們考慮一類很重要的、并且是可應(yīng)用的情形，即具有非局域非線性、幾個(gè)呈現(xiàn)一種特殊的非局域非線性響應(yīng) ,他們的非線性響應(yīng)是指數(shù)函數(shù) 1()2xdR x ed?? （ ） 參數(shù) d 表示響應(yīng)函數(shù)的寬度 , 也表征了非局域介質(zhì)的特征長度 [2]，它刻畫一個(gè)非局域程度 的媒介 [13]。從物理機(jī)制上說，這種非線性響應(yīng)在以下幾種情況中能夠出現(xiàn)：由某種輸運(yùn)機(jī)制而產(chǎn)生的非線性響應(yīng)，比如，長程相互作用 [14,15]；具有熱的非線性介質(zhì)，比如，由于電磁波在其中的傳播而導(dǎo)致的等離子體的熱效應(yīng) [18]；等等。在這些情況下，方程 ()可以進(jìn)一步簡化成 222( , ) ( ) nn q x z D z x??? ? （ ） 非局域非線性介質(zhì)中傳輸和演化的數(shù)學(xué)模型 基于非局域非線性薛定諤方程 ()，我們來研究在非局域非線性介質(zhì)中利用光孤子分裂數(shù)值模擬結(jié)果 第 13 頁（共 25 頁） 格子來實(shí)現(xiàn)光學(xué)操控。這里我們考慮光束在 板狀的且在橫向方向上具有線性折射率調(diào)制的弱非局域 Kerr介質(zhì)中的傳輸。在考慮橫向方向加了線性折射率調(diào)制后，我們可以得到方程 221 ( ) 02qqi n q p R x qzx??? ? ? ? （ ） 其中，參數(shù) p 表征格子的深度。這里我們考慮折射率調(diào)制為 ( ) cos( )R x x??， ? 為格子頻率。一般說來，方程 ()描述光束在板狀的且在橫向方向上具有線性折射率調(diào)制的弱非局域 Kerr介 質(zhì)中的傳輸。 根據(jù)方程 ()和方程 ()得到下列模型 222221 ( ) 02( , ) ( )qqi n q p R x qzxnn q x z D zx??? ? ? ??????? （ ） 這里的 x 和 z 分別代表的是橫軸和縱軸的光束寬度和衍射長度的坐標(biāo)范圍，另外，參量 d 代表的是非局域非線性響應(yīng)的程度。當(dāng) 0d? ，方程 (1)被簡化成非局域非線性薛定諤方程；當(dāng) d?? 時(shí)對應(yīng)的是強(qiáng)局域狀態(tài)。方程 (1)描述的是液體晶體在穩(wěn)定狀態(tài)下的非線性響應(yīng)。 一般而言，當(dāng)具有指數(shù)響應(yīng)的非局域非線性介質(zhì)呈現(xiàn)出各種程度的非局域性時(shí)，光場在其中的傳輸都可以用方程 ()來描述。在已報(bào)道的理論和實(shí)驗(yàn)工作中，就存在著這樣的實(shí)際的物理系統(tǒng)。其中一個(gè)典型的例子是方程 ()可以描述電磁波在存在著恒定靜電場的向列型液晶中的傳播 [3,14,15,19] ，在這種情況下，參數(shù) n表示由于光場的入射導(dǎo)致的液晶分子相對于在靜電場下的方向的偏移； d是向列型液晶的彈性能與外 加靜電場能量的比值 [2022]，它描述介質(zhì)的非局域程度，特別值得注意地是，介質(zhì)的非局域程度 d可以通過調(diào)節(jié)外加靜電壓來改變，這樣液晶就可以表現(xiàn)出各種程度的非局域性。此外，方程 ()還能描述光束在部分電離的等離子體中的傳輸 [2324