【正文】 此外，方程 ()還能描述光束在部分電離的等離子體中的傳輸 [2324]。在已報(bào)道的理論和實(shí)驗(yàn)工作中，就存在著這樣的實(shí)際的物理系統(tǒng)。方程 (1)描述的是液體晶體在穩(wěn)定狀態(tài)下的非線性響應(yīng)。 根據(jù)方程 ()和方程 ()得到下列模型 222221 ( ) 02( , ) ( )qqi n q p R x qzxnn q x z D zx??? ? ? ??????? （ ） 這里的 x 和 z 分別代表的是橫軸和縱軸的光束寬度和衍射長(zhǎng)度的坐標(biāo)范圍，另外，參量 d 代表的是非局域非線性響應(yīng)的程度。這里我們考慮折射率調(diào)制為 ( ) cos( )R x x??， ? 為格子頻率。這里我們考慮光束在 板狀的且在橫向方向上具有線性折射率調(diào)制的弱非局域 Kerr介質(zhì)中的傳輸。從物理機(jī)制上說(shuō)，這種非線性響應(yīng)在以下幾種情況中能夠出現(xiàn)：由某種輸運(yùn)機(jī)制而產(chǎn)生的非線性響應(yīng)，比如，長(zhǎng)程相互作用 [14,15]；具有熱的非線性介質(zhì)，比如，由于電磁波在其中的傳播而導(dǎo)致的等離子體的熱效應(yīng) [18]；等等。 對(duì)于不同的非局域介質(zhì)，其非局域非線性的產(chǎn)生是基于某種輸運(yùn)機(jī)制，不同的輸運(yùn)機(jī)制決定了在數(shù)學(xué)上它們的響應(yīng)函數(shù)取不同的函數(shù)形式。 指數(shù)響應(yīng)的非局域非線性 激光束在無(wú)增益或損耗的非局域非線性介質(zhì)中傳播可以由非局域非線性薛定諤方程來(lái)描述： 221 02qqi nqzx??? ? ? （ ） 其中， x 表示衍 射方向， z 表示光束的傳播方向， q 是光束的振幅包絡(luò)， n 表示光場(chǎng)引起的介質(zhì)的折射率的改變量。但是目前， 多數(shù)關(guān)于光 格子的孤子操控問題基本上都是在局域介質(zhì)中完成的，對(duì)于具有光格子的非局域介質(zhì)，人們只研究其靜態(tài)模的特性，沒有涉及到其動(dòng)力學(xué)控制。 技術(shù)上的這些進(jìn)展極大的刺激了關(guān)于利用光格子進(jìn)行光控制的理論和實(shí)驗(yàn)方面非局域孤子的分裂 第 12 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 的研究。在光格子方面，光學(xué)誘導(dǎo)的辦法被廣泛采用，它是利用幾束光相干疊加后產(chǎn)生的干涉條紋照射到光折變材料上形成一定規(guī)律的折射率分布。 光格子由于在未來(lái)全光控制技術(shù)方面有著潛在的應(yīng)用價(jià)值，在近些年受 到了人們的極大關(guān)注。3 光波在指數(shù)響應(yīng)的非局域非線性介質(zhì)中傳輸和演化的數(shù)學(xué)模型及求解方法 在實(shí)現(xiàn)孤子控制的許多方法中，諸如，利用孤子間相互作用的方法和利用孤子分裂的手段實(shí)現(xiàn)孤子控制，利用光格子實(shí)現(xiàn)孤子控制與孤子操控在目前備受研究者重視。這些輸運(yùn)過(guò)程包括：具有熱非線性材料中的熱傳導(dǎo)過(guò)程 [2224]、非線性光在原子蒸汽中傳輸時(shí)的原子 (或分子 )的擴(kuò)散過(guò)程 [22] 、光折變材料中的電荷輸運(yùn)過(guò)程以及各向異性分子間的長(zhǎng)程相互作用過(guò)程 (光場(chǎng)在各向異性分子形成的材料中傳播時(shí)由于這種作用會(huì)導(dǎo)致分子的重取向 )等等 [23] 。 綜上所述，局域非線性響應(yīng)和非局域非線性響應(yīng)的區(qū)別可以用一句話來(lái)表述：光場(chǎng)引起的某點(diǎn)折射率的改變只與該點(diǎn)光強(qiáng)有關(guān)的是局域的非線性響應(yīng)； 除了與該點(diǎn)光強(qiáng)有關(guān)以外，其它點(diǎn)的光強(qiáng)也對(duì)該點(diǎn)折射率的變化有貢獻(xiàn)的是非局域非線性響應(yīng)。華南師范大學(xué)的郭旗教授最先研究了這一模型，并得到了精確的高斯形式的解析解 [25]。將 ()Rr r?? 在點(diǎn) rr?? 泰勒展開為 2 22( , ) 1 ( , )( , ) ( 0 ) ( ) ( )2rr rrR r z R r zR r z R r r r rrr?? ??????? ? ?? ? ? ? ? ??? （ ） 將 ()代入方程 ()，并考慮到響應(yīng)函數(shù)的對(duì)稱性，可以獲得 20 1 2( , ) ( )n r z s c c r c r? ? ? ? （ ） 其中 0 1 2,c c c 均為常數(shù)。 Krolik?wski于 2021年最先研究了這一模型，并得到了弱非局域非線性薛定諤方程的亮、暗孤子的精確解析解 [25]。這時(shí)介質(zhì)中與某點(diǎn)鄰近的各點(diǎn)的光場(chǎng)強(qiáng)度也會(huì)對(duì)該點(diǎn)折射率的改變有貢獻(xiàn)，如圖 13(b)所示。目前局域的非線性已被人們廣泛研究，并取得了一些非常有價(jià)值的成果。這種非線性被稱為局域的非線性，在大多數(shù)情況下，介質(zhì)都呈現(xiàn)出局域的非線性響應(yīng)。（ a） 局域 ，（ b） 弱非局域 ，（ c） 一般弱非局域 ，（ d） 強(qiáng)非局域 。 圖 不同程度的非局域性 。從方程 ()可以清楚地知道非局域非線性響應(yīng)的物理意義：在非局域非線性空間光孤子 第 9 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 介質(zhì)中，光場(chǎng)引起的介質(zhì)中某點(diǎn)的折射率的變化不僅與該點(diǎn)的光場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)，而且與其他各點(diǎn)的光強(qiáng)分布有關(guān) [1819]。 非線性響應(yīng) 介質(zhì)的非線性效應(yīng)在射入介質(zhì)的光束的強(qiáng)度足夠大時(shí)是不可忽略的，那么光束在介 質(zhì)中傳播會(huì)引起介質(zhì)的折射率 n? 發(fā)生變化。上圖給出了在平板波導(dǎo)中典型的（ 1+1）維空間孤子和塊狀介質(zhì)中典型的（ 2+1）維空間孤子的圖景。實(shí)際上我們關(guān)注更多的是（ 1+2）維的情況，而有兩種情況，可以忽略它們其中的一個(gè)空間坐標(biāo)，可以將方程（ ）簡(jiǎn)化為（ 1+1）維的情況。當(dāng)只考慮 (1+1)維 光束傳輸時(shí) ,方程（ ）中的算子 2?? 代表 22x??。它描述了光束在非線性介質(zhì)中的傳輸行為。所以介電常數(shù)可以近似的寫成 20 0 0 0 0( 2 )n n n ign k??? ? ? ? () 將方程（ ）代入方程（ ）有 2 2 202nE k E k E ig k En?? ? ? ? ? () 其中波矢 00k nk? 。將方程（ ） 中兩邊取旋度，利用方程（ ） 和（ ） ，用 E 消去 B， D，就得到 220 2()EE t?? ??? ? （ ） 我們也可利用方程 ()導(dǎo)出空間光孤子在介質(zhì)中傳播的理論模型 。 又而已知它們的關(guān)系如下： DE?? （ ） 0B H M??? （ ） 上兩式子中， ? 是介電常數(shù)， 0? 為真空的磁導(dǎo)率； M 是磁的極化強(qiáng)度，在無(wú)磁性的介質(zhì)中， M=0。 [17] 我們知道，光波也是電磁波，因此光波的傳輸也服從 Maxwell 方程組，在國(guó)際直單位中，該方程可以寫成 BE t??? ?? ? （ ） 空間光孤子 第 7 頁(yè)（共 25 頁(yè)） DHJt??? ? ? ? （ ） D ??? ? （ ） 0B?? ? （ ） 其中， E 為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量， H 為磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量， D 為電位移矢量， B 為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量， J 為 電流密度矢量， ? 為 電荷密度。 1962 年，前蘇聯(lián) Askar’yan提出了 空間光孤子的思想。 圖 （ A） 光束的自聚焦 ；（ B） 光束衍射 ；（ C） 空間孤子的形成 。對(duì)非線性介質(zhì)而言，光場(chǎng)的存在會(huì)改變介質(zhì)光學(xué)性質(zhì)（如折射率，吸收或者頻率的轉(zhuǎn)變等），介質(zhì)的折射率隨該處光場(chǎng)強(qiáng)度而改變，在光束中心，折射率增加，而在光束的邊緣外，折射率維持不變，形成一種與透鏡作用類似的效應(yīng)將光束會(huì)聚 ，這種現(xiàn)象稱為自聚焦，如圖 (A)所示。 非局域孤子的分裂 第 6 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 2 空間光孤子 空間光孤子基本概念 當(dāng)一束空域分布非常窄的光在的介質(zhì)中傳播時(shí)，如果光場(chǎng)不對(duì)介質(zhì)產(chǎn)生影響，那么這束光就會(huì)發(fā)生衍射，并且光束隨著傳播距離的增加會(huì)逐漸被展寬，如圖 (B)所示。分析法 , B228。從此以后，逆散射法被推廣應(yīng)用于其它孤子方程的求解 [15]。 1968引言 第 5 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 年， P. D. Lax引入 Lax對(duì)，將孤子方程的求解問題與求 Lax對(duì)的問題聯(lián)系起來(lái)，簡(jiǎn)化了逆散射法。在數(shù)學(xué)上，發(fā)現(xiàn)了一大批具有孤子解的非線性發(fā)展方程，而且已逐漸建立起較為系統(tǒng)的研究孤子的數(shù)學(xué)物理方法。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，孤立波解是一類行波解；而孤子是行波解同時(shí)在相互作用過(guò)程中保持形狀不變。 如今 ,許多關(guān)于孤子 的基本問題如孤子的基本特性、產(chǎn)生的物理?xiàng)l件、形成的物理機(jī)制、非線性作用的物理效應(yīng)以及它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律等等都已十分明確，或者說(shuō)都已建立起來(lái) [14]。 孤立波解只存在于非線性色散方程之中，亦即非線性與色散是孤立波存在的必要條件。這種孤立波在相互碰撞和長(zhǎng)時(shí)間傳播中能保持穩(wěn)定，具有明顯的粒子性，是一種新型的物質(zhì)存在形態(tài)。不僅在流體物理、等離子體物理等領(lǐng)域，人們?cè)诘蜏爻瑢?dǎo)、凝聚態(tài)物理、鐵磁學(xué)、分子系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、光纖中的傳輸、激光傳輸、天體物理、超流物理、核物理、非線性傳輸線以及基本粒子等領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)有孤子現(xiàn)象 [2, 6, 914]，真可謂孤子現(xiàn)象無(wú)所不在。從此揭開了人類對(duì)自然界中大量存在的色散非線性和耗散非線性系統(tǒng)展開深入研究的序幕。由于這類孤立波相互作用后不改變形狀，具有類似于粒子碰撞的性質(zhì)，他們命名這種孤立波為孤立子，簡(jiǎn)稱孤子 (soliton)。 之后的數(shù)十年中，有關(guān)孤立波的問題在當(dāng)時(shí)許多物理學(xué)家 中引起了廣泛的爭(zhēng)論。 通常線性的波動(dòng)方程具有行波解，時(shí)間和空間坐標(biāo)不是各自獨(dú)立的變量，而是以它們的線性組合作為變量，隨著時(shí)間推移，波形向前傳播。雖然 羅素認(rèn)為孤立波應(yīng)是流體力學(xué)的一 個(gè)解，并試圖找到這種解， 只可惜 沒有成功。 Russell認(rèn)為這種孤立的波動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)穩(wěn)定解，并把它稱之為 “孤立波 (Solitary wave)”。 孤立子的概念，其起源可追溯到 1834年。 孤立子 從 20世紀(jì) 60年代以來(lái)，孤立子作為非線性科學(xué)的一個(gè)重要分支獲得了重大進(jìn) 展。 ⑤ 利用折射率隨光強(qiáng)變化的性質(zhì)做成非線性標(biāo)準(zhǔn)具和各種雙穩(wěn)器件。目前，與倍頻、混頻技術(shù)相結(jié)合已可實(shí)現(xiàn)從中紅外一直到真空紫外寬廣范圍內(nèi)調(diào)諧。 ② 利用二次及三次諧波的產(chǎn)生、二階及三階光學(xué)和頻與差頻實(shí)現(xiàn)激光頻率的轉(zhuǎn)換，獲得短至紫外、真空紫外，長(zhǎng)至遠(yuǎn)紅外的各種激光；同時(shí)，可通過(guò)實(shí)現(xiàn)紅外頻率的上轉(zhuǎn)換來(lái)克服目前在紅外接收方面的困難。 從技術(shù)領(lǐng)域到研究領(lǐng)域，非線性光學(xué)的應(yīng)用都是十分廣泛 的。常用的二階 非線性光學(xué)晶體 有磷酸二氫鉀（ KDP）、磷酸二氫銨（ ADP）、磷酸二氘鉀 (KD*P)、鈮酸鋇鈉等。目前在非線性光學(xué)的研究熱點(diǎn)包括：研究及尋找新的 非線性光學(xué)材料 例如有機(jī)高分子或有機(jī)晶體等。 研究非線性光學(xué)對(duì)激光技術(shù)、 光譜學(xué) 的發(fā)展以及物質(zhì)結(jié)構(gòu)分析等都有重要意義。這些特點(diǎn)都是和激光調(diào)諧技術(shù)以及超短脈沖 激光技術(shù) 的發(fā)展密切相關(guān)的。第三個(gè)時(shí)期是 70 年代至今 ， 這個(gè)時(shí)期是非線性光學(xué)日趨成熟的時(shí)期。諸如光學(xué)諧波、光學(xué)和頻與差頻、光學(xué)參量放大與振蕩、 多光子吸收 、光束自聚焦以及受激光散射等等都是這個(gè)時(shí)期發(fā)現(xiàn)的。第一個(gè)時(shí)期是 1961～ 1965 年。 非線性介質(zhì)的這種倍頻效應(yīng)在激光技術(shù)中有重要應(yīng)用。 他們把紅寶石 激光器 發(fā)出的 3千瓦紅色（ 6943 埃） 激光脈沖 聚焦到石英晶片上，觀察到了波長(zhǎng)為 埃的紫外二次諧波。 激光 問世之前 ， 基本上是研究弱光束在介質(zhì)中的傳播，確定介質(zhì)光學(xué)性質(zhì)的折射率或極化率是與光強(qiáng)無(wú)關(guān)的常量，介質(zhì)的極化強(qiáng)度與 光波 的電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，光波疊加時(shí)遵守線性疊加原理 。 20 世紀(jì) 60 年代初，隨著高強(qiáng)度高相干激光光源的問世，誕生了一門新興的光學(xué)分支學(xué)科，即“非線性光學(xué) ” 。非線性科學(xué)幾乎涉及了自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，并正在改變著人們對(duì) 現(xiàn)實(shí)世界的傳統(tǒng)看法。物理學(xué)大師愛因斯坦曾預(yù)言： “ 由于物理學(xué)的基本方程在本質(zhì)上都是非線性的，因此所有的數(shù)學(xué)物理都必須從頭研究 ” 。非線性科學(xué)著眼于定量的規(guī)律，主要用于自然科學(xué)和工程技術(shù)，對(duì)社會(huì)科學(xué)的應(yīng)用一般還局限在類比和猜測(cè)，難以有實(shí)質(zhì)性的定量結(jié)果。 非線性學(xué)科是 研究各類系統(tǒng)中非線性現(xiàn)象的共同規(guī)律的 基礎(chǔ)學(xué)科， 非線性科學(xué)不是各門非線性學(xué)科的簡(jiǎn)單綜合 ，它研究出現(xiàn)于各種具體的非線性現(xiàn)象中的那些共性。 20 世紀(jì)前葉，無(wú)線電技 術(shù)促使非線性振動(dòng)理論的誕生，繼承和發(fā)展了龐加萊的成果。值得指出和注意的是，非線性松弛法需要合適的初始猜想值，否則就無(wú)法求出其孤子解。這里我們不僅研究了第一激發(fā)態(tài)的孤子的傳輸演化特性，我們還研究了第二激發(fā)態(tài)的孤子的傳輸演化特性，得出了比較可觀的結(jié)果。 評(píng)語(yǔ)：